2.4.2 简单函数的图象和性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

●073 4.2简单幂函数的图象和性质 课标要求 核心素养 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在 1.通过实例，理解幂函数的概念，会画简单幂 同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图 函数的图象，并能根据图象得出这些函数 象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一 的性质 般幂函数的图象和性质.培养学生数学抽象、直观 2.理解常见幂函数的基本性质. 想象的核心素养. 必备知识 探新知 知识点1幂函数的概念 定义域 R 般地，形如 的函数，即底数 值域 R R {yly≠01 是自变量、指数是常数的函数称为幂函数 知识点2常见幂函数的图象与性质 奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=1 增区间 无 减区间 图象 定点 关键能力 攻重难 ●题型一 幂函数的概念 例1.已知函数)=(m+2m)x-,m为何值时(x)是：(1)正比例 函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数， [分析]本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一 起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函 数y=kx(k≠0)；(2)反比例函数y=左(k≠0)；(3)二次函数y=a +bx+c(a≠0)；(4)幂函数y=x“(a是常数)，转化为系数和指数的 取值问题. 归纳提升： 形如y=x“的函裁叫 幂函裁，这里需有： (1)系数为1，(2)指 数为一常裁，(3)后 面不加任何项.例如y= 3x,y=x1,y=x2+1 均不是幂函数 [归纳提升] 074 归纳提升：解决幂函 】对点训练1 数图象问题应把握的 有下列函数： 两个原则 (1)依据图象高低判 ①w=3x,2=+1:3y=-④=⑤=：O=2. 断幂指裁大小，相关 其中，是幂函数的有 (只填序号)： 结论为： ●题型二幂函数的图象 ①在(0,1)上，指数 越大，幂函数的图象 例2.函数y=”与y=amae{-1,122,3}》的图象只可能是下面中的 越靠近x轴； 哪一个 ②在(1，+∞)上 指数越大，幂函数的 图象越远离x轴。 (2)依据图象确定幂 指数Q与0,1的大 小关系，即根据幂函 数在第一象限内的图 B 0 象来判断 [分析]逐个分析函数图象，也可给分别取已知数值，研究两个函 数在同一个坐标系的图象形状， [归纳提升] )对点训练2 (1)函数y=x的图象大致是 D (2)当a∈{-1,2,1,3时，幂函数y=x“的图象不可能经过第 象限 ●题型三幂函数简单性质的应用 角度1比较幂的大小 例 3.比较下列各题中两个数的大小： (1)2.3,2.4； (2)(2)÷,(3); (3)(-0.32),0.35 归纳提升： (1)(2)直接利用单调 比较幂值的大小，关 [分析] 已知 构造 性比较大小 键是构造适当的函 条件 函数 (3)转化到同一 利用单调性 裁.对于第(3)小 个单调区间上 比较大小 题，当要比较的两数 的底数不在同一单调 区间上时，应先利用 函戴的奇偶性等性质 进行转化，使得要比 较的两数的底裁在同 一单调区间上，再比 [归纳提升] 袋 ●075 角度2已知单调性求参数 例 4.已知幂函数y=(m2+m-5)x-2m-3,当x∈(0，+0)时，y随x的增 大而减小，求此幂函数的解析式。 [分析]先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0， +∞)上单调递减进行检验. 归纳提升： 本题根据幂函数的定 义可求出m有两个 值，求出m的值后， 一定要根据题目要求 [归纳提升] 对m的值进行检验. 】对点训练3 (1)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数，则m为 () A.1 B.2 C.1或2 D.3 (2)比较下列各组数的大小： ①1.10.1,1.21：②0.24-0.2,0.25-0.2 ●易错警示用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论 例 .已知幂函数y=x-2m-3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，+0)》 上是减函数，求满足(a+1)号<(3-2a)的a的取值范围 [错解]函数在(0，+∞)上单调递减，∴.m2-2m-3<0,解得-1 <m<3. .m∈N*,∴.m=1,2. 又函数图象关于y轴对称，∴.m2-2m-3是偶数 又.22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，∴.m=1. 又y=x是减函数，由(a+1)<(3-2a),得a+1>3-2a.解 得a>号 [错因分析]该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定 义域以及单调区间的限制.只有在同一个单调区间内才可以在函数值 大小与自变量大小之间实现自由转化 [正解] [点评]解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据 幂函数的性质和图象建立关于α的不等式，在这里极易出现认为函数 在(-∞，0)和(0，+∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数 的认知误区，从而误用性质产生错误的结果 076 课堂检测 固双基 1在函数y京=2，y=+,y=3x中，幂 1 大小： 函数的个数为 ( (-1.5.(-14:2)54 A.0 B.1 C.2 D.3 2.幂函数y=x“(∈R)的图象一定不经过 A第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.已知幂函数f(x)=x“(α是常数)的图象过点 (2,）,则函数(x)的值域为 A.(-∞，0) B.(0,+∞) C.（-0,0)U(0,+0）D.(-∞，+0) 夯基提能作业 4.幂函数f(x)的图象过点(2，√2)，那么f(9)的 请同学们认真完成练案[23] 值是 5.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的 章末知识梳理 知识体系构建 定义域一自变量x的取值范围 函数概念 对应关系 值域一函数值构成的集合 解析法：用代数式（或解析式）来表示函数关系的方法 表示方法 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 图象法：用函数图象来表示函数关系的方法 增函数 x1>x2时，有f(x1)>f(x2) 单调性 减函数 x1>x2时，有f(x1)<f(x2) 奇函数 f-x）=-f(x) 函数 基本性质 奇偶性 偶函数-(-x)=f(x) 最大值 函数最值 最小值 定义：y=x“(α为常数) 简单的幂函数 五个具体幂函数的图象和性质 简单幂函数的图象和性质=-)经- 当xe(1,+∞)时，函数y=x子的图象在直线y=x的上方.故 选B. f代-x)=f代x),f代x)为偶函数，选B. (2)二、四幂函数y=x1,y=x,y=x3的图象分布在第一、 4.0f孔x)为偶函数，则对称轴为x=m=0. 5.(1):点(2,1)在函数fx)的图象上， 三象限，y=x的图象分布在第一象限. 1=2-2a=2. 所以幂函数y=(。=-1,71,3)的图象不可能经过第二、四 (2)由(1)知x)=x-2,定义域为(-0,0)U(0,+0)关 象限 例3：(1)y=x为[0，+∞)上的增函数，且2.3<2.4， 于原点对称 .2.3<2.4量 2 (2)y=x为(0，+)上的减函数，且2<5， ·函数f(x)为奇函数， (2)-量>(5)-是 4.2简单幂函数的图象和性质 (3)y=x号为R上的偶函数，.(-0.31)号=0.31. 又函数y=x号在[0，+0)上单调递增，且0.31<0.35， 必备知识探新知 ! 知识点1y=x“(a为常数) .0.31号<0.35号，即(-0.31)号<0.35号 知识点2xx≠0}[0，+0)[0，+∞)[0，+∞) 例4：y=(m2+m-5)x2-2m-3是幂函数， 奇偶奇奇非奇非偶R[0,+0)R[0,+0) ∴.m+m-5=1,即(m-2)(m+3)=0,.m=2或m=-3. (-0,0)(-∞，0)，(0，+∞)(1,1) 当m=2时，m2-2m-3=-3,y=x3是幂函数，且满足当 关键能力攻重难 x∈(0，+∞)时，y随x的增大而减小； 当m=-3时，m2-2m-3=12,y=x2是幂函数，但不满足当 m+m-1=1, 例1：(1)若f(x)为正比例函数，则 ..m=1. m2+2m≠0， x∈(0，+∞)时，y随x的增大而减小，故舍去， m2+m-1=-1, .y=x3(x≠0) (2)若f代x)为反比例函数，则 对点训练3：(1)A因为幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+为偶 m2+2m≠0. 函数，所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m .m=-1 =2.当m=1时，幂函数f(x)=x2为偶函数，满足条件.当m= 「m+m-1=2, (3)若f孔x)为二次函数，则 2时，幂函数fx)=x为奇函数，不满足条件 m2+2m≠0， (2)①由于函数y=x1在第一象限内单调递增， “m=1±3 2 又因为1.1<1.2，所以1.101<1.2a1 ②由于函数y=x0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24< (4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1, 0.25,所以0.24-0.2>0.2502 .m=-1±√2 易错警示 对点训练1：④⑤⑥①中，x2的系数为3，故不是幂函数：②中， 例5：函数在(0，+o)上单调递减，m2-2m-3<0,解 y=+1不是“的形式，故不是幂函数：③中，y=-1 = 得-1<m<3. meN,.m=1,2. -x,系数是-1，故不是幂函数：④中，y=1=是幂函 又函数图象关于y轴对称，∴.m2-2m-3是偶数. 数；⑤中，y=x是幂函数；⑥中，y=x3是幂函数. 又22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，.m= 例2：CA中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x,1≠1.又：y=x亨在(-0,0)，(0，+0)上均为减函数，由(a+ -1,故A错；B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为 1)岁<(3-2a)-岁，得a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或 y=之，2≠？，故B错：C中直线对应函数为y=2x,曲线对应 a+1<0<3-2a解得a<-1或号<a<}u的取值范围 3 函数为y=x2,当x=2时，2=2×2，故C对；D中直线对应函 数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1≠3.故D错 是(-，-u(号》 对点训练2：(1)B函数y=x号=F是定义域为R的奇函数，课堂检测 固双基 且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除.B显然，根据幂函数定义可知，只有y=是=x是幂函数 <y=1=1,2.AaeR,>0,5y=>0, ∴.图象不可能经过第四象限，故选A. y=2宁=2×2学>2，所以当x∈(0,1)时，函数y=x的图象在 直线y=x的下方； 3.C由题意得2=2仪=-1. -297 0=x=是0 调递减区间为(1，+0)；当x<0时f(x)的图象开口向上，对 称轴为x=-1,单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为 ∴f(x)的值域为(-0,0)U(0,+∞) 1 (-∞，-1).f-1)=-1,f0)=0,f(1)=1,所以递增区间 4.3设f(x)=x“,2=2“,.2立=2， 是(-1,1. a=分)=9)=9时=3 例6：(1)当a=-1时，fx)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为xe[-5,5],故当x=1时，f(x)取得最小值，f(x)m= 5.(1)设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数： f1)=1;当x=-5时，f(x)取得最大值，f(x)mm=f(-5)= -1.5<-1.4,.(-1.5)3<(-1.4)3 (-5-1)2+1=37 (2)设g(x)=,则g(x)在(-，0)上为减函数. (2)函数f(x)=x2+2ax+2=（x+a)2+2-a2的图象开口向 x 上，对称轴为x=-a. -1.5<-1.4<0,-1.5>-1.4 1 当-a≤-5，即a≥5时，函数在区间[-5,5]上是增函数，所 以fx)mm=f5)-27+10a,f(x)mim=f-5)=27-10a; 章末知识梳理 当-5<-a≤0，即0≤a<5时，函数图象如图①所示，由图象 要点专项突破 可得fx)mn=f(-a)=2-a2f(x)m=f(5)=27+10a; 当0<-a<5,即-5<a<0时，函数图象如图②所示，由图象 1-2x>0, 例1：(1)B 要使函数有意义，则 可得f(x)m=f代-5)=27-10a, 12x+1≠0. .1 f(x）m=f-a）=2-a2; x2 1 即x<且x*-， 1 x≠2， 故函数的定义域为{x<号且x≠-} 50550 (2)A因函数f(x)的定义域为[1,3]，则在函数g(x)= 图① 图② 2x-D中必有≤21≤3解得1<≤2，所以g(的定 当-a≥5，即a≤-5时，函数在区间[-5,5]上是减函数，所 Vx-1 1x-1>0, 以fx)mm=f5)=27+10a,fx)mm=f-5)=27-10a. 义域为(1,2] 综上可得，当a≥5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为 27+10a,最小值为27-10a; (3)设矩形的一边长为x,则另一边长为？(a-2x),所以y= 当0≤a<5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最 x·2a-2)=-+m,定义域为{0<<7} 小值为2-a2; 当-5<a<0时f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a, 例2：A因为f代x)+2f-x)=3x+1, 最小值为2-a; 所以f代-x)+2fx)=-3x+1, 当a≤-5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a,最 则)=-3x+分 小值为27+10a. 例7：(1)C根据题意，依次分析5个说法， 例3：由题意，设函数为f(x)=ax+b(a≠0)， 对于①，设g(x)=fx)+f-x), 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以3a(x+1)+3b-ax-b= 其定义域为R,有g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), 2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9 则f(x)+f(-x)是偶函数，①正确. 由恒等式性质，得24=2， 所以a=1,b=3. 对于②，设g(x)=f孔x)-f代-x),其定义域为R,有g(-x)= 3a+2b=9, f(-x)-f(x)=-g(x),则f代x)-f孔-x)是奇函数，②正确. 所以所求函数解析式为f代x)=x+3. 对于③，设g(x)=f(x)f(-x),其定义域为R,有g(-x)= 例4：令t=1生=+1，则1.把x=代人士） f(-x)f(x)=g(x), 则f(x)f代-x)是偶函数，③正确. 1 1+x2 t-1 23 +1,得ft =(t-1)2+1+(t 对于④f1x1)=代x),≥0， 为偶函数，④正确。 f-x),x<0 -1 fx),f(x)≥0 1)=t2-t+1. 对于⑤，f(x)1= 不一定为偶函数，⑤错误， L-f(x),f(x)<0 所以所求函数的解析式为f(x)=x-x+1,x∈(-∞，1)Ui 所以有4个是正确的. (1,+∞) (2)[0,1)f1-a)+f1-a2)<0, 「-x+2x,x≥0， 例5：Dfx)=-xxl+2x= 即为f1-a)<-f1-a2), 当x≥0时，f(x) Lx2+2x,x<0, 又f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数， 的图象开口向下，对称轴为x=1,单调递增区间为[0,1)，单所以f1-a)<f代a2-1),又f代x)单调递减， -298