第4章 1 对数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的定义.2.了解常用对数与自然对数.3.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的定义.2.指数式与对数式的互化.3.对数的简单性质． 教学难点：1.对数定义的理解.2.指数式与对数式之间的熟练转化． 知识点一　对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 根据对数的定义，有alogaN＝N. [注意]　式子ab＝N叫作指数式，logaN＝b叫作对数式，两个式子所表示的都是三个数a，b，N的同一种数量关系，只是表达形式不同而已 所表示的都是三个数3，2，6的同一种数量关系，前者叫作乘法式子，后者叫作除法式子). 知识点二　两种特殊的对数 (1)常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为常用对数，N的常用对数log10N，简记为lg__N． (2)自然对数：以无理数e＝2.718281…为底数的对数，称之为自然对数，N的自然对数logeN，简记为ln__N． 对数的性质 (1)零和负数没有对数，即N>0. (2)1的对数为0，即loga1＝0. (3)底的对数等于1，即logaa＝1. (4)logaax＝x(a>0，且a≠1)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为42＝16，所以log416＝2.(　　) (2)对数式log32与log23的意义一样．(　　) (3)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) (4)对于同一个正数，当底数(大于0且不为1)不相同时，它的对数也不相同．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x＝2026，则x＝________． (2)lg 10＝________；ln e＝________． (3)将log3a＝2化为指数式为________． 答案：(1)log52026　(2)1　1　(3)32＝a 题型一　对数式 　(1)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4 [解析]　由题意得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C (2)对于a>0，且a≠1，下列说法中正确的是(　　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A．①③ B．②④ C．② D．①②③④ [解析]　对于①，当M＝N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立； 对于②，logaM＝logaN，则必有M >0，N>0，M＝N； 对于③，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2＝logaN2，但此时M≠N； 对于④，当M＝N＝0时，logaM2，logaN2都没有意义，故不成立． 综上知，只有②正确． [答案]　C 【感悟提升】　对数式有意义的条件 对数式有意义的两个前提：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． 【跟踪训练】 1．在对数log(2x－1)(x＋2)中，求x的取值范围． 解：因为真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以 解得x>，且x≠1. 所以x的取值范围是. 题型二　指数式与对数式的互化 　(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝. [解]　log216＝4；log2＝－5. (2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log16＝－4. [解]　53＝125；＝16. 【感悟提升】　指数式与对数式互化的思路 由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a>0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【跟踪训练】 2．(1)若a＝log23，则2a＋2－a＝________． 答案： 解析：因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝. (2)将下列指数式与对数式互化： ①log327＝3；②＝6；③43＝64. 解：①33＝27.②()6＝x.③log464＝3. 题型三　对数性质的应用 　(1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． [解析]　∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；由log25x＝，得x＝25＝5，④错误．故填①②. [答案]　①② (2)求下列各式中x的值： ①log2(log5x)＝0；②log3(lg x)＝1； ③＝x. [解]　①∵log2(log5x)＝0. ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. ②∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1000. ③∵＝x， ∴(－1)x＝＝＝＝－1， ∴x＝1. 【感悟提升】　对数性质在计算中的应用 (1)计算对数时常用的性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 【跟踪训练】 3．(1)若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值． 解：∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0， ∴即 解得x＝4.故所求x的值为4. (2)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：∵log2[log3(log4x)]＝0， ∴log3(log4x)＝1， ∴log4x＝3. ∴x＝43＝64.同理求得y＝16. ∴x＋y＝80. 题型四　对数恒等式的应用 　求下列各式的值： (1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25. [解]　(1)设5 log54＝x，则log54＝log5x， ∴x＝4. (2)∵3 log34＝4， ∴3 log34－2＝3 log34×3－2＝4×＝. (3)∵2 log25＝5， ∴24＋log25＝24×2 log25＝16×5＝80. 【感悟提升】　运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式a logaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 【跟踪训练】 4．求31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋的值． 解：原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2＝18－48＋27＋＝－. 1．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化为对数式为(　　) A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b 答案：B 解析：由对数的定义直接可得logac＝b. 2．已知logx16＝2，则x＝(　　) A．±4 B．4 C．256 D．2 答案：B 解析：∵x2＝16且x>0，x≠1，∴x＝4.故选B. 3．若log3＝0，则x＝________． 答案：－4 解析：∵log3＝0，∴＝1，1－2x＝9.∴－2x＝8，x＝－4. 4．式子2log25＋log1的值为________． 答案：5 解析：由对数的性质知，2 log25＝5，log1＝0， 故原式＝5. 5．求下列各式中x的值： (1)若log3＝1，求x的值； (2)若log2026(x2－1)＝0，求x的值． 解：(1)∵log3＝1，∴＝3， ∴1＋2x＝9，∴x＝4. (2)∵log2026(x2－1)＝0， ∴x2－1＝1，即x2＝2，∴x＝±. 课后课时精练 一、选择题 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a＞且a≠1 B．0＜a＜ C．a＞0且a≠1 D．a＜ 答案：B 解析：由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜. 2．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx的值是(　　) A．1 B．0 C．x D．y 答案：B 解析：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logxyx＝log212＝0. 3．将对数式log5b＝2化为指数式是(　　) A．5b＝2 B．b5＝2 C．52＝b D．b2＝5 答案：C 解析：由对数的概念可知log5b＝2⇔52＝b，故选C. 4．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 答案：ABD 解析：e0＝1⇔ln 1＝0，故A正确；8－＝⇔log8＝－，故B正确；log39＝2⇔32＝9，9＝3⇔log93＝，故C错误；log77＝1⇔71＝7，故D正确． 5．的值为(　　) A．2＋ B．2 C．2＋ D．1＋ 答案：B 解析：＝2×＝2×＝2×5＝2. 二、填空题 6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________． 答案：2 解析：依题意，得2x－1＝3，∴x＝2. 7．若a>0，a2＝，则loga＝________． 答案：1 解析：由a>0，a2＝＝，可知a＝，∴loga＝log＝1. 8．－＋lg ＋(－1)lg 1的值是________． 答案：－3 解析：原式＝－＋lg 10－2＋(－1)0＝－－2＋1＝－3. 三、解答题 9．将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式： (1)24＝16；(2)＝0.45； (3)log5125＝3；(4)lg a＝－1.5. 解：(1)log216＝4. (2)log0.45＝b. (3)53＝125. (4)10－1.5＝a. 10．求下列各式中x的值： (1)log3(log2x)＝0；(2)log3(log7x)＝1； (3)lg (ln x)＝1；(4)lg (ln x)＝0. 解：(1)log3(log2x)＝0，log2x＝1，∴x＝2. (2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3， ∴x＝73＝343. (3)lg (ln x)＝1，ln x＝10，∴x＝e10. (4)lg (ln x)＝0，ln x＝1，∴x＝e. 11．已知logab＝logba(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)．求证：a＝b或a＝. 证明：设logab＝logba＝k， 则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2. ∵b>0，且b≠1，∴k2＝1， 即k＝±1.当k＝－1时，a＝； 当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝，命题得证． 12．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值． 解：函数可化为f(x)＝lg a－＋4lg a. ∵f(x)有最大值3， ∴lg a<0，且－＋4lg a＝3， 整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0， 解得lg a＝1或lg a＝－. 又lg a<0，∴lg a＝－. ∴a＝10. 6 学科网（北京）股份有限公司 $