练案6 第一章 2.1 必要条件与充分条件-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

={x|1≤x<2或5≤x<6}知选项C正确： 由(CA)UB=xlx<1或3<x≤4或x≥6}UxI2≤x<5}= (x+y)=0,所以x+y=0.对40时片+于=-2x+y= xlx<1或2≤x<5或x≥6}知选项D错误 0.所以“x+y=0”是“x+上=-2”的充要条件. 5.{mI2≤m≤3}.：A∩B=B,.B二A,.:A={xIm-4<x< :7.(1)必要(2)充分 2m,B={xl-1<x<4}, 8.②④由x2≠1→x≠1，x≠1台x2≠1，即x2≠1是x≠1的充 m-4<2m, 分不必要条件，故①不正确.②正确.③中，由y=0≠x=0 m-4≤-1，解得2≤m≤3， 且y=0,则③不正确.④正确 l2m≥4， 9.a<8因为p:x<8,9:x<a,且g是p的充分而不必要条件， 即实数m的取值范围为{ml2≤m≤3}. 所以a<8. 2.4={号=1y=+1学 10.证明：方法一：充分性：由y>0及x>y,得工>二，即 xy xy 2},.CA={(x,y)ly≠x+1}U(2,3). 又B={(x,y)ly=x+1}, y .(CA)∩B=(2,3). 7.因为A={5},CA={2,y}. 必要性：上<招}<0号心 所以1={2,5，y}, 因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0. 又1=2,3,2+2-3到，所以+2x-3=5 所以上<的充要条件是>0， y=3 u[子 方法=-}<0e号c0 故x=2,y=3或x=-4,y=3. 由条件x>yy-x<0,故由y二x<0y>0. 8.(1)因为A={xl2≤x≤6}，B={xl1<x<5},所以CA={xlx 所以<上xy>0, <2或x>6},故AUB=x11<x≤6}，(CA)∩B=xl1<x x y <2}. 即时<的充要条件是>0 x (2)因为C=xm<x<m+1,且CcB,所以m≥1， lm+1≤5， 解B组素养提升 1.B 得1≤m≤4，所以m的取值范围为[1,4]. 练案[6] 2.C方法一（直接法）：当a=0时，=，符合题意a≠0时， r4>0, A组基础自测 若方程两根一正一负（没有零根），则1<0 解得a<0;若方 1.Aa<b,b<0=a<b<0→a+b<0, a 则a+b<0是a<b,b<0的必要条件 4≥0， 2.A因为a=2→(a-1)(a-2)=0,所以a=2是(a-1)(a- 2)=0的充分条件：但(a-1)(a-2)=0,解得a=1或a=2, 程两根均负，则 2<0,解得0<a≤1.综上所术，充要条件是 a 推不出a=2,故a=2不是(a-1)(a-2)=0的必要条件. 3.A“x>2或x<2”→“|xl>1”,但1xl>1台x>2或x< a≤1. -2,.x>2或x<=2是1x1>1的充分不必要条件，故选A. 方法二（排除法）：当α=0时，原方程有一个负实根，可以排除 4Ax<-1→{>或x<-1小反之不成立， - A,D:当a=1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故 选C. 所以x<-1“是“{x>2或x<-1的充分不必要3.ACD EA为e(AnB),放B错，A,C,D都正确，故 条件.故选A. 选ACD. 5.C命题“对所有的xe{x1≤x≤2；，x2-a≤0”为真命题，可4.BCD由Vemn图可知，BCD都是充要条件. 化为对所有的x∈{x11≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥ 故选BCD. (x2)mm=4,即“对所有的x∈x1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命 题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集！ 合{aa≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意。 6.C由y≠0时x+y=0=x=-y→+￥=-2：因为xy≠0，且5.①3④ X 于+子=-2.所以2+=-2，即2++2g=0. 6.充要AUB={x∈RIx<0或x>2},C={x∈RI :x<0或x>2},.AUB=C,.“x∈(AUB)”是“x∈C”的充要 —326 条件. 7.[3,+0)[0,+0)(答案不唯一）若一元二次方程x2- +1(+广+子>0恒成立，放③为真命题：已知4 ,4=a2-4≥0， {ala=2n,B={bb=3n},如n=1,2,3时，6e(A∩B),故为 ax+1=0有两个正实数根x1,x2,则等价于x1x2=1>0, 假命题， 8.(1)是全称量词命题.xeN,故2x为偶数，所以2x+1一定为 lx1+x,=a>0, 奇数，故为真命题 得a2或a≤-2，即≥2，则成立的充分不必要条件为[2， La>0, (②)是布在量词命题找不到使，士0，放为假命题 +0)的真子集，则[3，+∞)满足条件；成立的必要不充分条 (3)是存在量词命题.当m=2,n=1时符合m-n=1,故为真 件要真包含[2，+∞)，则[0，+∞)满足条件 命题 8存在由4x+p<0得x<-子，如图在数轴上 (4)是存在量词命题.例如当A=⑦时符合题意，故为真命题 !B组素养提升 画出不等式x>2或x<-1,由数轴可得，当-子≤-1时，即1.D因为x+3≥0，所以A=xx≥-3.又因为对Va∈M,都 有aA,所以a<-3.故选D. p≥4时，由x<-子≤-1曰x<-1曰x>2或x<-1.故当2.AB易知选项AB为真命题：C中命题当x<0时，l>,所 p≥4时，“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分条件 以C为假命题；D中，由于a-b=2n-3n=-n,所以对于任意 的neN,a-b<0,即a<b,即a≠b,故D为假命题. 3.m≤7存在x∈{xlx≤1}使不等式4x+3≥m能够成立，只需 要满足m≤(4x+3)mm,x∈xlx≤1}时成立，则4×1+3≥m, 即m≤7. 4.a≥1 若p是真命题，则-2×3+u≥0，即a≥1 练案[7] 若g为假命题，则4<0，即a>令，故a≥1 A组基础自测 1.DA是全称量词命题，G+6-2a-26+2=(a-1)+(6-5.因为p为真命题，即方程2x+2-a=0,在x>-2范围内有 1)2≥0，故A是假命题；B是全称量词命题，但有的梯形的对 角线不相等，故B是假命题：“存在小于1的自然数”，C是存！ 实根，所以a=2x+2≥2×(-)+2=1， 在量词命题：选项D,对于所有k∈R,函数y=kx+1的图象过 .a≥1，即实数a的取值范围为a≥1. 定点(0,1)，是全称量词命题且是真命题， 练案[8] 2.BA,D中命题都省略了全称量词“所有”，所以A,D都是全 称量词命题：C中含有全称量词“任意”，是全称量词命题，BA组 基础自测 中命题含有存在量词“存在”，所以B是存在量词命题 1.C命题的否定是Hm,neZ,m2≠n2+2024,故选C. 3.A①该语句是命题由于整数1不是素数，也不是合数，所以2.C。+b≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一 个不为0，故选C 它是假命题：②该语句是命题.5+(-3)和5×(-5)都 3.B命题p:x∈(A∩B)是指x∈A且x∈B,因此其否定为xA 是有理数，但3，-√3都是无理数，所以它是命题且是假命题； 或xB. ③这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即 4.CA正确，B正确，C中“有的三角形为正三角形”为存在量 不能判断其真假，所以它不是命题；④因为当x∈N时，x2+4x 词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三 +7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题.故选A. 角形”，故选项C错误，D正确，故选C. 4.BA是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题：C5.]a,bER,方程am+b=2无解或至少有两解命题p的否 中因为3+(-√3)=0，所以C是假命题；D中对于任意一个： 定：3a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解 负数x,都有工<0，所以D是假命题故选B. 6.m≥ 命题3xe{-}+m<0"是假命题，即命 5.D全称量词命题含有量词“H”,故排除A,B,又等式a2+2 题的否定为真命愿其香定为：“Vxe{≥-子}+m≥ +2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.故选D 1 6.①③①油于VxeR,都有x2≥0，因而有x2+3≥3>0，即x2+3 0”,解得m≥4 >0,所以命题“VxeR,x2+3>0”是真命题；②油于0eN,当x= 7.(1)命题的否定：HxeR,x3+1≠0；因为x=-1时，x3+1= 0时，x≥1不成立，是假命题：③油于-1∈Z,当x=-1时，x<1! 0,故原命题的否定为假命题. 成立，是真命题；④油于使x2=3成立的数只有±5，而它们都不 (2)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直；原命题的 是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题 否定是假命题， 7.①②③命题①②显然为真命题；③由于对于Vx∈R,x2+: (3)命题的否定：对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1;原命 327练案[6] 第一章§2[2.1必要条件与充分条件] 名组·基础自测 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 一、选择题 二、填空题 1.a<b,b<0的一个必要条件是 7.用“充分”或“必要”填空： A.a+6<0 B.a-b>O (1)“x≠3”是“|x|≠3”的 条件 c8<0 D.8<-1 (2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数 2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 能被5整除”的 条件 )8.下列说法正确的是 A.充分不必要条件 ①x2≠1是x≠1的必要条件： B.必要不充分条件 ②x>5是x>4的充分不必要条件； C.充要条件 ③xy=0是x=0且y=0的充要条件； D.既不充分也不必要条件 ④x2<4是x<2的充分不必要条件 3.设x∈R,则“x>2或x<-2”是“|x|>1”的 9.已知p:x<8,9:x<a,且g是p的充分不必要 条件，则a的取值范围为 A.充分不必要条件 三、解答题 B.必要不充分条件 10.已知x,y都是非零实数，且x>y,求证：< C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 的充要条件是xy>0, 2 4.已知x∈R,则{xIx<-1}是 cx>2或<-1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.命题“对所有的x∈{x11≤x≤2}，x2-a≤0” 为真命题的一个充分不必要条件是() .a≥4B.a≤4 C.a≥5D.a≤5 6.若y≠0，则“x+y=0”是“Y+x=-2”的 x Y A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 —183 8组·素养提升 7.“一元二次方程x2-ax+1=0有两个正实数 根”的一个充分不必要条件可以为 一、选择题 1.若非空集合A,B,C满足AUB=C,且B不是A 一个必要不充分条件可以为 的子集，则 三、解答题 ( A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要 8.是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2,或 条件 x<-1”的充分条件？如果存在，求出p的取 值范围；若不存在，请说明理由. B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分 条件 C.“x∈C是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必 要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是 “x∈A”的必要条件 2.方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充 要条件是 A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0 3.(多选题)有以下说法，其中正确的为( A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B.“x∈（A∩B)”是“x∈A”必要条件 C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件 D.“x>3”是“x2>4”的充分条件 4.(多选题)设全集为U,在下列条件中，是BCA 的充要条件的有 ( ) A.AUB=B B.(CA)∩B=⑦ C.CACC B D.AUCB=U 二、填空题 5.给出下列四个条件：①a>0,b>0;②a<0,b< 0:③a=3,b=-2:④a>0,b<0且lal>1b1,其 中 是a+b>0的充分条件.（填序号) 6.设集合A={x∈Rx-2>0,B={x∈RIx<0}, C={x∈Rx<0或x>2,则“x∈(AUB)”是 “x∈C”的 条件.（填“充分不必要” “必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) —184