练案10 第一章 3.2 第1课时基本不等式上-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[10] 第一章§33.2[第1课时 基本不等式] 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.当x取什么值时，x2+之取得最小值？最小值 1.下列不等式中正确的是 是多少？ A.a+4≥4 B.a2+b2≥4ab a C.Vab≥a+b 2 n+=26 2已x>0,若x+别的值最小，则x为() A.18 B.9 C.3 D.16 3.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值 是 ( A.10 B.25 C.5 D.210 4.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时，x的 值为 ( )10.已知x,y都是正数，且x≠y,求证： 4号 B (1)X+Y>2: c D号 (2)2四< x+y 5.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大 的是 A. B.b C.2ab D.a2+62 6卫知a>06>0A=生，B=v,C= a+b' 则A,B,C的大小关系为 A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 二、填空题 7若a<1,则a+。卢-1的大小关系是 8设x>0,则的最小值为 —191 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明： 1.若正数x,y满足x+3y=5y,当3x+4y取得 (1)ab+bc+ac≤3 最小值时，x+2y的值为 ( 学 B.2 a % D.5 2.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最 小值是 ( A号 B.22 3 0.3 D.23 3 3 3.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必 有 A.ab<1 B.1<Q2+6 2 8.已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=2,且 C.ab<a+b2 2 D.ab a2b2 a+1+6+≥m恒成立，求实数m的最大值 4.(多选题)下列结论正确的是 A.当x>0时，k+1≥2 x B.当x>2时，x+1的最小值是2 C.当x<时，y=4-2+4-5的最小值为5 D.当x>0,y>0时，x+Y≥2 y x 二、填空题 5.当x>1时，x+9 的最小值为 x-1 6.已知3a+2b=1,a>0.6>0,测则2+2的最小值为 一192—又a>6>0小。>。6放@确 C,当a=b时等号成立.故选D. 6.a<c<d<b由a-d=c-b,a+d<b+c相加得a<c: 7.a+≤-1因为a<1,即a-1<0, 又b-d=c-a>0,得b>d,又d>c,故a<c<d<b. 7.设A,B两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为1， 所以-(a-1+)=1-a)+a≥2√1-a)-。=2(当 6则系6山=云+云 且仅当1-a=。即a=0时撖等号).即a+a≤-1 因为-6=子。（六+=40 1=8.25-1由x>0,可得x+1>1 2ab(a+b) s(a-b)2 ˉ2a6(a+6<0,所以4<5，所以甲先到达B地， 令t=x+1(t>1),则x=t-1,则+x+3三 x+1 8.因为fx)=ax2-c, -》”13+2-12-1-2-1.当组 t 所以D=a,即[a-e=, 仅当t=√5，即x=√5-1时，等号成立， f2)=4a-c,l4a-c=f2), a=2-]. 9+2层-2当且仅当2宁周=1时等号 解得 ! 成立 e=32)-, x=1或-1时，+宁取得最小值，最小值为2 所以r3)=9a-c=2)-31). 10.证明：(1)x>0,y>0,x>0,Y>0, y 1 又因为-4≤f1)≤-1，-1≤f2)≤5， +22…2 所以-1≤82)-多1)≤20， 由于当且仅当子=子，即x=y时取“=“，但≠y,因此不能 即-1≤f3)≤20. 取“=” 练案[10] +>2 A组基础自测 (2):x>0,y>0,x≠，x+y>22<1, x+y 1.Da<0,则a+4≥4不成立，故A错；a=1,b=1,2+62< 又：>0， a 46,故B错；a=4,6=16,则V瓜<“，放C错；由基本不等 2·团<网， x+y 式可知D项正确， 2y<√ x+y 2B因为>0，所以：+8≥2√，可=18，当且仅当：-1B组素养提升 x 时，等号成立，即x=9. 1.Bx+3y=5xy,x>0,y>0, 3.Da+b≥2√b=2√/10，等号在a=b=√0时成立，故选D. 1+3=13x+4y=(3x+4y)· .5y*5x (你+动)号+影+ 4B因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤(+) 2 是=号+2V要5 当且仅当等-是即=2=1时取等号， 当日仅当=1-x,即x=时，等号成立 ! .当3x+4y取得最小值时，x=2y=1,x+2y的值为2，故 选B. 5Bb<(a<2b<分 2.B由2+3y-1=0可得)=写（什 >0.a+6=1, 2 因为0.所以+2√22 2 (当且仅当号文即=号时，等号成立)故+y的最小 b-(a2+62）=(b-02)-a2=b(1-b)-a2 =ab-a2=a(b-a)>0,b>a2+2,b最大， 值为22 6.D由基本不等式可知，A≥B,2≤，2ab=瓜，所以B≥3.AC“h≤(，a≠6，ab<1 ,a+b≤27a品 329- tbat 又：N2 2,a+6=2, 练案[11] @B>lab<1<+8 A组基础自测 2 2 :1.C因为x∈xI-2<x<0},所以2+x>0,所以x(2+x)= 4A0在A中，当0时>0+疗2，当目仅当=1时 -(-x)(2+x)≥- x+2-x2 2 =-1,当且仅当x=-1时， 取等号，结论成立：在B中，当x之2时，x+无≥2x·三 等号成立 2.C当x<0时，无意义，故A不恒成立；当x=1时，x2+1= 2.当且仅当=1时取等号，但>2取不到1，因此x+的最2x,故B不恒成立：当<0时+<2，放D不恒成立+ 小值不是2，结论错误：在C中，因为x<子，所以5-4>0，则y 1≥1，所以+1≤1恒成立 =-2+一5=-(5-4+5)+3≤-2×3.A由>6>0结合基本不等式可得，a>0,瓜>6，枚P 1 2 √5-4)54+3=1，当且仅当-4=写即=1时 =M(CRN). 取等号，结论错误；显然D正确，故选AD. .B为正数，(x+)(仕+)=1+4+士+“≥9，当且 57因为-1>0，所以+名=(x-D+号+1≥5 仅当y=2x时等号成立.选B. 5.A因为x>0,y>0, 2√c-)名+1=7，当且仅当-1=名即=4时， 所以x+y=√02+y+2xy≤√2x2+2y2=2·√2+y, 当且仅当x=y时等号成立， x+9的最小值为7. x-1 所以使得x+y≤a√2+y对所有正数x,y都成立的a的最小 68+453如+2=1…名+女-(2+古)3+20)=8+ 值是2.故选A. 6.C因为点A在直线mx+四y+1=0上， 4地+30≥8+2/厄=8+45，当且仅当4地=30及30+26=1，解 所以-2m-n+1=0,即2m+n=1. 得4=35,6=时取到最小值 因为m>0,n>0,所以1t员2m+”+4m+202+P m m n m 6 4 4m+2≥4+2·√m·元 只，把-8，当且仅当m=子a=时取 1 7.证明：(1)因为a,b,c均为正数，由a2+6≥2ab,b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca, ! 等号.故选C 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(当且仅当a=b=c时等号成立) 7.(1)2√15x+y≥2√/y=2√/15，即x+y的最小值是2√15；当 由题设得(a+b+c)2=1, 且仅当x=y=√5时取最小值. Ba2+b2 +c+2ab +2bc +2ca =1, 所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤3 1 (2)学≤（告-(）=空即y的最大值是空 (2)因为a,6c均为正数，所以 6+6≥2a, +c≥2h,+ ! 当且仅当x=)空时可取最大值 a 2成号，会+a+6323w+6te当且仅当n84吕+名-32V品瓜4 C =6=c时取等号)，即兰+父+二≥a+6+心 当且仅当9=1 号石，即a=6,6=子时取等号 c a 又a+b+c=1,所以g+公+C≥1. 6++a 9正数a满足+1，则片=1-片则，2号 a 8..a>0,b>0,a+b=2, 由正数a,b满足上+2 a+方=1，则2 =1-=，则 aa -T= 令a+1=p,b+1=9,则p>1,g>1, ..a=p-1,b=q-1,p+q=4, 合1*62名+6≥2合云=2当且仅当a=6 4+-p-12+g-1 a+1b+1-p ! =3时取等号放，名子+。2的最小值为2 =p+-4+1+14 4 P 9 Pq (p+g 下=1，（当且仅当p=9=210.依题意得y=920 2 x*3+1600x∈N). x 时的等号) .m≤1，所以实数m的最大值为1. 因为+102 V面-. —330—