3.2 指数幂的运算性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

081 ●易错警示 有理指数幂与根式互化时漏掉负号致错 例3.把(a-)1- [1 根号外的(a-1)移到根号内等于 A.-√a-1 B.√a-1 C.-1-a D.1-a [错解]D [辨析] 由。≥0，得a<1,则a-1<0, 所以(a-1). 1 1-a 1-a-1-a 1-a 错解中未注意a<1. [点评]在有理指数幂与根式互化时，要注意在有意义的情况下进行 课堂检测 固双基 1.已知m<号则化简03m-2刀的结果为 A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 ( C.0的n次方根是0（其中n>1且n∈N*) A.√/3m-2 B.-√/3m-2 D.负数没有n次方根 C.2-3m D.-√/2-3m 2.若2<a<3,则化简√(2-a)7+(3-a)的 4求值：- 结果是 ( 夯基提能作业 A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 请同学们认真完成练案[24] 3.以下说法正确的是 §己指数幂的运算性质 课标要求 核心素养 利用指数幂的运算性质，进行与幂有 1.结合整数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算 关的运算时，注意方法与技巧的运用， 性质 培养学生的数学运算、逻辑推理等核 2.能利用指数幂的运算性质进行计算、化简、证明. 心素养 必备知识 探新知 知识点实数指数幂的运算性质(a>0,b>0,a,BeR) (1)aa= ;(2)(a)= ;(3)(ab)"= 082 关键能力攻重难 ●题型一利用指数幂的运算性质求值计算 例1.计算：12×2： (2)(√8F×3)26； 归纳提升：关于利用 3)-(贷-(m-3+； 指数幂的运算性质 (4)(35×235 计算 (1)若式子中含有假 分数，则先化成真分 数，再利用指数幂的 运算性质计算. (2)若式子中含有根 式，则先将根式化为 指数式，再利用指裁 幂的运算性质计算 [归纳提升] 对点训练1 计算： g°01+9-3 083 题型二利用实数指数幂的运算性质化简 归纳提升：关于指数 例2.(1)化简a·a(a>0)的结果是 式的化简问题 A.Ja B.Va C.IYa D.Ya (1)化简的一般顺序 是先乘方，再乘除， (2)a6-)a6时 最后算加减 ·（式中的字母均是正实数) ab (2)仔细观察式子的 [归纳提升] 结构特征，确定运算 层次，避免运用运算 】对点训练2 性质时出错 化简：2x*(-3xy)÷(-6xy). ●题型三指数幂运算的综合应用 例3.已知a+a=3,求下列各式的值 归纳提升： (1)u+a;(2)a2+a:(3)a-a (1)条件求值是代数 a:-a-F 式求值中的常见题 [分析]利用完全平方公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3). 型，一般要结合已知 条件先化简再求值， 另外要特别注意条件 的应用，如条件中的 隐含条件，整体代入 等，可以简化解题过 程本题若通过a立+ a宁=3解出a的值代 入求值，则非常复杂 (2)解决此类问题的 一般步骤是 从整修上把握已知 条件和所求代戴式 的特点 化简己知条件 <化筒> 化筒所求代数式 [归纳提升] 求值 把条件代入求值 084 )对点训练3 已0：*>0，>0，-y=6y=16,求t+ 的值 1y2 ●易错警示 因忽略幂底数的范围而导致错误 例4.化简(1-a)[(a-1)2(-a)= [错解](1-a)[(a-1)2·(-a)] =(1-a)(a-1)-1.(-a)÷=-(-a) [辨析]忽略了题中有(-a),即相当于告知-a≥0，故a≤0，这样，[(a-1)2]≠(a- 1)1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算性质外还要关注条件中的字母是否有隐含 的条件. [点评]在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意 是否是偶次方根，被开方数是否符合要求， 课堂检测固双基 1.下列运算中计算结果正确的是 ()A.2 B.5 C.6 D.7 A.a'.a=a B.a6÷a3=a2 4.计算(a2·b)6·b2= C.(a3)2=a D.a3.b=(a·b)3 2.计算(2)的结果是 5 -1-a5) 的值为 ( A.√2 B.-2 C.2 0.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[25] 3.设x∈R且x≠0，若x+x1=3,则x8+x8的 个位数字是 §3 指数函数 课标要求 核心素养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的 求法 指数函数的学习，学生应掌握 2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出 指数函数的概念和性质，运用 指数函数的性质， 信息技术学习、探索和解决问 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比 题.培养学生数学抽象、逻辑推 较幂的大小。 理、直观想象等核心素养， 4.通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运 用指数函数的图象研究一些实际问题，r1-a>a2-1, 所以代x)的最小值是2. 所以-1≤1-a≤1，解得0≤a<1, (3)BCD由二次函数与反比例函数图象可知当k<0时，此 【-1≤a2-1≤1， 时y=x2-k图象开口向下，且与y轴交点在y轴正半轴，故 所以实数a的取值范围为[0,1). A正确，不符合题意，C、D错误，符合题意；由二次函数与反比 例8：)当a=0时)=显然是奇函数： 例函数图象可知当k>0时，此时y=kx2-k图象开口向上，且 与y轴交点在y轴负半轴，故B错误，符合题意 当a≠0时，f1)=a+1f(-1)=a-1,f1)≠f-1)且f1) +f代-1)≠0，所以此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 第三章指数运算与指数函数 (2)设1≤x1<:≤2，则f(x1)-f(x2)=a(x1-)(x1+:2)+ =) §1指数幂的拓展 x1 关键能力 攻重难 因为1≤1<x2≤2，所以x1-2<0,2<1+2<4,1<x1x2 <4, 例1：(1)a=267 11, 所以2<a(+)<12,4<x 1 (2)a=4- (3)a=50. 所以a(+)- 10, xX2 : (4)a=7品=7品 所以f(x)-f(x2)<0,即fx1)<f(x2), 对点训练1：(1)b=81-. 故函数f(x)在[1,2]上单调递增。 例9：(1)D因为f(x)为奇函数，所以不等式x)--2<0 (2)b=5-青」 (3)6=m号 可化为2①<0，即x)<0,f代x)的大致图象如图所示，所例2：(1)m=m; 以不等式xf代x)<0的解集为(-1,0)U(0,1) (2)(a-b)=(a-b) 对点训练2：(1)A原式=a号 2)手)=()=（侵=(） 易错警示 (2)2首先应理解题意，函数八)表示-+3，弓x+宁2-例3：C 3 课堂检测 固双基 4x+3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f代x)表示-x+3, +分24红+3巾最大的个 3 .Cm<号3m-2<0,排除AB 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3),B(1, 又(3m-2)2>0,所以/(3m-2)2为正，所以选C. 2),C(5,8) 2.C由于2<a<3,所以2-a<0,3-a>0,所以原式=a-2+ 可得函数f代x)的解析式： 3-a=1,故选C. ,x2-4x+3(x≤0或x>5), :3.C对于A,正数的偶次方根中有负数， -x+3(0<x≤1)， .A错误； f(x)= 3 对于B,负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在， 2x+ 2(1<xs5). ∴.B错误； y个 对于C,当n>1且neN*时，0的n次方根是0， .C正确： 对于D,n为奇数时，负数的奇次方根是负数， .D错误 4告舒-号 B §2指数幂的运算性质 八2.345 必备知识探新知 知识点(1)a+Basa“b f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2),: 299 关键能力 攻重难 选项错误，根据指数幂的运算性质a3·b=(a·b)3,故选D. 例1：2×)-×()-[（门 2.D(2)昏=-2=7放选D 3.Dx+x1=3→x2+x2=7→x4+x4=47→x8+x8=472 2,故选D (2)原式=(2语×356=2°×32=4608， 4.a23(a2·b).b62=a23.b2.62=a23. （3)原式-号-号-1+2-2 原式=1-1-2)÷(3=1-(-3)×号=子 47 5. 3 (4)原式=(3F×25)3E=36×22=2916. §3 指数函数 对点装1：源式-（百产0+（分）手3+条 第1课时指数函数的概念 +100+名-3+ *48=100 指数函数的图象和性质 例2：(1)Ba.(a>0)=a立.a号=a+号=a=a 必备知识探新知 (2)原式().6位a… 知识点1(1)y=a(2)0(0,1) 知识点2(1)增正无穷大0 as.bo 知识点3(1)减0正无穷大(2)a>6>10<a< =。奇子位+时 ib<I a6.b8 知识点4(0,1)10<y<1y>1y>10<y<1 -含经-a音古=a= 增减 a6.b8 关键能力攻重难 对点训练2：2x(-3xy)÷(-6x7y青) 例1：(1)B函数y=(-4)的底数-4<0，故A中函数不是指 数函数；函数y=的系数为1，底数>1，故B中函数是指 =[2×(-3)÷(-6)]x寸+守+y寸+号=2y 数函数； 例3：(1)将a立+a乞=3两边平方，得a+a1+2=9, 函数y=-4的系数为-1，故C中函数不是指数函数： 即a+a-1=7. 函数y=a+2=a2·a的系数为a2,故D中函数不是指数函 (2)将a+a1=7两边平方，有a2+a2+2=49, 数，故选B. .a2+a2=47. ra2-3a+3=1, (3)由于2-a宁=(a)-(a所以有房-a宝 (2)C由题意，得a>0, aT-a-3 a≠1， 解得a=2,故选C (u立-a)(a+al+a·a=a+al+1=7+l=8 对点训练1：D由指数函数定义可知，函数y=(3)'是指数函 a2-a支 数，故选D. 对点训练3：这+产_位+) 例2：(1)：1.822,1.83可看作函数y=1.8*的两个函数值， (x克-y)2 1.8>1,∴.y=1.8*在R上为增函数， x-Y 又2.2<3， x+y-2(y)2 .1.822<1.83. 又x-y=6,y=16, (2):y=0.7在R上为减函数， .(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×16=100. 又-0.3>-0.4， .x+y=10或x+y=-10(舍去). 0.7-0.3<0.7-4 6 当x+y=10时，原武值为10-2×43， (3)1.904>1.9°-=1,0.924<0.9°=1， .1.904>0.924 易错警示 例4：(-a)年由(-a)知-a≥0，故a-1<0. (4):y=在(0，+0)上为指函数，且号<品 (1-a)[(a-1)-2(-a)z]z=(1-a)(1-a)-l. ()(品 (-a)年=(-a). 课堂检测固双基 y=(0)在R上为减函数，又> 1.D根据指数幂的乘法性质可知a·a=a≠a2,故A选项 错误；根据指数幂的除法性质可知a÷a3=a-3=a3≠a2,故 ()<(品)…()广<（品） B选项错误；根据指数幂的乘方性质可知(a)2=a≠a,故C对点训练2：(1)考查指数函数y=1.7,由于底数1.7>1，指 300