第4章 对数运算与对数函数章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

§4指数函数、幂函数、对数 当x1时，m=号-子-子nm取最大值学当月总产值 函数增长的比较 为好万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为}万元 必备知识探新知 对点训练3：(1)补齐的图如图： 知识点(a>1)递增快慢较快 关键能力攻重难 例1：y2以爆炸式增长的变量呈指数函数变化， 65- 从表格中可以看出，四个变量y1,,,y均是从2开始变 年 化，变量y1,y2,y,y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中 60 售 变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量 量 y2关于x呈指数函数变化. 对点训练1：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大. 50 (2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f代x)= 2*的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)=x2,增长的 45 3540. 4550 55 60 幅度也在变大；而f(x)=2x+7增长速度不变；增长速度最慢 年宣传费 的是f代x)=log2x,而且增长的幅度越来越小. 由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来 例2：列表： 越慢，因此选取y=c+d√更适合作为年销售量y关于年宣传 0 3 费x的函数解析式 f(x) (2)依题意得，z=200×(4.2+0.07)-x(32≤x≤64)， g(x》 27 化简得z=840+14√-x(32≤x≤64)， 设t=√x(42≤t≤8)，则有z=-t2+14t+840,z=-(t-7)2 +889 故当t=7即投人的年宣传费x=49千元时，年利润取到最 大值， 课堂检测固双基 1.A由函数y=1.1为单调递增的指数函数，函数y=2024x2 0名 x2 为二次函数，y=log2m4x为递增的对数函数，y=2024x为递增 描点、连线，得如图所示图象： 的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数 则函数f代x)=2对应的图象为C2,函数g(x)=x对应的图 的图象与性质，可得指数函数增长速度最快，故选A 象为C 2.B在同一坐标系内作出y=5,y=0.2,y=0.5的图象，由 g(1)=1,f1)=2,g(2)=8,f2)=4,g(9)=729 -1<x<0,观察图象知5<0.5<5，故选B. f9)=512,g(10)=1000,f10)=1024, 3.D由题意可知y=(1+10.4%),故选D. .f1)>g(1),f2)<g(2),f9)<g(9),f10)>g(10), 4.②③由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y=x(0<a<1), .1<x1<2,9<2<10,x1<8<x2<2024 反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈ 从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x): [3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生 当x>x2时，f(x)>g(x),且g(x)在(0，+∞)上是增函数 产，故选②③. ∴.f(2024)>g(2024)>g(8)>f(8) 对点训练2：(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函 §5信息技术支持的函数研究（略） 数为fx)=lgx (2)当0<x<x1时，g(x)>fx);当x1<x<x2时，fx)> 章末知识梳理 g(x);当x>x时，g(x)>f(x). 要点专项突破 例3：(1)依题意，m-n≥0，即9-1 7 2x-4≥-4+5x+4,整理得 例1：(1)原式=log2[(5+2)×(2-V5)]=1g21=0. 2-2x-8≥0，解得x≥4或x≤-2（舍），所以企业要成为不亏 (2)原式=2log2-(1og32-log9)+3log2-3=51og2 损企业，每月至少要生产4台电机 (51og2-2)-3=-1. (2)由(1)可知当0<x<4时企业亏损，亏损额n-m= ③原赋-时+a+ga片=-n-n (子+5+好）-（侵-）-子(：-+号所以例2：①c方法一：当=0时，y=0,放可排除选项A,由1- -307 >0,得x<1,即函数的定义域为(-0,1)，排除选项B,又易关键能力攻重难 知函数在其定义域上是减函数，故选C !例1：(1)令x-1=0,得x=1, 方法二：函数y=2log(1-x)的图象可认为是由y=logx的图.函数y=x-1的零点是1. 象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y=log4x的图象上所有 (2)y=x2-x-6=(x-3)(x+2),令(x-3)(x+2)=0,得x 点的横坐标不变.纵坐标变为原来的2倍，得到函数y=2log4x =-2或x=3, 的图象；(2)把函数y=2logx关于y轴对称得到函数y= .函数y=x2-x-6的零点是-2和3. 2lg4(-x)的图象：(3)把函数y=2log4(-x)的图象向右平移1 (3)令1-logx=0,所以logx=1,解得x=3,所以函数f(x) 个单位，即可得到y=2log(1-x)的图象，故选C. =1-logx的零点是3. (2)D对于A项，对数函数过(1,0)点，但是幂函数不过(0， 对点训练1：(1)令+3=0，解得x=-3, 1)点，所以A项不满足要求；对于B项，由幂函数得a>1,由 x 对数函数得0<a<1,所以B项不满足要求；对于C项，由幂 所以函数代)=+3的零点是-3. 函数得0<a<1,由对数函数得a>1,所以C项不满足要求； (2)令x2+2x+4=0,由于4=22-4×4=-12<0， 对于D项，由幂函数与对数函数都可得0<a<1,所以D项满 所以方程x2+2x+4=0无解， 足要求，故选D. 所以函数f代x)=x2+2x+4不存在零点. 例3：(10令1=2-2x+2,则y=(分)月 (3)令2-3=0，所以2=3，解得x=log23,所以函数f(x）= 又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3， 2-3的零点是log3. 所以当x=1时，tm=1;当x=3时，tx=5.故1≤t≤5， 例2：(1)由f(x)=0,即x2-7x+12=0得△=49-4×12=1 所以()广≤≤子，放所求函数的值城为[动，引 >0. ·.方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4， (2)因为-3≤g4≤- ∴.函数(x)有两个零点，分别是3,4. 所以号sls3, (2)方法一：由fx）=0,得-1=0， -1=0,2-1=0且x≠0， 所以fx)=log7·log￥=(logx-l)(ogx-2) x =（oe-3a+2-(e--子 x=1.故函数f代x)=-1只有一个零点 当1g=3时国)=2，当lg=时， 方法二：由2-上=0，得=1 X )=-子 令h(x)=(x≠0)，g(x)=1 h(x 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的 =g(x) 例4：(1)由已知，当t=0时，P=P。: 图象，由图可知两函数图象只有一个 当t=5时，P=90%P。.于是有90%P。=Pe. 解得长=-h0.9(或0.2). 交点放函数)=2-士只有一个 零点 (2)由(1)得，P=P。e(n0.9)1 (3)当x≥0时，令fx)=0,得x+1=0,解得x=-1,与x≥0矛 当P=40%P时，有0.4P。=P。e(in09)1 盾；当x<0时，令f(x)=0,得x-1=0,解得x=1,与x<0矛盾， 解得t=n0.4 -092_4.60 「x+1,x≥0， 5×(-011) 017≈41.82 .函数f代(x)= 没有零点。 5n0.9 x-1,x<0. 对点训练2：Bf(x)的定义域为(-∞，0)，且fx)在(-∞，0) 故污染物减少到40%至少需要42小时 第五章函数应用 上单调递增(-1)=寸>0，-2)=-号<0，所以函数 f(x)=3-log2(-x)有且仅有1个零点，故选B. §1方程解的存在性及方程的近似解 例3：B函数f代x)=nx-2在(0，+0)上单调递增，又因为 1.1利用函数性质判定方程解的存在性 f1)=-2<0f2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内fx)无零 必备知识探新知 点，A错：又3)=h3-子>0，所以2)3)<0，所以 知识点1(1)解零点横坐标 f(x)在(2,3)内有零点，故选B. 知识点2(1)连续一正一负f代a)·f(b)<0fx)=0对点训练3：C令fx)=e-(x+2),则f(-1)=0.37-1<0, 308110 课堂检测 固双基 1.下列函数增长速度最快的是 A.y=1.1 B.y=2024x2 C.y=log2 024* D.y=2024x 0 2.若-1<x<0,则以下不等式成立的是() c D A.5<5<0.5 4.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t B.5<0.5<5-x (年)的函数关系如图，给出下列四种说法： C.5*<5-<0.5 C D.0.5<5x<5 3.专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面 积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能 0 3 8 年) 增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大 ①前三年中总产量增长的速度越来越快； 致为 ②前三年中总产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变 其中说法正确的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[33] §S信息、技术支持的函数研究（略） 章末知识梳理 知识体系构建 定义：如果a=N,那么b=logN(a>0,a≠1，N>0) 对数的性质：log,a=1,log1=0,aN=N(a>0,a≠1，N>0) 对数的运算性质：若a>0,且a≠1，M>0,N>0,b∈R,则 对数 (1)log,(M.N)log M log N; 及其 运算 （2g兴 log,M log,N; (3)log,M'=b log,M 对数运 换底公式：logb= log b (a>0,b>0,c>0,且a≠1，c≠1) 算与对 log a 数函数 图象 对数函数：y=logx(a>0,且a≠1) 性质 反 定义 函 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数 数 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 要点专项突破 ●要点一对数运算 ●要点二 对数函数的图象 对数式化简或求值的常用方法和技巧 弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择 (1)对于同底数的对数式，化简的常用方平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得 法是： 到所给函数图象 ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对 例 .(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是 数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对 数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式 “拆”成对数的和（差）. (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利 B 用“1g5+lg2=1”来解题. (3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外 逐层化简. (4)当真数是形如“一±一”的式子时， 常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. C D 例1计算与化简： (2)在同一直角坐标系中，函数f(x)=x (1)l0g(3+2)+log(2-3); (x≥0)，g(x)=logx(a>0且a≠1)的 32 图象可能是 (2)2log,2-log+log,8-3l0g5; 3)lga+lg+lga>0且af1 A ●要点三函数的值域 函数值域（最值）的求法 (1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围 就是值域的范围， (2)配方法：适合二次函数. (3)反解法：有界量用y来表示.如y={-女 1+x 中，由=}二Y≥0可求y的范围，可得值域 1+y (4)换元法：通过变量代换转化为能求值域 的函数，特别要注意新变量的范围。 (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复 合函数. 112 x2-2x+2 例3.()求函数y=( (0≤≤3)的 例4.我国冬季大部分地区经常遭渴雾蕴天 气，给人们的健康、交通安全等带来了严 值域； 重影响.经研究，发现工业废气等污染物 (2)已知-3≤lg4≤-号求两数) 排放是雾霾形成和持续的重要因素，污 染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并 =lg乏·lg年的最大值和最 安装了先进的废气处理设备，使产生的 废气经过过滤后排放，以降低对空气的 小值 污染.已知过滤过程中废气的污染物数 量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位： 小时)间的关系为P=Pe(P。,k均为 非零常数，e为自然对数的底数)，其中 P。为1=0时的污染物数量.若经过5小 时过滤后还剩余90%的污染物 (1)求常数k的值； (2)试计算污染物减少到40%至少需要 多少时间（精确到1小时，参考数据： ln0.2≈-1.61，ln0.3≈-1.20，ln0.4≈ -0.92,ln0.5≈-0.69，ln0.9≈-0.11). ●要点四对数函数的应用 建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一 定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低 阶、较简便的模型， (2)可推演原则：建立的模型一定要有意 义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且 能推演出正确结果 (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反 映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似 素养等级测评 性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能， 请同学们认真完成考案（四）》 能回到具体研究对象中去解决问题