第3章 指数运算与指数函数总结提升-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

5.R[1,十o∞)函数的定义城为R:lx≥0，y (号)“=（经）“≥（经）°=1.故y=(号)“的位域为 [1,+6∞). 6.解22+2+3×2-1=0，.4×(2)2+3×2-1=0. 令1=2r(u>0,则方程可化为红+3-1=0，解得1=号 或1=-1（合.六2=，解得工=一2 7.解(1)：f(z)的定义域为R,且f(x)为奇函数， 1 1 六f0)=0,即a+2=0a=-2 ②南a*e)-名+市 1 f(x)在R上单调道减 (3):f(x)为奇函数，.f(-2)十f(22-)<0可化 为f(t2-2)<fk-22). 易知f(x)在R上单调递减，.2一21>k一22，即 312-2t-k>0对于一切t∈R恒成立，.△=4十12k<0,得 及<一吉语的取值范周是(-四，一吉）)： 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 【例】解原式=(0.3)-[()门+()+ 2)-}+1=0.3-号++2-号+1=64 ②原或-（告）片-1+（倍）-2x2 =号-1+号-2+46=2-2=0 (3)原式=-4a-161÷(12a62c)=- 3a-. ④原=2a÷(46)(3)=号a卡b. 【变式训练1】解（1)：5-2=5-2)5+2 w5+2 5-41 5+25+2 6w5+2)5-2=65+2(后+2=5+2 (225×15×92=2×3×(3×号)×(2× 3)=2×3×3×(2)×2x×3=2情× 3片=2×3=6. 312s+(号）'-()3=(6)+2-(g) 52+4-3=26. 【例2】A令(x-a)(x-b)=0,解得x=a或x=b. 观察f(x)=(x一a)(x一b)的图象，可得其与x轴的两个 交点的横坐标分别在区间（一©，一1）与(0,1)上， 又由a>b,可得b<-1,0<a<1. g(x)=a'+b,0<a<1, g(x)是减函数 又由b<一1可得其与y轴交点在x轴的下方. 故选A 【变式训练2】(1)B当x<0时，图为3-3<0，所以此 时fx)=-3 <0,故排除A,D又f①=3-子>2，长掩 除C故选B 2-,x≥1， (2)解y=2-1 其图象是由两部分组成的：一部分是把y=2的图象向右 平移1个单位长度，取x≥1的部分；另一部分是把y=(侵）广 的图象向右平移1个单住长度，取x<1的部分，y=2一的图 象如图中实线部分所示 由图象可知， ①对称性：图象的对称轴为直线工=1 ②单调性：在（一0,1门上单调递减，在[1，十o∞）上单调通增. ③函数的值城：[1，十6). 【例3】解(1)函数的定义城为R 令-x2+2x=t,t=-(x-1)2+1≤1， 剥y=(号)'≤) “y-(侵）》广≤1)的准孩为[后+∞)， “数y=(侣)“的维为[目十四）】 (2)4-2≥0，∴x≤2 函数定义域为{xx≤2. 2>0,.4-25<4, 13 义4-2≥0，.0≤4一2<4， ∴0≤√4-2<2， .y∈[一1,1)，即函数值城是[一1,1). 【变式训练3】解由9-10·3十9≤0，得(3一1)(3一9)≤ 0,即1≤3≤9,0≤x≤2.令1=（分）广，则y=42-4+2 4(-2广+1，≤≤1.当=2，即（号）广=7，即x=1 时，ym=1:当1=1，即（分）广=1，即x=0时，ym=2 【例1B3“=(传)…（得）>（传）产. 又函数y=(宁)厂是单调遂减画数， x-4<2x,x>-4.故选B (2)解①：底数1.7>1， ,指数函数y=1.7严在（一0∞，十∞）上是增函数 2.5<3,∴1.725<1.71 ②由指数函数的性质得1.73>1.7°=1.0.921<0.9°= 1..1.70>0.921 ③当a>1时，m>t:当0<a<1时，m<n. 【变式训练4)（号，）：指数通数fx)-(2a-1, 且f(一3)>f(一2)，∴函数(x)在定义战内单调递减，0< 2a-1<1,解得号<a<4, (2)解1.2582=0.882.0<0.8<1， ∴指数函数y=0.8在（一∞，十∞）上是减函数. 又-0.1>-0.2，∴0.8a1<0.882, 即0.8-01<1.258 【例5】解(1)当x<0时，f)=0,故fx)=三无解：当 x≥0时，f(x)=2- 2,由21.3 2安=2，得2·2必-3 2一2=0，将上式看成关于2的一元二次方程，解得2=2或 2=-2(含去)，所以x=1. 2)当1,2]时，2(2-是)+m(-2)≥0，即 m(2-1)≥-(2-1)，2*-1>0，∴.m≥-(2十1)恒成立 即可.，'t∈[1,2]，.-(2十1)E[-17,一5，.要使m≥-(2十 1)恒成立，只需m≥一5，故实数m的取值范国是[一5，十∞). 【变式训练5】解(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的 定义线为R,所以0)=将=0，所以a=-1(经检验 a=一1时f(x)为奇函数，满足题意). ②由加1a)-1-品画数f定文 城R上单调递增，证明如下： 设1<x,∈R,则fx)-x)=3r+)3x+ 2(3x1-3.xg） 固为x1x:,所以3x1<3x2,所以3x1一3.x2<0, 所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递墟. 【易错易混·衔接高考】 1.A(-5))-(53)量-5. 2.D(方法一导数法)由题意知，在f(x)=2r中， f'(x)=(2x一a)2n2,由函数在(0,1)内单调道减，知 (2x-a)2u)·ln2≤0在(0,1)内恒成立，即2r一a≤0在 (0,1)内恒成立，即a≥(2x)m,所以a≥2.故选D. (方法二复合函数法)因为函数y=2在R上是增函数， 要使复合函数∫(x)=2在(0,1)内单调递减，只常函数 Ac)=C-a)-(2-号》广-号在0，D有单满递流，所以 受>l,即a>2.故选D 3.D(方法一)由题意，知函数f(x)的定义城为（一∞， 0)U(0,+c∞).因为函数f(x)为偶函数，所以f(一x)=f(x), 即xe_xe e“气誉理得e“=e产，所以a=2, (方法二)由题意，知函数f(x)的定城为（一∞，0）U (0,十o).固为函数f(x)为偶盛数，所以f(一1)=f(1),即 -e-l e一1e与，所以a=2.故选D e 4.AC对于A选项，因为函数y=(W2)F为R上的增函 数，则(2)82<（②）a·,故A正确：对于B选项，图为函数y= (侵)广为R上的减画数，则（侵）“>（侵）“，故B借误：对 于C选项，因为函数y=3为R上的增函数，函数y=0.3为 R上的减函数，所以33>3°=1=0.3>0.3，故C正确：对于 D选项，周为品数y=“为0，十∞)上的增画数，且号>品 所以()>器) ,故D错误.故选AC 5CD由21=(2）'，得21=2，解得x-2=-y, 即x+y=2.由于3>0,3>0，数3+3≥2√35·3= 23万=6，当且仅当3=3，即x=y=1时取得等号. 6.1一1函数f(x)=a·2一1的图象过原，点， .a-1=0,a=1,.f(x)=2-1. 对Vx∈R,2>0, .对Vx∈R,f(x)=2-1>-1, 又对Vx∈R,都有f(x)>m, m≤一1，即m的最大值为一1.本章总结提升 6.解方程：22+2十3×2一1=0. 7.已知定义在R上的函数f(x)=a+4r中是奇 函数 (1)求a的值： (2)判断f(x)的单调性（不需要写出理由）； (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+ f(212一k)<0恒成立，求实数k的取值 范围. 本章程总结提升 ©知识网络·整合构建 正整数指数幂aa>0a≠ln∈N) a界-a(a>0mn∈N,且Dl》 指数的概念及其运算分数指数幂「 0mEN..1) a".aP-a(a>O) 运算性质ay-a(a>0) ab=a(a>0,b>0) 指数函数 定义形如y=Qa>0,且a≠1x∈R)的函数叫作指数函数 图象： a>1 0<a<1 0 0 定义城R 图象与性质 值域0，+∞) 单调性：当a>1时，为增函数当0<a<1时，为减函数 奇偶性：既不是奇函数，也不是偶函数 定点0,1山 ⊙专题突破·素养提升 数运算（即先乘方、开方），再乘除，最后加减， 专题一分数指数幂的运算 (2)注意：①负指数幂化为正指数幂的倒数； 分数指数幂运算基本步骤 ②底数是负数，先确定符号；③底数是小数，要先 (1)有括号先算括号里面的，无括号先进行指 化为分数；④底数是带分数的，要先化为假分数； 111· ⊙数学「第三章指数运算与指数函数 ⑤若是根式，则应先化为分数指数幂，然后要尽可 专题二与指数函数有关的图象问题 能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算 1.平移变换 性质. (1)把函数y=f(x)的图象向右平移m个单 【例1】计算： 位长度得函数y=f(x一m)的图象(m>0,若 1)0.027-(61)+2562+(22) m<0,就是向左平移m个单位长度)： (2)把函数y=f(x)的图象向上平移n个单 31+π°； 位长度得到函数y=f(x)十n的图象(n>0,若 2得)手-(2-1D+(2)-4× n<0,就是向下平移n个单位长度). 2-25； 2.对称变换 (1)函数y=f(x)的图象与函数y=f(一x) (3)(a-2b-3)(-4a1b)÷(12a-4b-2c); 的图象关于y轴对称： (4)2a÷49ab×3√B. (2)函数y=f(x)的图象与函数y=一f(x) [课堂笔记] 的图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)的图象与函数y= 一∫（一x)的图象关于原点对称. 【例2】已知函数f(x)= (x-a)(x-b)(其中a>b),若 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)=a十b的图象大致为 1变式训练1计算： (1)(W5+2)1(W5-2)9; (2)23×1.5×912; 125+(份)-（分》 [课堂笔记] 112 本章总结提升 1变式训练21)函数f)-3二的 1变式训练3已知92-10·3+9≤0，求函 图象大致为() 数y-(》-4》 十2的最大值与最小值， 平米 ★(2)画出函数y=2x一1的图象，并根据图 象指出这个函数的对称性、单调性、值域。 专题四指数函数单调性的应用 1.比较幂的大小的常用方法 (1)作差（商）法 (2)函数单调性法， (3)中间值法：要比较A与B的大小，先找一个 专题三与指数函数有关的定义域、值 中间值C,再比较A与C,B与C的大小即可， 域问题 (4)图象法：在同一直角坐标系中，作出相应 解与指数函数有关的定义域、值域问题需注意： 函数的图象，根据条件观察图象变化规律，再作出 (1)充分考虑指数函数本身的要求，同时考虑 分析判断. 指数函数的单调性，特别注意a>0. 2.解指数型不等式时，首先应化成同底的指 (2)形如y=aa)的函数的定义域就是 数型函数，然后利用指数函数的单调性解决， f(x)的定义域 (3)形如y=afx)的函数的值域，先求出 【例1)已知关于x的不等式份)》> f(x)的值域，再结合y=a“(u=f(x)的单调性 3“,则该不等式的解集为() 求出y=afr的值域.若a的取值范围不确定，则 A.{xx≥4} B.{x|x>-4} 需对a进行分类讨论 C.{xx<-4} D.{x|-4<x≤1》 (4)形如y=f(a)的函数的值域，先求出 (2)比较下列各题中两个数的大小： u=a的值域，再结合y=f(u)的单调性确定出 ①1.725,1.73；②1.73,0.921； y=f(a)的值域 ③已知am>a(a>0,且a≠1)，比较m,n 【例3】求出下列函数的定义域与值域： 的大小 [课堂笔记] ay=(传 ;(2)y=√4-2-1. [课堂笔记] 4 113 数学「第三章指数运算与指数函数 1变式训练4(1)已知指数函数∫(x) (2a一1)严，且f(-3)>f(-2),则实数a的取值 1变式训练51尼知函数f()-号为奇 范围是 函数 (2)比较0.801,1.25,2的大小 (1)求a的值： (2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明， 专题五指数函数性质的综合应用 ©易错易混·衔接高考 在性质的综合应用中，主要出现以指数函数 为载体的复合函数，然后利用定义判断复合函数 1.化简((-5)严)的结果是( 的奇偶性、单调性，从而解决问题。 A.5 B.5 C.-/5D.-5 【例5】已知定义在R上的函数f(x)= 2.(2023新高考I,4)设函数f(x)=2r红-a)在区 间(0,1)内单调递减，则a的取值范围是( 1 2- 24 A.(-∞，-2] B.[-2,0) 若f)-求x的值， C.(0,2] D.[2,+∞) 3.(2023全国乙，理4)已知f(x)=ze ,是偶函 (2)若2f(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2] efr 恒成立，求实数m的取值范围 数，则a=() [课堂笔记] A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(多选题)下列说法正确的是( A.(W2)2<(2)0.4 a(2)<(分)4 C.30.3>0.3 D(尝<) 5(多选题)已知2=()'，则3+3的值可 以为( A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知函数f(x)=a·2一1的图象过原点，则 a= ;若对Hx∈R,都有f(x)>m, 则m的最大值为 114