第2章 函数章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

076 课堂检测 固双基 1在函数y京=2，y=+,y=3x中，幂 1 大小： 函数的个数为 ( (-1.5.(-14:2)54 A.0 B.1 C.2 D.3 2.幂函数y=x“(∈R)的图象一定不经过 A第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.已知幂函数f(x)=x“(α是常数)的图象过点 (2,）,则函数(x)的值域为 A.(-∞，0) B.(0,+∞) C.（-0,0)U(0,+0）D.(-∞，+0) 夯基提能作业 4.幂函数f(x)的图象过点(2，√2)，那么f(9)的 请同学们认真完成练案[23] 值是 5.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的 章末知识梳理 知识体系构建 定义域一自变量x的取值范围 函数概念 对应关系 值域一函数值构成的集合 解析法：用代数式（或解析式）来表示函数关系的方法 表示方法 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 图象法：用函数图象来表示函数关系的方法 增函数 x1>x2时，有f(x1)>f(x2) 单调性 减函数 x1>x2时，有f(x1)<f(x2) 奇函数 f-x）=-f(x) 函数 基本性质 奇偶性 偶函数-(-x)=f(x) 最大值 函数最值 最小值 定义：y=x“(α为常数) 简单的幂函数 五个具体幂函数的图象和性质 简单幂函数的图象和性质 077 要点专项突破 ●要点一求函数的定义域 (3)含x)与-)或fx)与)，使用 关于函数定义域的求法 解方程组法. 关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义； (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间 抽象函数的定义域一般用代入法求；在实际问题 的解析式，可用奇偶性转移法， 中还要定义域符合实际意义 例1.(1)函数y= 3x2 +(2x+1)°的定义 例2已知)+2-)=3x+1,侧则 () 1-2x 域为 A.-3x+3 1 B.-3x a C.-3x+1 D.-x+号 B{x<且≠} 例3.已知x)是一次函数，且满足3x+1) -f(x)=2x+9,求f(x). c D.x≤且x≠-2} (2)若函数f(x)的定义域为[1,3]，则函数 g()-f2x-的定义域为 ( √x-1 A.(1,2] B.(1,5] C.[1,2] D.[1,5] 例4.卫知生月-华产+求)的解 (3)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面 析式 积y关于一边长x的解析式，并写出 此函数的定义域。 ●要点三1 函数的单调性与最值 1.关于单调性的判断 判断函数的单调性时可以先用观察法，再考 虑用图象法、定义法， 2.关于函数的最值 般的方法是先证明或判断函数的单调性， 再利用单调性求最值.对于含参数的一元二次函 数，则需要讨论对称轴与区间的位置关系， ●要点二求函数解析式 求函数解析式的题型与相应的解法 例5.已知函数()=-xx1+2x,则下列结 论正确的是 () (1)已知形如f[g(x)]的解析式求f(x)的 A.递增区间是(0，+∞) 解析式，使用换元法或配凑法。 B.递减区间是(-∞，-1) (2)已知函数的类型（往往是一次函数或二 C.递增区间是(-∞，-1) 次函数)，使用待定系数法 D.递增区间是(-1,1) 078 例 .已知函数fx)=x2+2ax+2. ●要点五函数的图象及应用 (1)当a=-1时，求函数f(x)在区间 [-5,5]上的最大值和最小值； 作函数图象的方法 (1)利用描点法作图 (2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5] ①确定函数的定义域； 上的最值. ②化简函数的解析式： ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 性)； ④画出函数的图象。 (2)图象变换 ①平移变换（左加右减，上加下减）： (i)把函数f(x)的图象向左平移a(a>0) 个单位长度，得到函数f(x+a)的图象； ●要点四函数的奇偶性 (ii)把函数f(x)的图象向右平移a(a>0) 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 个单位长度，得到函数f(x-a)的图象； (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇 (ⅲ)把函数f(x)的图象向上平移a(a>0)》 偶性 个单位长度，得到函数f(x)+a的图象； (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调 (iV)把函数f(x)的图象向下平移a(a>0) 区间 个单位长度，得到函数f(x)-a的图象 (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、 ②对称变换： 解不等式。 （i)y=x)关于x轴对称 =-f(x); (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的 取值范围。 例71)已知定义在R上的函数x),下列说 (i)少=x)关于y轴对称 =f代-x); (i)y=(x)关于原点对称 y=-f(-x) 法中正确的个数是 ①f(x)+f(-x)是偶函数；②f(x)- 例9.（1)设奇函数x)在(0，+)上增函数。 f(-x)是奇函数；③f(x)f(-x)是偶 且f1)=0,则不等式)=-2<0 函数；④f(IxI)是偶函数；⑤lf(x)I 的解集为 () 是偶函数. A.(-1,0)U(1,+∞) A.2 B.3 C.4 D.5 B.(-∞，-1)U(0,1) (2)定义在[-1,1]上的奇函数f(x)单调递 C.(-0,-1)U(1,+0) 减，且满足f(1-a)+f(1-a2)<0,则 D.(-1,0)U(0,1) 实数a的取值范围为 (2)对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+ 例8.已知函数fx)=ax2+,其中a为实数. 3,2+分2-4+3中的较大者，则 (1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的 f(x)的最小值是 奇偶性，并说明理由； (2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2] (3)(多选题)函数y=x2-k和y=(飞 上的单调性，并说明理由， ≠0)在同一直角坐标系中图象不可 能是图中的 本票★分 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）》0=x=是0 调递减区间为(1，+0)；当x<0时f(x)的图象开口向上，对 称轴为x=-1,单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为 ∴f(x)的值域为(-0,0)U(0,+∞) 1 (-∞，-1).f-1)=-1,f0)=0,f(1)=1,所以递增区间 4.3设f(x)=x“,2=2“,.2立=2， 是(-1,1. a=分)=9)=9时=3 例6：(1)当a=-1时，fx)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为xe[-5,5],故当x=1时，f(x)取得最小值，f(x)m= 5.(1)设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数： f1)=1;当x=-5时，f(x)取得最大值，f(x)mm=f(-5)= -1.5<-1.4,.(-1.5)3<(-1.4)3 (-5-1)2+1=37 (2)设g(x)=,则g(x)在(-，0)上为减函数. (2)函数f(x)=x2+2ax+2=（x+a)2+2-a2的图象开口向 x 上，对称轴为x=-a. -1.5<-1.4<0,-1.5>-1.4 1 当-a≤-5，即a≥5时，函数在区间[-5,5]上是增函数，所 以fx)mm=f5)-27+10a,f(x)mim=f-5)=27-10a; 章末知识梳理 当-5<-a≤0，即0≤a<5时，函数图象如图①所示，由图象 要点专项突破 可得fx)mn=f(-a)=2-a2f(x)m=f(5)=27+10a; 当0<-a<5,即-5<a<0时，函数图象如图②所示，由图象 1-2x>0, 例1：(1)B 要使函数有意义，则 可得f(x)m=f代-5)=27-10a, 12x+1≠0. .1 f(x）m=f-a）=2-a2; x2 1 即x<且x*-， 1 x≠2， 故函数的定义域为{x<号且x≠-} 50550 (2)A因函数f(x)的定义域为[1,3]，则在函数g(x)= 图① 图② 2x-D中必有≤21≤3解得1<≤2，所以g(的定 当-a≥5，即a≤-5时，函数在区间[-5,5]上是减函数，所 Vx-1 1x-1>0, 以fx)mm=f5)=27+10a,fx)mm=f-5)=27-10a. 义域为(1,2] 综上可得，当a≥5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为 27+10a,最小值为27-10a; (3)设矩形的一边长为x,则另一边长为？(a-2x),所以y= 当0≤a<5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最 x·2a-2)=-+m,定义域为{0<<7} 小值为2-a2; 当-5<a<0时f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a, 例2：A因为f代x)+2f-x)=3x+1, 最小值为2-a; 所以f代-x)+2fx)=-3x+1, 当a≤-5时，f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a,最 则)=-3x+分 小值为27+10a. 例7：(1)C根据题意，依次分析5个说法， 例3：由题意，设函数为f(x)=ax+b(a≠0)， 对于①，设g(x)=fx)+f-x), 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以3a(x+1)+3b-ax-b= 其定义域为R,有g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), 2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9 则f(x)+f(-x)是偶函数，①正确. 由恒等式性质，得24=2， 所以a=1,b=3. 对于②，设g(x)=f孔x)-f代-x),其定义域为R,有g(-x)= 3a+2b=9, f(-x)-f(x)=-g(x),则f代x)-f孔-x)是奇函数，②正确. 所以所求函数解析式为f代x)=x+3. 对于③，设g(x)=f(x)f(-x),其定义域为R,有g(-x)= 例4：令t=1生=+1，则1.把x=代人士） f(-x)f(x)=g(x), 则f(x)f代-x)是偶函数，③正确. 1 1+x2 t-1 23 +1,得ft =(t-1)2+1+(t 对于④f1x1)=代x),≥0， 为偶函数，④正确。 f-x),x<0 -1 fx),f(x)≥0 1)=t2-t+1. 对于⑤，f(x)1= 不一定为偶函数，⑤错误， L-f(x),f(x)<0 所以所求函数的解析式为f(x)=x-x+1,x∈(-∞，1)Ui 所以有4个是正确的. (1,+∞) (2)[0,1)f1-a)+f1-a2)<0, 「-x+2x,x≥0， 例5：Dfx)=-xxl+2x= 即为f1-a)<-f1-a2), 当x≥0时，f(x) Lx2+2x,x<0, 又f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数， 的图象开口向下，对称轴为x=1,单调递增区间为[0,1)，单所以f1-a)<f代a2-1),又f代x)单调递减， -298 r1-a>a2-1, 所以代x)的最小值是2. 所以-1≤1-a≤1，解得0≤a<1, (3)BCD由二次函数与反比例函数图象可知当k<0时，此 【-1≤a2-1≤1， 时y=x2-k图象开口向下，且与y轴交点在y轴正半轴，故 所以实数a的取值范围为[0,1). A正确，不符合题意，C、D错误，符合题意；由二次函数与反比 例8：)当a=0时)=显然是奇函数： 例函数图象可知当k>0时，此时y=kx2-k图象开口向上，且 与y轴交点在y轴负半轴，故B错误，符合题意 当a≠0时，f1)=a+1f(-1)=a-1,f1)≠f-1)且f1) +f代-1)≠0，所以此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 第三章指数运算与指数函数 (2)设1≤x1<:≤2，则f(x1)-f(x2)=a(x1-)(x1+:2)+ =) §1指数幂的拓展 x1 关键能力 攻重难 因为1≤1<x2≤2，所以x1-2<0,2<1+2<4,1<x1x2 <4, 例1：(1)a=267 11, 所以2<a(+)<12,4<x 1 (2)a=4- (3)a=50. 所以a(+)- 10, xX2 : (4)a=7品=7品 所以f(x)-f(x2)<0,即fx1)<f(x2), 对点训练1：(1)b=81-. 故函数f(x)在[1,2]上单调递增。 例9：(1)D因为f(x)为奇函数，所以不等式x)--2<0 (2)b=5-青」 (3)6=m号 可化为2①<0，即x)<0,f代x)的大致图象如图所示，所例2：(1)m=m; 以不等式xf代x)<0的解集为(-1,0)U(0,1) (2)(a-b)=(a-b) 对点训练2：(1)A原式=a号 2)手)=()=（侵=(） 易错警示 (2)2首先应理解题意，函数八)表示-+3，弓x+宁2-例3：C 3 课堂检测 固双基 4x+3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f代x)表示-x+3, +分24红+3巾最大的个 3 .Cm<号3m-2<0,排除AB 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3),B(1, 又(3m-2)2>0,所以/(3m-2)2为正，所以选C. 2),C(5,8) 2.C由于2<a<3,所以2-a<0,3-a>0,所以原式=a-2+ 可得函数f代x)的解析式： 3-a=1,故选C. ,x2-4x+3(x≤0或x>5), :3.C对于A,正数的偶次方根中有负数， -x+3(0<x≤1)， .A错误； f(x)= 3 对于B,负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在， 2x+ 2(1<xs5). ∴.B错误； y个 对于C,当n>1且neN*时，0的n次方根是0， .C正确： 对于D,n为奇数时，负数的奇次方根是负数， .D错误 4告舒-号 B §2指数幂的运算性质 八2.345 必备知识探新知 知识点(1)a+Basa“b f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2),: 299