3.3 第2课时指数函数的图象和性质的综合应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

088 ●易错警示解与指数相关的不等式时未讨论 例4如果。“≤a-(a>0,且a1),求x的取值范围。 [错解]由于a21≤a-5,所以2x+1≤x-5,解得x≤-6. 所以x的取值范围是x≤-6. [辨析]所求不等式中的底数为不定常数a,因此在解不等式时要分0<a<1和a>1两种 情况讨论。 [正解] [点评]底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次 不等式（方程）求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解. 课堂检测 固双基 1.函数y=3的图象是 )3.若2+1<1，则x的取值范围是 A.（-1,1) B.(-1,+0) C.(0,1)U(1,+0)D.(-0,-1) 4.函数y=2*(x≥0)的值域是 C D 5.函数y=√a-1(a>0,且a≠1)的定义域是 2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的 (-∞，0]，则实数a的取值范围为 解析式为 ( 夯基提能作业 A.f(x）=x3 B.f(x)=2 请同学们认真完成练案[26] D.f(x)=x 第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用 必备知识 探新知 知识点1比较幂的大小 小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间 比较幂的大小的常用方法： 值来比较， (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大知识点2有关指数型函数的性质问题 小比较，可以利用指数函数的单调性来判断 (1)求复合函数的定义域 (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大 形如y=d)的函数的定义域就是f(x)的定 小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判义域。 断.也可利用幂函数的性质来判断！ 求形如y=d)的函数的值域，应先求出u= (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大f(x)的值域，再由单调性求出y=a“的值域.若a 089 的范围不确定，则需对a进行讨论 d)在[m,n]上是减函数. 求形如y=f(a)的函数的值域，要先求出u= (3)研究函数的奇偶性 a的值域，再结合y=f(u)确定出y=f(a)的值域， 一是定义法，即首先是定义域关于原点对 (2)判断复合函数的单调性 称，然后分析式子f(x)与f(-x)的关系，最后确 令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函定函数的奇偶性 数y=a”与u=f(x)的单调性相同，那么复合后 二是图象法，作出函数图象或从已知函数图 的函数y=在[m,n]上是增函数：如果两者象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具 的单调性相反（即一增一减），那么复合函数y=有奇偶性. 关键能力 攻重难 ●题型一 比较数的大小 归纳提升： 例1.1)已知a=0.4,b=03,c=0.3,则 (1)中间值法：当要 比较的裁底裁、指裁 A.a>c>b B.axbxc C.c>a>b D.b>c>a 均不同时，要考虑将 (2)如果)<{分<（分 1,0等作为中间值进 <1,那么 行比较： A.a"<a<b" B.a"<b"<a (2)利用幂函数：对 于底裁不同，指数相 C.a°<a°<b D.a<b“<a 同的裁，可以利用对 [归纳提升] 应的函数的单调性 】对点训练1 进行比较 归纳提升：与指数函 若0<x<1,则2，（分，02之间的大小关系是 数相关的图象问题 1.定点问题·令函裁 42<0.2<(2 B2*<(分<0.2 解析式中的指裁为 0,即可求出横坐标， c.(2<0.2<2 D.2< 再求纵坐标即可. <2 2.平移问题：对于横 坐标x满足“加左减 ●题型二指数函数图象的应用 右” 例21)若函数x)=2a-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4)， 3.底戴大小：对于y 则m+n= () =ai.y=a2.y=a. y=a4,如图，0<a4 A.3 B.1 C.-1 D.-2 <a3<1<a2<a1 (2)要使g(x)=3*+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 [归纳提升] 】对点训练2 函数)-哥(a>）的图象的大致形状是 090 ●题型三 指数型函数的单调性 2 例3讨论函数)=（】 的单调性，并求其值域 [分析]此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可 归纳提升： 根据复合函数的单调性对其讨论 (1)关于指裁型函裁 y=a(a>0,且a≠ 1)的单调性由两点决 定，一是底数a>1还 是0<a<1:二是 f(x)的单调性，它由 两个函数y=a,u= [归纳提升] f八x)复合而成. )对点训练3 (2)求复合函数的单 求函数(x)=2-6x+”的定义域、值域、单调区间. 调区间，首先求出函数 的定义域，然后把函数 分解成y=f(u),u= p(x),通过考查f(u) 和p(x)的单调性，求 出y=f[p(x)]单 调性 归纳提升： 指数函数本身不具有 奇偶性，但是与指裁 函裁有关的函裁可以 具有奇偶性，求解时 一般利用函数奇偶性 的定义 ●题型四指数型复合函数的奇偶性 例4，设函数)=km-a(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数 (1)求k的值； (2)若f(1)>0,试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式f(x2+ 2x)+f(4-x)>0的解集. [归纳提升] 】对点训练4 )2+“是偶函数，则a= a2* A.1 B.-1 C.±1 D.2 091 课堂检测 固双基 1.若a=0.5,b=0.5,c=0.5,则a,b,c的大 C.c>a>b D.b>c>a 小关系是 4.若函数y=a+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象 A.a>b>c B.a<b<c 不经过第二象限，则有 () C.a<c<b D.b<c<a A.a>1且b<1 2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1)，函数 B.0<a<1且b≤1 f(x)=7+a-1的图象恒过点P,则点P的坐标 C.0<a<1且b>0 是 ( D.a>1且b≤0 A.(1,8) B.(1,7) 5.已知函数f代x)=,1,+a为奇函数，则a的 D.(8,0) 3*+1 C.(0,8) 3.已知a=302,b=0.23,c=0.32,则a,b,c的大 值为 小关系为 夯基提能作业 A.a>b>c B.b>a>c 请同学们认真完成练案[27] 章末知识梳理 知识体系构建 指数概念 正整数指数幂 整数指数幂 有理数指数幂 实数指数幂 指数运算与指数函数 a·af=a+fa>0) 指数运算 (a)=aa>0) (ab)=ab(a>0.b>0) 指数函数 概念 1y=2x y=a y=3 (a>1) 指数函数y= 指数函数 (a>0,且a≠1) 图象 y=a (0a<1) 指数函数 性质 要点专项突破 ●要点一指数函数的概念 a≠1). (2)利用已知条件求底数a. 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)判断的依据是指数函数的定义，即函数 (3)写出指数函数的解析式 .(1)(多选题)以x为自变量的四个函数 解析式的结构特征， 例 中，是指数函数的为 () (2)有些函数需要对解析式变形后判断，如 A.y=(3+1)* B.y=(1-2) 是指数函数 C.y=3+1 D.y=T 2.求指数函数解析式的步骤 (2)若函数x)=(20-3)·。是指数 (1)设指数函数的解析式为f(x)=a(a>0且数函数y=1.7在(-∞，+∞)上是增函数， 值域为[1，+如)。 2.5<3,.1.725<1.73 5.(0,1)由a-1≥0，得a≥1 (2)考查函数y=0.8,由于0<0.8<1， 函数的定义域是(-∞，0]，…a≥1的解集为 .指数函数y=0.8在(-0，+0)上为减函数 (-o,0],.0<a<1. -0.1>-0.2,.0.8-0.1<0.8-a2 第2课时 指数函数的图象 (3)方法-：在同-平面直角坐标系中画出指数函数了=（号）与 和性质的综合应用 y=(子)广的图象，如图所示，当x=-05时，观察图象可得 关键能力 攻重难 ()) 例1：(1)B0.303>0.304,即b>c /0.403 >1,即a>b,所以a>b>c 2 y= (2)C 函数)-()广在R上是藏函数，且<()< y() (<1,所以1>6>a>0,所以d<a< -0.50 对点训练1：D由指数函数性质可知，当0<x<1时，2>2° 方法二：y=x-05在(0，+0)上是减函数， 1,(2广<(2=1，面=Q2与y=(2厂在0<x<1时. y=0.2在y=(） 图象的下方，故0.2<（分）<2.故 (4)由指数函数的性质得 选D. 1.7a3>1.7°=1,0.931<0.9°=1， 例2：(1)C因为函数的图象恒过点(-1,4)，所以m-1=0且 .1.703>0.921 2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2,所以m+n=-1. 例3：(1)由题意知x-4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为 (2)C指数函数y=3过定点(0,1)， xeR,≠4.因为，'40，所以2应≠1，所以函数的值玻 函数g(x)=3+1+t过定点(0,3+t)且为增 函数 为yly>0,且y≠1}. 要使g(x)=3*+1+t的图象不经过第二 (2)由题意知函数的定义域为R 象限， 因为1≥0所以y=()”-()”=(2=1,所以西 只须函数g(x)=3+·+t与y轴的交点的纵 坐标不大于0即可，如图所示 数的值域为{yly≥1. 即图象不过第二象限，则3+t≤0，所以t≤-3，则t的取值范 (3)由题意知1-(2)≥0，所以(2)≤1=（号，所以x≥ 围为：t≤-3， 0,所以函数的定义域为xlx≥0，x∈R}.因为y关于x单调递 对点训练2：Cf(x)是分段函数，根据x的正负写出分段函数的 增，所以函数的值域为{y0≤y<1. 「a*(x>0), 解析式，f代x)= 所以x>0时，图象与y=a在 对点训练3：由x-2≥0，得x≥2，所以定义域为{xlx≥2. l-a(x<0), /x-2 第一象限的图象一样，x<0时，图象与y=a的图象关于x轴 当≥2时，-2≥0，又因为0<3<1，所以y=(兮 对称 的值域为y10<y≤1}. 例3：方法一：：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)， 易错警示 设x1∈(-0，+0)且有x<x2, 例4：①当0<a<1时，由于a2+1≤a5,所以2x+1≥x-5,解得 x≥-6.②当a>1时，由于a2+≤a-5,所以2x+1≤x-5,解 得x≤-6.综上所述，x的取值范围是：当0<a<1时，{xlx≥ (付) -6}:当a>1时，{xlx≤-6}. 课堂检测固双基 1B因为y=3=(分广，所以B选项正确 (1)当x1<x32≤1,1+x2<2,即有x1+2-2<0. 2.B 又：2->0，(2-1)（2+无-2)<0，则知 3.D不等式2+1<2°，因为y=2是定义域R上的增函数，所 /121(2+1-2 3 >1.又对于x∈R,f(x)>0恒成立 以x+1<0,即x<-1. .f代x2)>f(x).∴.函数f(x)在(-，1]上单调递增 4.[1,+∞)：y=2在[0，+0)上为增函数， (2)当1≤x1<x2时，x1+x2>2,即有x1+x2-2>0. ..x≥0即y≥2°=1， 又2-x1>0,.(x2-x1)(x1+2-2)>0,则知0< 301 (） <1, 课堂检测固双基 .fx2)<fx).∴函数fx)在[1，+∞)上单调递减。 .B函数=05是R上的减函数，又：子>行>子 综上，函数f代x)在区间(-0,1]上单调递增：在区间[1，+∞)上 ∴.a<b<c,故选B 单调递减， 2.A在函数fx)=7+a-l(a>0,且a≠1)中，当x=1时f1) 2-2x 2-2x=(x-12-1≥-1.0<3<10<(3） =7+a=8.所以函数f(x)=7+a-1(a>0,且a≠1)的图象恒 (兮）=3六两数)的值蚊为0.3。 过定点P(1,8).故选A 3.Ba=30.2>3°=1， 方法二：：函数f(x)的定义域为R,令u=x2-2x,则g(u) b=0.2-3=53=125, =( c=0.32<0.3°=1， ∴.b>a>c. :u=x2-2x=(x-1)2-1,在(-∞，1)上是减函数，g(u)=4.D由函数图象不过第二象限知a>1,且x=0时，a°+(b- (兮)广在其定义线内是诚函数。 1)≤0，.b≤0，故选D .函数f(x)在(-∞，1]内为增函数， 5.分方法一：)为奇函数， 在其定义域内为减函数，而u=x2-2x=∴f代-x)+f(x)=0, (x-1)2-1在[1，+)上是增函数. ! 1 +a=0, .函数f代x)在[1，+∞)上是减函数.求值域同方法一. 11 对点训练3：函数f(x)的定义域为R令t=x2-6x+17,则y= 2a=-3+13+1 2.·t=x2-6x+17=(x-3)2+8在(-0,3)上单调递减， 而y=2在其定义域内是增函数，.函数f(x)在(-∞，3)上 方法二函数x)定义域为R,且为奇函数(0)=9+1+ 单调递减.又：t=x2-6x+17=(x-3)2+8在[3，+∞)上单 1 2 +a, 调递增，而y=2在其定义域内是增函数，.函数f(x)在[3， +∞)上单调递增.t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8，而y= 又f0)=0,∴.a=- 2在其定义域内是增函数， 2 f(x)=22-+7≥28=256，.函数f(x)的值域为[256， 章末知识梳理 +0). 例4：(1)方法一：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0,即要点专项突破 k-1=0,.k=1. 例1：(1)AD由指数函数的定义易知A、D是指数函数，B、C不 当k=1时，f(x)=a-a,f(-x)=ax-a=-(a-a） 是，故选AD. =-fx), 20-3=1, 故k=1符合题意 (2)D由题意，得 方法二：f代-x）=ha*-a,-f(x)=-ha+a,又fx)是奇 a>0, 函数，∴f代-x)=-f孔x)在定义域R上恒成立， a≠1， 81 a=8fx)=8.)=8=22 2)1)=a-。>0,又a>0,且a1a>l 例2：109 原式=1+子×（号广-(0-1+60 y=a,y=-a*都是R上的增函数， .f(x)是R上的增函数 故fx2+2x)+f4-x2)>0fx2+2x)>-f4-x2)=f(x2-4) (2)原式=0a:√a:。a x2+2x>x2-46与x>-2. f代x)在R上单调递增，且不等式的解集为xlx>-2. ! =a:√a:a 对点训练4：C依题意，对一切x∈R,有f代-x)=f(x), =寺÷(u3)宁÷(a2)冷 a…2*a…2*=2+a 即 a+2 =a子÷a6÷a号 =子-后÷a子=a寸+号=a后 (a-日(2-2）=0对-切xeR成立， 例3：(7，当a>1时，函数y=。-11+1的图象如图1所 则a-=0=士1 示，则由图可知1<2a<2,解得3<a<1,与a>1矛盾； 一302