4.1 对数的概念-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

●093 第四章 对数运算与对数函数 §1对数的概念 课标要求 核心素养 1.能结合指数幂的运算抽象出对数的概念 在本节学习中，利用实例使学生理解 2.能从教材实例中了解对数的相关概念，常用对数、自然 由指数式向对数式的转化，从而引出 对数 对数的概念.并使学生掌握指数式与 3.能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的 对数式的互化，提升运算能力及逻辑 求值。 推理能力. 必备知识 探新知 知识点1对数的概念 自然对数：以e为底，记作 (1)定义 (3)指数与对数的关系 一般地，如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等 当a>0,且a≠1时，a°=N曰 于N,即a=N,那么数b称为以a为底N的对 (4)对数恒等式：av=N. 数，记作logN=b,其中a叫作对数的底数，N叫 知识点2对数的基本性质 作真数 (1)负数和0没有对数， (2)特殊对数 (2)log1= 常用对数：以10为底，记作 (3)loga= 关键能力 攻重难 ●题型一 对数的定义 归纳提升： 例1.(1)在对数式y=g,(4-x)中，实数x的取值花用是 1.指数式与对数式互化 的方法技巧 (1)指数式化为对裁 式：将指数式的幂作为 (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 真裁，指数作为对数。 ①54=625；②log216=4:③10-2=0.01；④log5125=6. 底数不变，写出对数式 [分析]（1)底数大于0且不等于1，真数大于0，对数式才有意义 多零将对表式的来要释 (2)对裁式化为指数 (2)按指、对数式互化的方法进行互化. 对数作为指数 底数不变写出指数式 2.互化时应注意的问题 (1)利用对数式与指数 式的互化公式互化时，要 注意字母的位置攻变， (2)对裁式的书写要规 范：底数a要写在符 “10g”的右下角，真数 正常书写」 [归纳提升] 094 对点训练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)42=16:(2)102=100:(3)4=2;(4)10g32=-5. 归纳提升：对数性质 ●题型二对数基本性质的应用 在计算中的应用 例2求下列各式中的： (1)对数运算时的常 (1)log3(1og2x）=0;(2)log(log7x)=1; 用性质：loga=1, (3)lg(lnx)=1;(4)lg(lnx)=0. log,1 =0. [分析]利用指数式与对数式的互化进行解答 (2)使用对数的性质 时，有时需要将底裁 或真戴进行变形后才 能运用：对于有多重 对裁符号的，可以先 把内层视为整体，逐 层使用对裁的性质 [归纳提升] 】对点训练2 求下列各式中x的值： （x=e416:(2g=吉31be&"3+2万 ●095 ●题型三对数恒等式的应用 例3计算： (1)7--； 归纳提升：运用对数 (2)42o,9-o5); 恒等式时注意事项 (3)af(a、b均为不等于1的正数，c>0), (1)对于对数恒等式 aogv=N要注意格式： ①它们是同底的：②指 数中会有对数形式： ③其值为对数的真数. (2)对于指数中含有 对数值的式子进行化 简，应充分考虑对数恒 [归纳提升]等式的应用. 》对点训练3 求下列各式的值： (1)5;(2)34-2:(3)24+l. 课堂检测固双基 1.下列说法： ①零和负数没有对数； (3)og16=-2;(4)lnx=3 ②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫作常用对数； ④以e为底的对数叫作自然对数. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若1og3x=3,则x= A.1 B.3 C.9 D.27 3.若a224=b(a>0,且a≠1)，则 ( A.log b=2 024 B.log,a =2 024 C.1og2 024a=b D.10g2 0246=a 4.若1og2(1og3x）=0,则x= 5.完成以下指数式、对数式的互化. 夯基提能作业 a=:(2)s=2 请同学们认真完成练案[28]y=20 当0<a<1时，函数y=1a-1I+1的图象如图2所示 图可知1<2a<2,解得号<a<1. 综上可知，a的取值范围为（分， 例4：令=（分广则y=++1=(+2)+圣 112 因为1>0y=（:+2广+子在(0，+如)上是增函数 所以y>1,即函数的值域为(1，+∞). 第四章对数运算与对数函数 §1对数的概念 必备知识探新知 知识点1(2)lg N In N(3)b=logW 知识点2(2)0(3)1 关键能力攻重难 4-x>0 例1：(1)2<x<4且x≠3由题意可知x-2>0,解得2 Lx-2≠1， 且x≠3，所以2<x<4,且x≠3. (2)①由54=625，得1og625=4. ②由l1og216=4,得2=16. ③由10-2=0.01，得lg0.01=-2. ④油log5125=6,得(5)6=125. 对点训练1：(1)1og416=2.(2)1g100=2. (3)g2=7(4()’=32 例2：(1)由log(1ogx)=0得log2x=1,∴x=2. (2)log3(logx)=1,log7x=3=3,∴.x=73=343. (3)1g (In x)=1,In x=10,..x=elo. (4)1g (In x)=0,In x=1,..x=e. 对点训练2：(1)：=g时16（分） =16,即2=24 .-x=4,即x=-4 1 (2):lgx=-3x=8方= 11 2 (3):log(万-) 1 =X, W/3+22 .(2-1)= 1 √3+22√(2+1)22+1 =2-1,∴.x=1. 例3：1)原式=7乙号 7 (2)原式=29-g5=22_9 F2g5=5 (3)原式=(al)lg,5=bos6=c 对点训练3：(1)方法一：设5=x,则log4=logx,.x=4. 方法二：利用对数恒等式得：x=4 ,则由 (2)3=43-2=3×32=4×g=号 (3)2o5=5,.24+25=24×2g25=16×5=80. 课堂检测固双基 1.C①正确：②底数小于0的指数式不可以化成对数式：③④ 正确，故选C. :2.D因为1ogx=3,所以x=33=27.故选D. 3.A若a24=b(a>0且a≠1)，则2024=log6.故选A 4.3由题意得l0gx=1,∴.x=3. (2:8时=2万lg(22)=2 (3)eg16=-2() =16. (4)lhx=3e宁=x 1 §2对数的运算 必备知识 探新知 <x<4 知识点1logM+log,Nlog,M-log.N nlog,M 知识点2 log.b log a 关键能力攻重难 例1：1)原式=分%65=号g5=号 3 (2)原式=1og232+log42=5+4=9. (3)原武=-2g5+子×3g2+g5x(1+g2)+g2 =2(lg5+1g2)+1g5+lg5×lg2+(lg2)2 =2+1-lg2+lg2×(1-lg2)+(1g2)2=3. 对点训练1：(1)原式=1og3登+1g 5 =1 (2)原式=(lg5)2+lg2×lg(5×10) =(1g5)2+lg2×(1+lg5) =(1g5)2+lg2+lg2lg5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg5+lg2=lg10=1. 例2：(1)log.(xy2）=logx+logy2=logx+2logy (2)log(x)=log.x+loglog.x+log.y. -303