3.3 第1课时指数函数的概念指数函数的图象和性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

084 )对点训练3 已0：*>0，>0，-y=6y=16,求t+ 的值 1y2 ●易错警示 因忽略幂底数的范围而导致错误 例4.化简(1-a)[(a-1)2(-a)= [错解](1-a)[(a-1)2·(-a)] =(1-a)(a-1)-1.(-a)÷=-(-a) [辨析]忽略了题中有(-a),即相当于告知-a≥0，故a≤0，这样，[(a-1)2]≠(a- 1)1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算性质外还要关注条件中的字母是否有隐含 的条件. [点评]在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意 是否是偶次方根，被开方数是否符合要求， 课堂检测固双基 1.下列运算中计算结果正确的是 ()A.2 B.5 C.6 D.7 A.a'.a=a B.a6÷a3=a2 4.计算(a2·b)6·b2= C.(a3)2=a D.a3.b=(a·b)3 2.计算(2)的结果是 5 -1-a5) 的值为 ( A.√2 B.-2 C.2 0.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[25] 3.设x∈R且x≠0，若x+x1=3,则x8+x8的 个位数字是 §3 指数函数 课标要求 核心素养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的 求法 指数函数的学习，学生应掌握 2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出 指数函数的概念和性质，运用 指数函数的性质， 信息技术学习、探索和解决问 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比 题.培养学生数学抽象、逻辑推 较幂的大小。 理、直观想象等核心素养， 4.通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运 用指数函数的图象研究一些实际问题， 085 第1课时 指数函数的概念指数函数的图象和性质 必备知识 探新知 知识点1指数函数 v=a (1)定义：给定正数a,且a≠1时， 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. 图象 (2)性质：①定义域是R,函数值大于 ;②图象过定点 知识点2指数函数y=a(a>1)的图象 ①当x<0时， 大小 和性质 ②当x=0时，a=b=1; ③当x>0时 (1)单调性：在R上是 函数.当x值 趋近于正无穷大时，函数值趋近于 ;当x值 知识点4指数函数的图象和性质 趋近于负无穷大时，函数值趋近于 a>1 0<a<1 (2)函数y=a*和y=b(a>b>1)的关系， y=a y=a y=0 =b 象 y1o,i） (0,1) 图象 0 (1)定义域：R ①当x<0时，0<a<b<1; (2)值域：(0，+∞) 大小 ②当x=0时，a=b=1; (3)过定点 即x=0时，y= ③当x>0时，a>b>1 (4)当x<0时， (4)当x<0时， 知识点3 指数函数y=a(0<a<1)的 当x>0时， 当x>0时， 质 图象和性质 (5)在R上为函数 (5)在R上为函数 (1)单调性：在R上是 函数.当x值 当x值趋近于正无穷大 当x值趋近于正无穷大 趋近于正无穷大时，函数值趋近于 ;当x值 时，函数值趋近于正无穷 时，函数值趋近于0；当x 趋近于负无穷大时，函数值趋近于 大；当x值趋近于负无穷 值趋近于负无穷大时，函 (2)函数y=a和y=b(0<a<b<1)的关系. 大时，函数值趋近于0. 数值趋近于正无穷大 关键能力 攻重难 ●题型一指数函数的概念 例1.(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是 归纳提升： A.y=(-4) B.y=T 判断一个函数是否是指 C.y=-4 D.y=a+2(a>0,a≠1) 数函数，关键是看解析 (2)若y=(a2-3a+3)a是指数函数，则有 (） 式是否符合y=d(u> A.a=1或2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且a≠1 0,a≠1)这一结构形 [分析]利用指数函数的定义进行判断。 [归纳提升]式 086 对点训练1 下列函数中是指数函数的是 () A.y=2·(2) B.y=x* C.y=3 D.y=(5) ●题型二利用指数函数的单调性比较大小 例2比较下列各题中两个值的大小 (1)1.822,1.8;(2)0.7-03,0.7-04；（3)1.94,0.924； 4品 [分析](1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进 行比较：(4)借助中间量8产 进行比较 归纳提升： 比较指裁式的大小应 根据所给指数式的形 式，当底裁相同时， 运用单调性法求解： 当底裁不同时，利用 一个中间量作比较进 行求解.或借助于同 一坐标系中的图象求 解. >[归纳提升] 》对点训练2 比较下列每组中两个数的大小： (1)1.725,1.73;(2)0.801,0.802; 3)…, ）41.7,0.g 087 ●题型三与指数函数有关的定义域、值域问题 归纳提升： 例3，求下列函数的定义域和值域： 1.函数单调性在求函 数值域中的应用 (1)y=24; （1)若函裁f(x)在区 2=)“ 间[a,b]上是增函 裁，则f(a)≤f(x)≤ (3y=- f(b),值域为[f(a), f(b)]. [分析]定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域 （2)若函数f(x)在区 是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解 间[a,b]上是减函 数，则f(a)≥f(x)≥ f(b),值域为[f(b), f(a)]. 2.函数y=d)定义 域、值域的求法 (1)定义域 函数y=到的定义城 与y=f(x)的定义域 相同. (2)值域 ①换元，令t=f(x): ②求t=f(x)的定义域 x∈D;③求t=f(x)的 [归纳提升] 值域t∈M;④利用y= a的单调性求y=d, 》对点训练3 t∈M的值域. 求y=份 的定义域和值域！ 088 ●易错警示解与指数相关的不等式时未讨论 例4如果。“≤a-(a>0,且a1),求x的取值范围。 [错解]由于a21≤a-5,所以2x+1≤x-5,解得x≤-6. 所以x的取值范围是x≤-6. [辨析]所求不等式中的底数为不定常数a,因此在解不等式时要分0<a<1和a>1两种 情况讨论。 [正解] [点评]底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次 不等式（方程）求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解. 课堂检测 固双基 1.函数y=3的图象是 )3.若2+1<1，则x的取值范围是 A.（-1,1) B.(-1,+0) C.(0,1)U(1,+0)D.(-0,-1) 4.函数y=2*(x≥0)的值域是 C D 5.函数y=√a-1(a>0,且a≠1)的定义域是 2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的 (-∞，0]，则实数a的取值范围为 解析式为 ( 夯基提能作业 A.f(x）=x3 B.f(x)=2 请同学们认真完成练案[26] D.f(x)=x 第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用 必备知识 探新知 知识点1比较幂的大小 小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间 比较幂的大小的常用方法： 值来比较， (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大知识点2有关指数型函数的性质问题 小比较，可以利用指数函数的单调性来判断 (1)求复合函数的定义域 (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大 形如y=d)的函数的定义域就是f(x)的定 小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判义域。 断.也可利用幂函数的性质来判断！ 求形如y=d)的函数的值域，应先求出u= (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大f(x)的值域，再由单调性求出y=a“的值域.若a关键能力 攻重难 选项错误，根据指数幂的运算性质a3·b=(a·b)3,故选D. 例1：2×)-×()-[（门 2.D(2)昏=-2=7放选D 3.Dx+x1=3→x2+x2=7→x4+x4=47→x8+x8=472 2,故选D (2)原式=(2语×356=2°×32=4608， 4.a23(a2·b).b62=a23.b2.62=a23. （3)原式-号-号-1+2-2 原式=1-1-2)÷(3=1-(-3)×号=子 47 5. 3 (4)原式=(3F×25)3E=36×22=2916. §3 指数函数 对点装1：源式-（百产0+（分）手3+条 第1课时指数函数的概念 +100+名-3+ *48=100 指数函数的图象和性质 例2：(1)Ba.(a>0)=a立.a号=a+号=a=a 必备知识探新知 (2)原式().6位a… 知识点1(1)y=a(2)0(0,1) 知识点2(1)增正无穷大0 as.bo 知识点3(1)减0正无穷大(2)a>6>10<a< =。奇子位+时 ib<I a6.b8 知识点4(0,1)10<y<1y>1y>10<y<1 -含经-a音古=a= 增减 a6.b8 关键能力攻重难 对点训练2：2x(-3xy)÷(-6x7y青) 例1：(1)B函数y=(-4)的底数-4<0，故A中函数不是指 数函数；函数y=的系数为1，底数>1，故B中函数是指 =[2×(-3)÷(-6)]x寸+守+y寸+号=2y 数函数； 例3：(1)将a立+a乞=3两边平方，得a+a1+2=9, 函数y=-4的系数为-1，故C中函数不是指数函数： 即a+a-1=7. 函数y=a+2=a2·a的系数为a2,故D中函数不是指数函 (2)将a+a1=7两边平方，有a2+a2+2=49, 数，故选B. .a2+a2=47. ra2-3a+3=1, (3)由于2-a宁=(a)-(a所以有房-a宝 (2)C由题意，得a>0, aT-a-3 a≠1， 解得a=2,故选C (u立-a)(a+al+a·a=a+al+1=7+l=8 对点训练1：D由指数函数定义可知，函数y=(3)'是指数函 a2-a支 数，故选D. 对点训练3：这+产_位+) 例2：(1)：1.822,1.83可看作函数y=1.8*的两个函数值， (x克-y)2 1.8>1,∴.y=1.8*在R上为增函数， x-Y 又2.2<3， x+y-2(y)2 .1.822<1.83. 又x-y=6,y=16, (2):y=0.7在R上为减函数， .(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×16=100. 又-0.3>-0.4， .x+y=10或x+y=-10(舍去). 0.7-0.3<0.7-4 6 当x+y=10时，原武值为10-2×43， (3)1.904>1.9°-=1,0.924<0.9°=1， .1.904>0.924 易错警示 例4：(-a)年由(-a)知-a≥0，故a-1<0. (4):y=在(0，+0)上为指函数，且号<品 (1-a)[(a-1)-2(-a)z]z=(1-a)(1-a)-l. ()(品 (-a)年=(-a). 课堂检测固双基 y=(0)在R上为减函数，又> 1.D根据指数幂的乘法性质可知a·a=a≠a2,故A选项 错误；根据指数幂的除法性质可知a÷a3=a-3=a3≠a2,故 ()<(品)…()广<（品） B选项错误；根据指数幂的乘方性质可知(a)2=a≠a,故C对点训练2：(1)考查指数函数y=1.7,由于底数1.7>1，指 300 数函数y=1.7在(-∞，+∞)上是增函数， 值域为[1，+如)。 2.5<3,.1.725<1.73 5.(0,1)由a-1≥0，得a≥1 (2)考查函数y=0.8,由于0<0.8<1， 函数的定义域是(-∞，0]，…a≥1的解集为 .指数函数y=0.8在(-0，+0)上为减函数 (-o,0],.0<a<1. -0.1>-0.2,.0.8-0.1<0.8-a2 第2课时 指数函数的图象 (3)方法-：在同-平面直角坐标系中画出指数函数了=（号）与 和性质的综合应用 y=(子)广的图象，如图所示，当x=-05时，观察图象可得 关键能力 攻重难 ()) 例1：(1)B0.303>0.304,即b>c /0.403 >1,即a>b,所以a>b>c 2 y= (2)C 函数)-()广在R上是藏函数，且<()< y() (<1,所以1>6>a>0,所以d<a< -0.50 对点训练1：D由指数函数性质可知，当0<x<1时，2>2° 方法二：y=x-05在(0，+0)上是减函数， 1,(2广<(2=1，面=Q2与y=(2厂在0<x<1时. y=0.2在y=(） 图象的下方，故0.2<（分）<2.故 (4)由指数函数的性质得 选D. 1.7a3>1.7°=1,0.931<0.9°=1， 例2：(1)C因为函数的图象恒过点(-1,4)，所以m-1=0且 .1.703>0.921 2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2,所以m+n=-1. 例3：(1)由题意知x-4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为 (2)C指数函数y=3过定点(0,1)， xeR,≠4.因为，'40，所以2应≠1，所以函数的值玻 函数g(x)=3+1+t过定点(0,3+t)且为增 函数 为yly>0,且y≠1}. 要使g(x)=3*+1+t的图象不经过第二 (2)由题意知函数的定义域为R 象限， 因为1≥0所以y=()”-()”=(2=1,所以西 只须函数g(x)=3+·+t与y轴的交点的纵 坐标不大于0即可，如图所示 数的值域为{yly≥1. 即图象不过第二象限，则3+t≤0，所以t≤-3，则t的取值范 (3)由题意知1-(2)≥0，所以(2)≤1=（号，所以x≥ 围为：t≤-3， 0,所以函数的定义域为xlx≥0，x∈R}.因为y关于x单调递 对点训练2：Cf(x)是分段函数，根据x的正负写出分段函数的 增，所以函数的值域为{y0≤y<1. 「a*(x>0), 解析式，f代x)= 所以x>0时，图象与y=a在 对点训练3：由x-2≥0，得x≥2，所以定义域为{xlx≥2. l-a(x<0), /x-2 第一象限的图象一样，x<0时，图象与y=a的图象关于x轴 当≥2时，-2≥0，又因为0<3<1，所以y=(兮 对称 的值域为y10<y≤1}. 例3：方法一：：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)， 易错警示 设x1∈(-0，+0)且有x<x2, 例4：①当0<a<1时，由于a2+1≤a5,所以2x+1≥x-5,解得 x≥-6.②当a>1时，由于a2+≤a-5,所以2x+1≤x-5,解 得x≤-6.综上所述，x的取值范围是：当0<a<1时，{xlx≥ (付) -6}:当a>1时，{xlx≤-6}. 课堂检测固双基 1B因为y=3=(分广，所以B选项正确 (1)当x1<x32≤1,1+x2<2,即有x1+2-2<0. 2.B 又：2->0，(2-1)（2+无-2)<0，则知 3.D不等式2+1<2°，因为y=2是定义域R上的增函数，所 /121(2+1-2 3 >1.又对于x∈R,f(x)>0恒成立 以x+1<0,即x<-1. .f代x2)>f(x).∴.函数f(x)在(-，1]上单调递增 4.[1,+∞)：y=2在[0，+0)上为增函数， (2)当1≤x1<x2时，x1+x2>2,即有x1+x2-2>0. ..x≥0即y≥2°=1， 又2-x1>0,.(x2-x1)(x1+2-2)>0,则知0< 301