第3章 指数运算与指数函数章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

(） <1, 课堂检测固双基 .fx2)<fx).∴函数fx)在[1，+∞)上单调递减。 .B函数=05是R上的减函数，又：子>行>子 综上，函数f代x)在区间(-0,1]上单调递增：在区间[1，+∞)上 ∴.a<b<c,故选B 单调递减， 2.A在函数fx)=7+a-l(a>0,且a≠1)中，当x=1时f1) 2-2x 2-2x=(x-12-1≥-1.0<3<10<(3） =7+a=8.所以函数f(x)=7+a-1(a>0,且a≠1)的图象恒 (兮）=3六两数)的值蚊为0.3。 过定点P(1,8).故选A 3.Ba=30.2>3°=1， 方法二：：函数f(x)的定义域为R,令u=x2-2x,则g(u) b=0.2-3=53=125, =( c=0.32<0.3°=1， ∴.b>a>c. :u=x2-2x=(x-1)2-1,在(-∞，1)上是减函数，g(u)=4.D由函数图象不过第二象限知a>1,且x=0时，a°+(b- (兮)广在其定义线内是诚函数。 1)≤0，.b≤0，故选D .函数f(x)在(-∞，1]内为增函数， 5.分方法一：)为奇函数， 在其定义域内为减函数，而u=x2-2x=∴f代-x)+f(x)=0, (x-1)2-1在[1，+)上是增函数. ! 1 +a=0, .函数f代x)在[1，+∞)上是减函数.求值域同方法一. 11 对点训练3：函数f(x)的定义域为R令t=x2-6x+17,则y= 2a=-3+13+1 2.·t=x2-6x+17=(x-3)2+8在(-0,3)上单调递减， 而y=2在其定义域内是增函数，.函数f(x)在(-∞，3)上 方法二函数x)定义域为R,且为奇函数(0)=9+1+ 单调递减.又：t=x2-6x+17=(x-3)2+8在[3，+∞)上单 1 2 +a, 调递增，而y=2在其定义域内是增函数，.函数f(x)在[3， +∞)上单调递增.t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8，而y= 又f0)=0,∴.a=- 2在其定义域内是增函数， 2 f(x)=22-+7≥28=256，.函数f(x)的值域为[256， 章末知识梳理 +0). 例4：(1)方法一：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0,即要点专项突破 k-1=0,.k=1. 例1：(1)AD由指数函数的定义易知A、D是指数函数，B、C不 当k=1时，f(x)=a-a,f(-x)=ax-a=-(a-a） 是，故选AD. =-fx), 20-3=1, 故k=1符合题意 (2)D由题意，得 方法二：f代-x）=ha*-a,-f(x)=-ha+a,又fx)是奇 a>0, 函数，∴f代-x)=-f孔x)在定义域R上恒成立， a≠1， 81 a=8fx)=8.)=8=22 2)1)=a-。>0,又a>0,且a1a>l 例2：109 原式=1+子×（号广-(0-1+60 y=a,y=-a*都是R上的增函数， .f(x)是R上的增函数 故fx2+2x)+f4-x2)>0fx2+2x)>-f4-x2)=f(x2-4) (2)原式=0a:√a:。a x2+2x>x2-46与x>-2. f代x)在R上单调递增，且不等式的解集为xlx>-2. ! =a:√a:a 对点训练4：C依题意，对一切x∈R,有f代-x)=f(x), =寺÷(u3)宁÷(a2)冷 a…2*a…2*=2+a 即 a+2 =a子÷a6÷a号 =子-后÷a子=a寸+号=a后 (a-日(2-2）=0对-切xeR成立， 例3：(7，当a>1时，函数y=。-11+1的图象如图1所 则a-=0=士1 示，则由图可知1<2a<2,解得3<a<1,与a>1矛盾； 一302 2原武-2器-号 (3)原式=(ag,)g=bbg6=G 对点训练3：(1)方法一：设5=x,则1og4=logx,….x=4 方法二：利用对数恒等式得：x=4. 当0<a<1时，函数y=1a-1I+1的图象如图2所示，则由 （2:3w-43w2=3x3=4xg=号 图可知1<2a<2,解得7<a<1. (3)282=5,.24+125=24×2g25=16×5=80. 课堂检测固双基 综上可知，a的取值范围为（分 1.C①正确：②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④ 正确，故选C 例4：令=（），则y=++1=+)+子 2.D因为logx=3,所以x=33=27.故选D. 112 因为1>0，y=(+2广+子在(0，+如)上是增函数 3.A若a24=b(a>0且a≠1)，则2024=logb.故选A 14.3 由题意得logx=1,∴.x=3. 所以y>1,即函数的值域为(1，+∞). 第四章对数运算与对数函数 (2:8=2万1bg(22)=7 §1 对数的概念 (3):1g16=-2(4 ）=16. 必备知识探新知 1 知识点1(2)lg N In N(3)b=log.N (4):hx=3e=x 知识点2(2)0(3)1 §2对数的运算 关键能力攻重难 4-x>0. 必备知识探新知 例1：(1)2<x<4且x≠3由题意可知x-2>0,解得2<x<4 知识点1logM+log,N log,M-log.N nlog,M x-2≠1， 知识点2 log b 且x≠3，所以2<x<4,且x≠3. loga (2)①由54=625，得1og625=4. 关键能力攻重难 ②由1og216=4,得24=16. ③由10-2=0.01，得lg0.01=-2. 例1：仙)原武=方g,625=g5=号 (2)原式=1og232+log42=5+4=9. ④由1og5125=6,得(5)°=125. 对点训练1：(1)1og16=2.(2)1g100=2. (3)原式-2g5+子×3g2+g5×(1+lg2)+g2y2 (3)g2-2(4(2）'=32 =2(lg5+lg2)+lg5+lg5×lg2+(1g2)2 =2+1-lg2+lg2×(1-lg2)+(1g2)2=3. 例2：(1)由1og(logx)=0得log2x=1,.x=2. 2 (2)log(10g,x)=1,l0g7x=3=3,x=73=343. 对点训练1：(1)原式=1og3子+lg子 5 (3)lg(nx)=1,lnx=10,.x=eo. =0-10 3 (4)1g (In x)=0,In x=1,..x=e. 对点训练2：(：=lg16(分） =16,即2*=24 1 -x=4,即x=-4. (2)原式=(1g5)2+lg2×1g(5×10) (2):1=-分=8方=57 1 11 =(1g5)2+lg2×(1+lg5) =(1g5)2+lg2+lg2.lg5 (3):lg-3+2 .1 二=X, lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg5+lg2=lg10=1. 1 1 .(2-1)= √3+22√(2+1)F2+1 例2：(1)log.(xy2)=logx+logy2=logx+2logy. =2-1,∴.x=1. (2)log.(=log+logoglog.. 例3：1)原式-7=子 x -303091 课堂检测 固双基 1.若a=0.5,b=0.5,c=0.5,则a,b,c的大 C.c>a>b D.b>c>a 小关系是 4.若函数y=a+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象 A.a>b>c B.a<b<c 不经过第二象限，则有 () C.a<c<b D.b<c<a A.a>1且b<1 2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1)，函数 B.0<a<1且b≤1 f(x)=7+a-1的图象恒过点P,则点P的坐标 C.0<a<1且b>0 是 ( D.a>1且b≤0 A.(1,8) B.(1,7) 5.已知函数f代x)=,1,+a为奇函数，则a的 D.(8,0) 3*+1 C.(0,8) 3.已知a=302,b=0.23,c=0.32,则a,b,c的大 值为 小关系为 夯基提能作业 A.a>b>c B.b>a>c 请同学们认真完成练案[27] 章末知识梳理 知识体系构建 指数概念 正整数指数幂 整数指数幂 有理数指数幂 实数指数幂 指数运算与指数函数 a·af=a+fa>0) 指数运算 (a)=aa>0) (ab)=ab(a>0.b>0) 指数函数 概念 1y=2x y=a y=3 (a>1) 指数函数y= 指数函数 (a>0,且a≠1) 图象 y=a (0a<1) 指数函数 性质 要点专项突破 ●要点一指数函数的概念 a≠1). (2)利用已知条件求底数a. 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)判断的依据是指数函数的定义，即函数 (3)写出指数函数的解析式 .(1)(多选题)以x为自变量的四个函数 解析式的结构特征， 例 中，是指数函数的为 () (2)有些函数需要对解析式变形后判断，如 A.y=(3+1)* B.y=(1-2) 是指数函数 C.y=3+1 D.y=T 2.求指数函数解析式的步骤 (2)若函数x)=(20-3)·。是指数 (1)设指数函数的解析式为f(x)=a(a>0且 092 函数，则)的值为 常用的变换作图法主要有： 向左平移e(P>0)个单位长度=的图象 A.2 B.-2 向右平移e(p>0)个单位长度=4Ψ的图象 C.-2√2 D.22 向上平移b(b>0)个单位长度=：+b的图象 ●要点二分数指数幂的运算 y=a的图象 向下平移b(b>0)个单位长度=d-b的图氢 1.幂的运算的常规方法 关于x轴对称=-心的图象 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负 指数 关于y轴对称y=4的图象 (2)化根式为分数指数幂 关于原点对称=-。的图象 (3)化小数为分数 此外，函数y=ax的图象关于y轴对称；函 2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求 数y=a-b1的图象可由函数y=a-b的图象 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方 为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统的部分翻折到x轴上方得到 一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指 例3.若直线y=2a与函数y=1。-11+1(a> 数幂，也不能同时含有分母和负指数， 0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的 例2(1)计算：2”+2·2 0 取值范围是 ●要点四指数型函数的值域 (0.01)05= 在利用换元法求函数值域、最值时，经过换 (2)化简：√a√a÷√aa示： 元，函数的定义域可发生变化 aa可 例4.求函数y=)+ +1的值域 [分析]将根式化为分数指数幂的形 式，利用分数指数幂的运算性质计算. ●要点三指数函数的图象 利用指数函数图象作有关函数图象的基本 方法—变换作图法 对于与指数函数有关的函数的作图问题， 般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把 握函数的性质. 利用变换作图法作图要注意：(1)选择哪个 素养等级测评 指数函数作为起始函数；(2)平移的方向及长 请同学们认真完成考案（三）》 度；(3)选择对称类型.