4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较导学案——2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，通过“温故”回顾三类函数的图象与单调性，“知新”借助图象和数据感知增长差异，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料特色在于结合实际数据案例（如实验数据建模）培养数学眼光，通过增长规律条件分析发展数学思维，联系现实场景强化模型意识，习题设计注重能力考查，助力学生形成对比分析和精准建模的高阶思维。

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 预习提要 1.回顾幂函数、指数函数、对数函数的图象与基本性质，梳理三类函数的单调性特点，为对比增长差异做好知识铺垫. 2.研读课本，借助图象与数据感知三类函数增长速度区别，理解指数爆炸、对数增长等特征，尝试依据增长模型选择合适函数. 【温故】 对数函数（，且）的图象和性质 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过定点 ，即当时， （4）当时， ； 当时， （4）当时， ； 当时， （5）在定义域上是 函数 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 （5）在定义域上是 函数 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 【知新】 1.指数函数、幂函数、对数函数的增长条件：给定常数，指数函数、对数函数、幂函数都是 函数；而且当的值趋近于 无穷大时，的值都是趋近于 无穷大的． 2.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：随着自变量的增大，的函数值增长远 远 的函数值增长；而的函数值增长又远远 的函数值增长．当底数时，由于指数函数的值增长非常快，称这种现象为“ ”． 课前自测 1.在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 5 7 9 11 13 y 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，a，b为常数，最能反映x，y间函数关系的可能是( ) A. B. C. D. 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 3.（多选）若，则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 4.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是__________.（填序号） ①；②；③；④. 反思 【拓展】 在自变量足够大的前提下，三类函数增长速度层级分明：指数函数爆炸式增长最快，幂函数稳步增长居中，对数函数增长最为平缓. 牢记增长排序：指数增长远快于幂函数，幂函数远快于对数函数. 该规律仅适用于大数区间，局部区间可能出现交叉大小变化，做题需区分局部取值与无穷区间的差异. 培根说：规律的差异，决定事物发展的格局. 三类函数看似都是递增变化，却拥有截然不同的增长节奏. 对数的平缓、幂函数的稳健、指数的爆发，诠释了量变增速的层级差异. 辨析函数增长规律，能跳出单一公式思维，培养对比分析、预判趋势、精准建模的高阶数学思维. 【思考】 1.为什么三大函数增长快慢规律只在自变量足够大时绝对成立？ 2.指数、幂函数、对数函数分别适合刻画哪些类型的实际变化场景？ 答案及解析 【温故】 R 增 减 【知新】 1.增 正 正 2.大于 大于 指数爆炸 课前自测 1.答案：B 解析：根据表格提供的数据可知，自变量的变化量相同时，函数值的增长越来越快，即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.故选B. 2.答案：D 解析：依据常数函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着x的增长，的增长速度最快.故选D. 3.答案：ABC 解析：对于A，指数函数为增函数，，A错误；对于B，指数函数为减函数，，B错误；对于C，对数函数在定义域上为增函数，∴，C错误；对于D，对数函数在定义域上为减函数，，D正确.故选ABC. 4.答案：① 解析：结合四类函数的增长差异可知，①的预期收益最大，故填①. 学科网（北京）股份有限公司 $