练案9 第一章 3.1 不等式的性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

练案[9] 第一章 §3[3.1不等式的性质] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.若x>y,a>b,则在①a-x>b-y;②a+x>b 1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 +y;③ax>by;④x-b>y-a这四个式子中， 恒成立的不等式的序号是 ( B.a2>62 8.已知2b<a<-b,则%的取值范围为 三、解答题 b D.alcl >blel 9.已知a>b,e>f,c>0,求证：f-ac<e-bc. 2.若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速 为120km/h,行驶过程中，同一车道上的车间 距d不得小于10m,则用不等式表示为() A.v≤120km/h或d≥10m B.120 km/h, ld≥10m C.v≤120km/h D.d≥10m 3.已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>; <石③ac>c,则使得a>6成立的充分 a 不必要条件的个数为 ( ) 1. A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知a+b>0,b<0,则a,b,-a,-b的大小关 10已知a>6>0,c<d<0,比较。2c与，2的 系是 ( 大小 A.axb>-b>-a B.a>-b>-axb C.a>-b>b>-a D.axb>-a>-b 5若不等式a>6与片>时成立.则必有 ) A.a>b>0 B.0>1>1 a b C.a>O>b n>方>0 6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间 只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知 三个房间的粉刷面积（单位：m)分别为x,y,a, 且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位： 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方 案中，最低的总费用（单位：元）是 () A.ax +by +cz B.az +by+cx C.ay +bz +cx D.ay +bx cz —189 B组·素养提升 三、解答题 7.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车 一、选择题 1.若-1<<B<1,则下列不等式恒成立的是 一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b; 乙车一半路程的速度为α，另一半路程的速度 为b.若a≠b,试判断哪辆车先到达B地. A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 C.-1<a-B<0 D.-1<-B<1 2.(多选题)已知P=a2+b2,Q=2ab,R= (a+b上，则 ( 2 A.P≥R B.Q≥R C.P≤R D.P≥Q 3.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏 占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其 值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕 面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为 一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升 级前比有什么变化 ) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 8.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1， 4.(多选题)下列说法中正确的是 -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围. A若a>b,则41>4 B.若-2<a<3,1<b<2,则-3<a-b<1 C.若a>b>0,m>0,则g<号 D.若a>b,c>d,则ac>bd 二、填空题 5.给出下列命题： ①若a<b,c<0,则片<； a ②若ac3>bc3,则a>b: ③若a>b且keN,则a>b; ④若c>a>b>0,则>b "c-ac-b 其中正确命题的序号是 6.实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c; ②a+b=c+d;③a+d<b+c.则将a,b,c,d按 从小到大的顺序排列起来是 —190题的否定为假命题， 6.B方法一：因为x<y<z,a<b<c,所以ax+by+z-(az+b B组素养提升 +cx)=a(x-2)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,ax+by+cz 1.B命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命！ >az+by+cx;同理，ay+b+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+ 题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生 c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,ay+bz+cx<ay+bx+cz.az 不爱踢足球”.故选B. +by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z- 2.ABD因为命题“3x∈M,x>3”为假命题，所以命题“Hx∈ y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx.综上可得，最低的总费用 M,x≤3”为真命题，可得MCIxlx≤3}；解不等式x2>x,可得 为az+by+cx. x<0或x>1,因为命题“HxeM,x2>x”为真命题，所以MC 方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x=1,y=2,z= xlx<0或x>1}. 3,a=1,6=2,c =3,ax +by +cz=14,az +by+cx=10,ay 因为{xlx<0或x>1}∩{xx≤3}={xx<0或1<x≤3}，显 bz+cx=11,ay+bx+cz=13.由此可知最低的总费用是az+by 然ABD选项中的区间为(-∞，0)U(1,3]的子集. +Cx. 3.3a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 方法三：根据实际意义 4.①②③④因为x=1时，-3×1+2<0. 7.②④ 所以①为假命题； 8.(-1,2)2b<a<-b,.2b<-b.∴.b<0. 当且仅当x=±2时，x2=2, <<即-1<号<2 所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以②为假命题： 9.证明：a>b,c>0,∴.ac>bc..∴.-ac<-bc 对VxeR,x2+1>0,所以③为假命题； 又e>f,即f<e,f-ac<e-bc. 42-(2x-1+3x2)=2-2x+1=(x-1)2≥0，即当x=1时，10.c<d<0,-c>-d>0. 4x2=2x-1+3x2成立， 所以④为假命题 又a>b>0a-c>6-d>0,∴62>>0， 所以①②③④均为假命题， b 5.因为“]m∈R,使得A∩B≠☑”为假命题，所以它的否定 又a>b>0b-d2a-c “VmeR,使得AnB=O”为真命题，当a<0时，A={xl0≤x !B组素养提升 ≤a}=☑，符合AnB=☑；当a≥0时，因为m2+3>0,所以由 1.A-1<B<1,-1<a<1, HmeR,AnB=☑可得a<m2+3,对于VmeR恒成立，因为 .-1<-B<1,-2<a-B<2 m2+3≥3，所以0≤a<3, 又：a<B.a-B<0,-2<a-B<0 综上，实数a的取值范围为(-∞，3). 2.ADP-R=G+6-(a+b2=ab≥0，则P≥R,故A 2 2 练案[9] 正确，C错误；R-Q=a+62-2ab=2-2ab+&_（a-b2 2 2 2 A组基础自测 ≥0，所以R≥Q,故B错误；因为P≥R,R≥Q,所以P≥Q,故D 1C若a>0>6,则。>0，六<0，此时日>古，所以A不 正确， .C设升级前“屏占比”为么，升级后“屏占比”为+m(a>b 成立； a m 若a=1,b=-2,则a2<b2,所以B不成立： >0,m>0),因为5+m-么=a=b)m>0,所以+m>点 a+m a 因为c2+1≥1，且a>b, a+m aa(a+m) 所以该手机“屏占比”和升级前比变大 所以>恒成立，所以C成立 4AC对于A+1>0中>0，a>6“之 1 当c=0时，alcl=b1cI,所以D不成立 2.B考虑实际意义，知v≤120km/h,且d≥10m 放A正确：对于B,闪为1<6<2.所以-2<-6<-山 3.B①由a2>b2,得1al>1bl,不一定有a>b成立，不符合题 同向不等式相加得-4<a-b<2,故B中说法错误；对于C, 意：对于2，当u=-1,b=1时，有日<，但a>6不成立，所 因为a>60,所以日<行又因为m>0,所以只<放C 以不符合题意；对于③，由ac2>bc2,知c≠0，所以a>b成立， 中说法正确：对于D,只有当a>b>0,c>d>0时，才有ac> 当a>b成立时，不一定有ac2>bc2,因为c可以为0，符合 bd,故D中说法错误，故选AC. 题意 4.C因为a+b>0,b<0,所以a>-b=1b1>0,所以必有a> 5.④①当山<0时，号<。不成立，故①不正确： -b>b>-a. ②当c<0时，a<b,故②不正确； 5C若a>6>0,则片<分同理0>a>6时，<行所以只 ③当a=1,b=-2,k=2时，命题不成立，故③不正确： ④a>b>0=-a<-b<0→0<c-a<c-b, 有当a>0>b时，满是1>1 a>b 两边同乘以 c-a)(c-6,得0<】<1 c-b c-a —328 又a>6>0小。>。6放@确 C,当a=b时等号成立.故选D. 6.a<c<d<b由a-d=c-b,a+d<b+c相加得a<c: 7.a+≤-1因为a<1,即a-1<0, 又b-d=c-a>0,得b>d,又d>c,故a<c<d<b. 7.设A,B两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为1， 所以-(a-1+)=1-a)+a≥2√1-a)-。=2(当 6则系6山=云+云 且仅当1-a=。即a=0时撖等号).即a+a≤-1 因为-6=子。（六+=40 1=8.25-1由x>0,可得x+1>1 2ab(a+b) s(a-b)2 ˉ2a6(a+6<0,所以4<5，所以甲先到达B地， 令t=x+1(t>1),则x=t-1,则+x+3三 x+1 8.因为fx)=ax2-c, -》”13+2-12-1-2-1.当组 t 所以D=a,即[a-e=, 仅当t=√5，即x=√5-1时，等号成立， f2)=4a-c,l4a-c=f2), a=2-]. 9+2层-2当且仅当2宁周=1时等号 解得 ! 成立 e=32)-, x=1或-1时，+宁取得最小值，最小值为2 所以r3)=9a-c=2)-31). 10.证明：(1)x>0,y>0,x>0,Y>0, y 1 又因为-4≤f1)≤-1，-1≤f2)≤5， +22…2 所以-1≤82)-多1)≤20， 由于当且仅当子=子，即x=y时取“=“，但≠y,因此不能 即-1≤f3)≤20. 取“=” 练案[10] +>2 A组基础自测 (2):x>0,y>0,x≠，x+y>22<1, x+y 1.Da<0,则a+4≥4不成立，故A错；a=1,b=1,2+62< 又：>0， a 46,故B错；a=4,6=16,则V瓜<“，放C错；由基本不等 2·团<网， x+y 式可知D项正确， 2y<√ x+y 2B因为>0，所以：+8≥2√，可=18，当且仅当：-1B组素养提升 x 时，等号成立，即x=9. 1.Bx+3y=5xy,x>0,y>0, 3.Da+b≥2√b=2√/10，等号在a=b=√0时成立，故选D. 1+3=13x+4y=(3x+4y)· .5y*5x (你+动)号+影+ 4B因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤(+) 2 是=号+2V要5 当且仅当等-是即=2=1时取等号， 当日仅当=1-x,即x=时，等号成立 ! .当3x+4y取得最小值时，x=2y=1,x+2y的值为2，故 选B. 5Bb<(a<2b<分 2.B由2+3y-1=0可得)=写（什 >0.a+6=1, 2 因为0.所以+2√22 2 (当且仅当号文即=号时，等号成立)故+y的最小 b-(a2+62）=(b-02)-a2=b(1-b)-a2 =ab-a2=a(b-a)>0,b>a2+2,b最大， 值为22 6.D由基本不等式可知，A≥B,2≤，2ab=瓜，所以B≥3.AC“h≤(，a≠6，ab<1 ,a+b≤27a品 329-