2.2.1 必要条件与充分条件 同步练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦必要条件与充分条件核心概念，通过基础判断、集合应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的渐进式巩固，培养数学推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分/必要条件概念辨析|单选题（1-4题）直接判断p与q关系，强化概念理解| |中档层|集合与条件结合应用|填空题（8-9题）、单选题（5题）涉及参数范围，训练逻辑推理| |提升层|综合情境与多维度探究|解答题（10题）、多选题（6题）、新定义题（16题）结合取整函数等情境，提升应用意识|

2.2.1　必要条件与充分条件 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.下列各题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：a2>1，q：a>1 D.p：a>b，q：> 2. “”是“”的(　　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.“四边形ABCD中AB∥DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 4.下列命题中为真命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 5.已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3}，B={x|-1≤x≤4}，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.[0，+∞) D. 6.(多选)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件 C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件 7. (2025高一上·浙江月考) 设集合,， 那么 “” 是 “” 的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.“a>2且b>2”是“a+b>4，ab>4”的　　　条件.(用“充分”“必要”填空)  9.已知p：x>a，q：x+2>0，且p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 10.(13分)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若x=y，则x2=y2；(4分) (2)若x=1，则x-1=；(4分) (3)若x>1，则x2>1.(5分) 11. (2026·金山模拟) 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ________ . 12.集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 13.(多选)“集合A=只有3个真子集”的充分条件是(　　) A.1<a<4 B.1<a≤3 C.1<a≤2 D.<a<3 14.(15分)设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围；(6分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.(9分) 15.已知p：x<-1或x>3，q：x<-m+1或x>m+1(m>0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　. 16.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[0]=0，[-0.3]=-1，那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 第1课时　必要条件与充分条件 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.下列各题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：a2>1，q：a>1 D.p：a>b，q：> 答案　A 2. “”是“”的(　　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案　A 解析　可以推出，反之不成立, 所以“”是“”的充分条件. 3.“四边形ABCD中AB∥DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　当AB∥DC时，四边形ABCD不一定是平行四边形，故充分性不成立；当四边形ABCD为平行四边形时，AB∥DC，故必要性成立. 4.下列命题中为真命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 答案　C 解析　对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0<b2=1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a=-1<b=0，但此时有a2=1>b2=0，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；对于C，a+3是无限不循环小数，则a是无限不循环小数，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，x2+2x-3=0，则x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题. 5.已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3}，B={x|-1≤x≤4}，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.[0，+∞) D. 答案　A 解析　由题意得A⊆B，且A≠∅， 所以则可得0≤a≤. 6.(多选)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件 C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件 答案　AD 解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙不能推出丙， 综上，有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 7. (2025高一上·浙江月考) 设集合,， 那么 “” 是 “” 的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当成立时，根据集合的交集定义可知：，当成立时，根据集合的交集定义可知：，故 “” 是 “” 的充分必要条件，故答案为：C. 8.“a>2且b>2”是“a+b>4，ab>4”的　　　条件.(用“充分”“必要”填空)  答案　充分 解析　由a>2且b>2⇒a+b>4，ab>4， 所以是充分条件. 9.已知p：x>a，q：x+2>0，且p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(-∞，-2] 解析　因为p是q的必要条件，则q⇒p，所以q对应的集合是p对应集合的子集，又q：x>-2， 故a≤-2. 10.(13分)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若x=y，则x2=y2；(4分) (2)若x=1，则x-1=；(4分) (3)若x>1，则x2>1.(5分) 解　(1)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (2)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (3)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 11. 11. (2026·金山模拟) 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ________ . 答案　 解析：，，若是的充分条件，则，所以，因此，实数的取值范围是． 12.集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 答案　C 解析　A={x|-1<x<1}， B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}. 因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1，即-2<b<2. 13.(多选)“集合A=只有3个真子集”的充分条件是(　　) A.1<a<4 B.1<a≤3 C.1<a≤2 D.<a<3 答案　CD 解析　因为集合A只有3个真子集，所以集合A中有2个元素， 因为x∈N ，y∈N，则有： 当x=0，y=0时，3x2+y2=0， 当x=0，y=1时，3x2+y2=1， 当x=1，y=0时，3x2+y2=3， 因为集合A中只有2个元素，则1<a≤3， 所给选项中， ⊆，⊆， 所以只有C和D中的范围符合充分条件. 14.(15分)设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围；(6分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.(9分) 解　(1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a， 解得a<，所以a的取值范围为. (2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}. “x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集， 则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥. 又解得a≥5， 故a的取值范围为{a|a≥5}. 15.已知p：x<-1或x>3，q：x<-m+1或x>m+1(m>0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　{m|0<m≤2} 解析　由题意，设集合A={x|x<-1，或x>3}，B={x|x<-m+1，或x>m+1，m>0}，因为p是q的充分条件，即集合A是集合B的子集， 所以解得0<m≤2， 所以实数m的取值范围是{m|0<m≤2}. 16.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[0]=0，[-0.3]=-1，那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　如果[x]=[y]，那么x和y的整数部分是相同的，所以|x-y|<1， 即“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要条件. 如果|x-y|<1，那么x和y的整数部分不一定相同. 例如x=1.2，y=2.1，所以“|x-y|<1”不是“[x]=[y]”的充分条件. 综上，“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $