1.3.2 基本不等式-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

⊙易错聚焦 1C解折因为行<3，所以24 又1a<3,所以2<8<12，则g-8+1,3<81<13, 易错提醒在利用不等式性质求取值范围时，需注意只有同向不等 式才能相加，且要保证方向一致；注意需要把8转化为@x行 .1 12.al-1<a<2解析：由条件可知， 2 设a=x(a+2b)+y(2a-b),可解出a=5(a+2b)+5(2a-b): 因为-3a+2b224a-2b8 555’555 所以两式相加得-1<a<2. 易错提醒对于多个不等式构成的关系，我们常用待定系数法或整 体加减法求解，否则容易扩大范围， 黑题 能力提升 1.D解析：某地平流层是地球表面以上10km(不含)到50km(不 含)的区域， 所以10<x<50,即有20<x+10<60,0<x-10<40,-10<x-20<30, -20<x-30<20,只有D选项符合条件. 2.B解析：对于A,当b<0时，a2b<ab2,故A错误： 对于B,当6<0时，ab2a6 11 当>0时应品（合日）动(a->0则动品 ab2 a2b* 故B正确； 对于C,当b<0时，a3>b3,故C错误； 对于D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误 D解标：由已知=gy子(y)+(y), 5 又-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5， 5 2088 40 3≤-3(x-)≤3,3≤3(4-y)≤g, 注意不等号的方向 所以-1≤(x)+（4)≤20， 8 即{z-1≤z≤20}. 4.AB解析：选项A:因为x>y>z,所以x+2y+z<x+2x+x=4x,已知 x+2y+z=0,代入得0<4x→x>0,选项A正确； 选项B:同理x+2y+z>z+2z+z=4z,代入x+2y+z=0,得0>4z→z<0, 选项B正确； 选项C:xy>yzy(x-z)>0,因为x-z>0,故符号由y决定： 若y>0,则xy>yz, 若y<0,则xy<yz, 若y=0,则xy=yz,因此y>yz不一定成立，选项C错误； 选项D:因为>，故0<=y<x,得>，子又<0，两边乘负 数z不等号变向，得之<之，选项D错误 x-y x-z 5.ABD解析：因为a+b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,所以e-c>c-e,所 以e>c. 又因为a+b+fc+d+e,所以c-ff-c,所以c>f,所以e>c>f,C错误 又因为a+e<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c,b>e>f,b>c>f均成立， ABD正确 12学霸黑白题数学·必修第一册·BS 6.D解析：原式的分子和分母同时除以x,得x= 1 -2y1-2y1 x 由条件得2<-2y<6,人<<)，所以。<-<3， 2<-x 所 2<4,所以1<1<2 4y有 x 易错提醒求分式取值范围时，若分母含变量，常通过分离常数或 换元转化为单一变量的范围.本题需要注意不等号的方向. 44 771, 7.4,4.4 解析：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进 777≥1， k∈N' 4.4 771, 入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以{4,4,4 7767≥L, EN*. 8.b≥c>a 解折：由c=3ga6,得6=2a-a+5, (b-c=a2-4a+4, c=a2+1, b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0， a=2时，b=c,a≠2时，b>c, 。123 c-a=a2-a+1=（a-2+4 >0, 所以c>a.所以b≥c>a. 9.解：(1)第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4=270（元），两次 共加T60升槛油，所以平均价格为C-45(元/升； 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 (2002001 40040 (5+4)=90(升)燃油，所以平均价格为90g(元/升). (2)由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+30n)元，两次 共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30_m(元/升)： 60 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 /200 n升燃油，所以平均价格为 200) 4002mn ,200m+n(元/升). m n 且mtn_2mm_（m+n)2-4mn.(m-n) 2m+n2(m+n） >0,所以选择第二种加油方 2(m+n) 案比较经济划算. 3.2基本不等式 白题 基础过关 1.ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”，即当 6,4均为正数时，可得(+6≥2（当且仅当a=6时等号成立）， a’b 此时只需a,b同号即可，所以①③④均满足要求。 易错题醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个 条件： (1)“一正”：各项必须为正数； (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定 值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值 (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条 件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发 生错误的地方」 2D得折：对A,当且仅当安即=1时等号成立， 对，当且仅当品甲=a时等号成立 对c,当且仅当专6即-8时等号成立 对D,当且仅当√+5=1 ,即x2=-4时等号成立，无解，故 V2+5 等号不成立 3,A解析：因为>0，A=x-2,B=-大所以A-8=x-2+ ·工-2=0，即A≥B,当且仅当x=1时等号成立. 2 4.C解析：因为a,b为互不相等的正实数，所以由重要不等式可得 a2+b2>2ab, 则2(a2+62)>a2+b2+2ab=(a+b)2, 21 则学， 所以0+6(a+b)2。 由基本不等式可得，2 1,1 <2va瓜 1 a+62√ab 所以生> 1,1’ a b 因此是大为受 4 5C解析：由x>3,得x-3>0,则y=-3+-3+3≥ 4 2√(x-3)·-3+3=7,当且仅当x=5时取等号. 6.B解析：因为x<0,所以-x>0, 注意各项必须为正数 根据基本不等式可知：(-0+(）≥2√(-)·()4， 当且仅当-=-4，即x=-2时取等号， 故y=5-x-4≥5+4=9， 即y=5x产有最小值9 7.22+1万解析：因20，则y=++2=x+2+1≥22+1，等号 成立时x=2,故当x=2时，y=+2有最小值22+1 83+2w25 2 解折：由0，得(+1)(2）=3+2x+≥3+ 22322,当且仅当2即：宁时取等号，所以当 =受时.(e+(2)承得小值3+2位 93解折因为0>0，所以安2当会子12层多 2x y 2x y 1=3当组仅当么二即宁时等号威立，所六学的最 1 小值为3. 10.B解析：由题意得6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2·2a·b,即ab≤ 三，当且仪当2山-6，即a=月，6=5或a=疗6：月时等号成 3 立，所以b的最大值为 11.AC解析：x,y为正数，且xy=1,则有x+y≥2√树=2，x2+ y2≥2xy=2,当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y有最小值2， x2+y2有最小值2. 2A解折：因为女子2，所以a+3n=之a+3)(日+) m n 号(00受）=5+√要=8，当且收当=n2时取得 m n 等号 方法总结在利用基本不等式求最值时，若已知条件是“和”或 “积”为定值，常将已知等式化为“1”的形式，再将目标式乘这个 “1”,展开后再用基本不等式求解。 13.C解析：因为实数a>0,b>0,满足a+2b=4, 所以a+1+2(6+2)9,即t1+2(6+2）-1, 91 9 将已知条件配凑成k(a+1)+t(b+2)的形式 放品号（品品）a1+26+2]-名0 99(b+2) 2(a+1),2(b+2)_5.4 =1 9a+2g+2V96+2）9a+1)9g 当组仪致-号即a=2=1时，等号成 故12的最小值为1。 a+1b+2 147解折：由学受可知可≤当且仅 2 2 当va=V√2+1，即a=4,b=√3时，等式成立. +≥(a+I） 2 2 =4,即a+b2≥7，当a=4,b=√3时，a+ b2的最小值是7.故答案为7. 15.证明：由a,b都是正数，则a+1≥2√a,b+1≥2√b,a+b≥2√/ab,所 以2(a+b+1)≥2(ab+√a+b),即a+b+1≥√ab+√a+√b,当且 仅当a=b=1时取等号. 易错提醒利用基本不等式求最值或证明不等式时，注意等号能否 同时成立 16.B解析：依题意，每吨的平均处理成本’=2(x+1000) 180≥2×2x 1000 -180=20,当且仅当x=1000,即x= 100时取等号， 所以当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为100吨 17.3解析：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y,由题意知 8 y=n+- n +8≥2：员=4，当且仅当a=.即=2时取 n n 等号 但考虑到neN当n=2时，=2+-6， 参考答案黑白题学霸13 8_17617 当m=3时，y=3+33,6>3 即此人应选3楼，不满意度最低 ⊙重难聚焦 x-1+ 18.D解析：因为x>1,所以x+1 1+1全 1 2√x-)1=3,当且仅当1=即x=2时取得等 1 1 1 号.由不等式x +x-产a恒成立，可得a≤3，所以实数a的取值范 围是{ala≤3}. 19.解：由x0,不等式x+m+1>0恒成立，可得m>-x-对心0恒 成立， 令yx-（*）s-2于-2当组仅当即 x=1时取等号.所以m>-2,故实数m的取值范围是{mlm>-2}. 黑题 能力提升 1.A解析：因为0<a<1,0<b<1,且a≠b,a+b>2√ab,a2+b2>2ab, 2√ab-2ab=2√ab(1-√ab), 由条件可知，0<ab<1,则0<√ab<1, 所以2√ab-2ab>0,即2ab<2√ab, 所以四个数中最小的是2ab. 2.D解析：由o>0,b>0,可得3ab=3三3 a+46a+464,1, ab ab 又由a6=1,可符产+行=a0)(任+5)5：兰号=5 a b a b 46 a 20x69, 当组仅当曾后即a=号6写时等号减立， 2 a+4b a b 3B解析：因为2+6-3=0，可得20-1， 且a>0,b>0,可知2a+1>0, 1,1 b,2a+1 46≥ 士0n1 1 当组仅当2+3即a=762时等号成立， 所z的最小价为1 4.B解析：因为x,y为正实数，且x中y=L,所以+6+3_x+6y+3(xy 2=(）+gs y y 「3 (9y=4. 当且仅当y’即 时，等号成立， x+y=1,y=5 所以+6+3的最小值为25. xy 14学霸黑白题数学·必修第一册·BS 5.C解析：由题知，总电阻Ra=R+R'=2+R', 电路电流1=V 6 Ra 2+R' /6 2 36R′ 所以滑动变阻器功率为P=IR'=(24R)R' (2+R')2= 36R′ 36 R+4R+4R+R4 4, 因为R2,R·食4，当且仅当R即R=20时，等号 4 4 成立，此时R'=22满足12到62的范围， 所以此时P装大且为的子()。 632解折由10，则y-21出=(-1)+12 x-1 2-)1=3. 当且仅当-1即=2时取等号放)的最小值为3 7.mm≥-18}解析：由题意， m含0-240-2+422a-b-(2+4）2a*6. a+2b+5 ab 4.46=18， 因为（名+）20)-0+248=102√图 当且仅当4=46，即a=6-3计，2四时取等号， b a 2 所以- 层)2a)≤-8， 所以不等式6之0成立，只苦m-18即可 8.a≤4解析：因为x+y=6, 所以=+。-（x+1)-2(+1)+1,+2)2-4y+2)+4 x+1y+2 x+1 y+2 4 14 =x+1 1-2+y+2+ -4=3+ x+ y+2 x+1y+2' 所以=3+1+4 x+1y+2 g2()号品 4+1≥322 9(y+2 2x4+=4,当且仅当y=4,x=2时等 ≥9+2√9(x+1*9(y+2 号成立，所以(+少） (2)=4,放a≤4 重难点拔 解题关健是先得到 x2y2 14 +23++1十y中2再进-步结 合乘“1”法即可顺利得解， 9.解：(1)因为x>2,y>0,xy=y+4, ，所以 4 =1+ 所以x=1+ 号2解得0y4, y y>0, 所以1+y=12√号y=5,当组仅当手=y,即y=2,x 4 4 3时取等号， 所以x+y的最小值为5. 2-2子=8当组饭当的即 y=2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+y2的最小值为8. ③因为x=1+4,>2且0<y<4,所以4->0 +4+4=1++42+42=1+1+4++ 所以x+422=1+y4-y y 4-y y4-y 4-y.y=5, 1≥3+2y4-y 当且仅当4y=之，即y=2,x=3时取等号， y4-y1 所以x+4的最小值为5， ©压轴挑战 0.52 2 解析：已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1. 品)×2会8：竖且仅当即 (a+2b=4, 2a-46' (a=42-4,时取等号. b=4-22 所u会片号+2号29+2= c-12 2 2√2(c-1)×2 以2受经-当且仅当3时取等号 a=4V2-4, 所会台2当H仅当0=42，时取学号 c=3 4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 白题 基础过关 1.C解析：抛物线y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3向左平移2个单位 长度得到抛物线y=-2(x+1)2+3,再向上平移3个单位长度得到 函数图象平移变换可简记为“左加右减，上加下减” 抛物线y=-2(x+1)2+6. 2.B解析：对于AB,由一次函数图象可知a>0,b<0,则二次函数开 口向上，且对称轴x=么在)轴右测，故A循误，B正确； 对于CD,由一次函数图象可知a<0,b>0,则二次函数开口向下，且 对称轴x=20至 在y轴右侧，故C错误，D错误 3.BD解析：根据图象得： 当x=0时，y=c>0,故A不正确； 当x=-1时，y=a-b+c<0,故D正确； 由图象与x轴有两个交点，得b2-4ac>0,故C不正确； 由抛物线的开口向下，所以a<0又因为对称销=么<1， 所以-b>2a,即2a+b<0,故B正确. 4.y=(x-1)2-1(答案不唯一)解析：因为二次函数的图象开口向 上，不妨设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a>0), 因为图象关于直线x=1对称，所以h=1. 又点(0,0)在图象上，所以a(0-1)2+k=0,即a=-k 又因为a>0,所以可取a=1,则k=-1,此时二次函数的解析式为 y=(x-1)2-1,满足题意.（答案不唯一） 5.C解析：因为2>0，所以二次函数y=2x2-8x+1的图象开口向上， 故在对称轴x=(二8）=2处取得最小值 2×2 所以二次函数y=2x2-8x+1的最小值是2×22-8×2+1=-7. C解析：因为=2，所以抛物线的对称轴为直线x=)=1,所 以-l,即2a+b=0 又因为y2<y,且对称轴为直线x=1,所以抛物线的开口向下，所以 a<0. 7.AC解析：由函数值的变化趋势，可知函数为二次函数，且其图象 1a<0, 开口向下，对称轴为直线x=-1,∴. b ∴.b=2a<0 2a =-1, 女易错聚焦 8.解：(1)当a=1时，y=-x2-2x-1=-(x+1)2, 函数的图象开口向下，函数对称轴为x=-1, 在区间[-2，-1]上，函数值y随自变量x的增大而增大， 在区间[-1,1]上，函数值y随自变量x的增大而减小， 当x=-2时，y=-1;当x=1时，y=-4, 所以函数y在[-2,1]上的最小值是-4. (2)函数y=-x2-2ax-3a+2=-(x+a)2+a2-3a+2,对称轴为x=-a, ①当-a≥1，即a≤-1时，函数y在[-2,1]上，函数值y随自变量x 的增大而增大，所以当x=1时取得最大值，即-1-2a-3a+2=0,解 得a=5(舍)； ②当-2<-a<1,即-1<a<2时，函数y在[-2，-a]上，函数值y随自 变量x的增大而增大，在[-a,1]上，函数值y随自变量x的增大而 减小，所以当x=-a时取得最大值，即a2-3a+2=0,解得a=1或 a=2(舍)； ③当-a≤-2，即a≥2时，函数y在[-2,1]上，函数值y随自变量x 的增大而减小，所以当x=-2时取得最大值，即-4+4a-3a+2=0, 解得a=2. 综上，实数a的值为1或2 易错提醒当二次函数解析式中含有参数或x的取值区间不确定 时，要对对称轴和x的取值区间的位置进行分类讨论，再根据区间 内函数的增减性确定函数最值 4.2一元二次不等式及其解法⊕ 4.3一元二次不等式的应用 白题 基础过关 1.C解析：根据题意，方程x2+2x-3=0有两个根，即-3和1，则 x2+2x-3>0的解集为{xlx<-3或x>1}. 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故A正确； 对于B:x2-x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故B正确： 对于C:x2+x-1>0中△=1+4=5>0，则解集为{x 1-5或 x< -1+W5 2 ,故C错误； 5或 对于D:--1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<2 2},故D错误 1+W5 3.C解析：要使V2x-8有意义，则有-2x-8≥0且x≠-2，解 x+2 得x<-2或x≥4，所以x的取值范围是{xx<-2或x≥4} 参考答案黑白题学霸15学霸黑白题数学·必修第一册·BS 3.2基 白题 基础过关 题组1基本不等式的理解 1.*易错题多选给出下列条件：①ab>0; ②ab<0③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使 b+“≥2成立的条件有 () a b A.① B.② C.③ D.④ 2.*下列几个不等式中，不能取到等号的是 ( A.+≥2(x>0) √x 1≥22(x≠0) 2 B.Ix1+ C.-4x x16 ≥1(x<0) D.Ve+5+1 ≥2(x∈R) √02+5 题组2利用基本不等式比较大小 3.★(2025·广东江门高一月考)已知x>0,A= x-2,8=则4与B的大小关系是(（） A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B 4.*(2026·山东枣庄高一期中)已知a,b为 互不相等的正实数，下列四个数中最大的是 2 A.√ab B. 11 a b a-+b2 C.2 D.atb 2 题组3利用基本不等式求最值之无条件求 最值 5.*(2026·福建泉州高一期中)若x>3,则 y=+4的最小值为 -3 A.5 B.6 C.7 D.8 16 本不等式 限时45mim 6.*(2026·江苏苏州高一期中)已知x<0, 则y=5有 () A.最大值1 B.最小值9 C.最小值1 D.最大值9 7.*(2026·辽宁丹东高一月考)已知x>0, 则y= +x+2的最小值为 ,此时 x= 8.*(2026·河北邢台高一月考)若x>0,则 (x+1)(2+1)的最小值为 ,此时 x= 9.*(2026·重庆九龙坡区高三月考)已知 >0,>0,则义+2x+y的最小值为 2x y 题组4 利用基本不等式求最值之有条件求 最值 10.★已知4a2+b2=6,则ab的最大值为 ( 3 3 A. 8.2 c D.3 4 11.*★多选(2025·浙江绍兴高一月考)已知 x,y为正数，且xy=1,则下列说法正确的是 () A.x+y有最小值2 B.x+y有最大值2 C.x2+y2有最小值2 D.x2+y2有最大值2 12.*★（2026·河南商丘高一期末)已知正 数m,n满足上，3=2，则m+3n的最小值为 m n A.8B.7 C.6 D.5 13.*(2026·湖南长沙高一期中)已知实数 0>0,6>0,满足a+26=4,则1，+2的最小 a+1'b+2 值是 >《题中题》上分专题01例2() A.g C.1 D.2 14.*(2025·湖南长沙高一月考)已知正实 数a,b满足√a+√b2+1=4,则a+b2的最小 值是 题组5利用基本不等式证明 15.*易错题已知a,b都是正数，求证：a+b+ 1≥√ab+√a+√b. 题组6利用基本不等式解决实际问题 16.·(2025·云南昆明高一期中)某生物制药 公司为了节约成本开支，引入了一批新型生 物污水处理器，通过费用开支的记录得知 其月处理成本y(元)与月处理量x(吨)满足 函数关系式y=2x2-180x+20000.则当每吨的 平均处理成本最低时的月处理量为（) A.80吨B.100吨C.120吨D.150吨 第一章预备知识黑白题学霸 17.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼 耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住 第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但 高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静， 因此随着楼层的升高，环境不满意度降低。 设住第层楼时，环境不满意程度为8则 此人应选第 楼，会有一个最佳满 意度 重难聚焦 频讲解 重难点利用基本不等式解决恒成立问题 18.*(2026·江苏南京高一月考)当x>1 时，不等式x+,≥a恒成立，则实数a x-1 的取值范围是 A.{ala≤2} B.{ala≥2} C.{ala≥3} D.{ala≤3} 19.*(2026·福建莆田高一期末)已知 x>0,不等式x2+mx+1>0恒成立，求实 数m的取值范围. 17 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 黑题能力提升 1.*(2026·山东枣庄高一月考)若0<a<1, 0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,2ab,a2+b2中 最小的一个是 A.2ab B.2ab C.a2+b2 D.a+b 2.已知a>0,b>0,且a+h=,则3ab 的最大 a+4b 值为 () B 3 1 c D.3 3.*(2026·安徽合肥高一期末)已知a>0, b>0,2a+6-3=0,则21，+的最小值为 2a+1b A.2 B.1 2 4.**(2025·江西吉安高一月考)已知x,y为正 实数，且y=1,则+6+3的最小值为（) A.24 B.25 C.6+42 D.6√2-3 5.学科融合(2026·天津河东区高三月考) “明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习 过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为 一个串联电路图，电源电压为6V,定值电阻 R的阻值为2Ω，滑动变阻器R'的阻值范围 是1D到62，已知纯电阻电路（如下图）的一 个功率公式为P=R(I为电路中通过的电 流)，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则R 的功率的最大值为 A R 21 W A. B.4W 8 9 W C.2 D.6W 18 限时30min|答案P14 6.*（2026·北京昌平区高一期中)若x>1, 则y= x2-x+1 的最小值为 ,此时 x-1 x= 7.禁(2025·广东佛山高一月考)已知正实数 a,6满足a+2b+5=ab,且不等式，m,≥10-2a6 2a+ba+2b+5 恒成立，则实数m的取值范围是 8.整(2026·山西临汾高一月考)已知正数x, y清足+y=6,若不等式a≤+少恒成 x+1y+2 立，则实数a的取值范围是 9.*(2026·湖南常德高一月考)已知x>2, y>0,xy=y+4. (1)求x+y的最小值； (2)求(x-1)+y2的最小值； (3)求+4的最小值 4-y 压轴挑战 频讲解⊙ 10.禁已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1, 则c+cc22 的最小值为 2ab2'c-1