2.3 第2课时函数单调性的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

§3函数的单调性和最值 (1)当xeR时f代x)=3(x-2)2-7≥-7，当x=2时，等号成立 故当x∈R时，函数f代x)的最小值为-7，无最大值 (2)由图可知，在[0,3]上，函数f代x)在x=0处取得最大值，最 第1课时函数的单调性 大值为5；故x=2处取得最小值，最小值为-7. 必备知识探新知 (3)由图可知，函数f(x)在[-1,1]上是减函数，在x=-1处 知识点1fx)<fx2)fx)>f(x2) 取得最大值，最大值为20；在x=1处取得最小值，最小值为 知识点2区间D -4. 知识点3fx)≤M(f(x)≥M)f(xo)=M 对点训练3：fx)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],teR, 关键能力攻重难 对称轴为直线x=1. 例1：函数的单调增区间为[-1.5,3)，[5,6)，单调减区间为 [-4,-1.5),[3,5),[6,7]. 对点训练1：由图象(1)知此函数的增区间为(-∞，2]，[4， +0),减区间为[2,4]. 由图象(2)知，此函数的增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)，减 0t1t+1 01tt+1 区间为[-1,0)，(0,1]. 图1 图2 图3 例2：(1)C由函数的图象可知，最小值为-2，最大值为f(5). (2)①油题意，当x∈[-1,2]时，f(x)=-x2+3,为二次函数 当t+1<1,即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间 的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)=x-3,为一次函数的一部分； [t,t+1]上为减函数， 所以，函数f代x)的图象如图所示： 所以最小值为g(t)=f代t+1)=2+1: 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为 g(t)=f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t,t+1]上 为增函数： 543-2-1012345末 所以最小值为g(t)=f(t)=子-2t+2. w2 -3 r2+1,t<0, 4 综上可得，g(t) 1,0≤t≤1， ②由图象可知，当x=0时函数f(x)有最大值为3；当x=2时 lt2-2t+2,t>1. f(x)有最小值为-1. 课堂检测固双基 对点训练2：作出f(x)的图象如图：由图象可知， :1.C结合图象分析可知，函数图象在区间[-3,1是上升的， 故其增区间是[-3,1]. 2.A因为-1<0，所以一次函数y=-x+3在R上单调递减， 反比例函数了=在0，+2)上单羽造政.=次函数y=- +4在(0，+0)上递减 4 3.C由图象可知，当x=-2时fx)取最小值f代-2)，当x=1 当x=2时，f(x)取最大值为2： 时，fx)取最大值f(1)=2,故选C. 当=乃时)取最小值为-子所以()的最大值为2， 4.B:函数f(x)在[-2,2]上单调递减， ∴.f代x)mm=f代2）=-3，f代x)mm=f代-2)=5. 最小值为-子 :5.(2,+0)(-∞，2]当x≤2时，f(x)=1-(2-x)=x-1, 则在(-∞，2]上单调递增；当x>2时，f(x)=1+(2-x)=3 例3：fx)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,作出函数y=f(x)的图 -x,则在(2，+∞)上单调递减. 象，如图所示。 第2课时函数单调性的应用 关键能力攻重难 例1)=-生=士-1，<0，画出函数的图象如图， 1234 -294 由图象可以看出，函数f(x)=-+1在区间(-0,0)上单调 2x1(x2+1)-2x2(x1+1)2(x1-x2) (x1+1)(x2+1) (x+1)(2+1) 递增。 -3≤x1<x2≤-2， 下面利用函数单调性的定义证明这一结论. .x1-2<0,x1+1<0,x2+1<0. 任取x1<2<0,则x1-x2<0, ① .fx)-f(x2)<0,所以fx)<fx2) 图为)-)-1-（站小=号-司 2x ·函数x)=x十[-3，-2]是增函数 x-2<0, ② 又f-2)=4,f-3)=3, x1X2 .∴.函数的最大值是4，最小值是3. 即f(x,)<f(x,).由函数单调性的定义可知，函数f代x)= 例3：函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a-7)> +在区间(-，0)上单调递增 f(11+8a), 注意事项：①x1,x2取值任意且分大小；②变形是解题关键， .3a-7>11+8a, 18 对点训练1：画出函数的图象如图，由图象可以看出，函数f(x)= .a<- 5, x一在区间(0，+)止可能单调递增 实数a的取值范周是(-，-) 图象不易画出，也可以这样判断：在(0， 对点训练3：：g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1-2t), 十“)上y=,=都是增西数， t>1-2t>3 .y=f八x)递增 下面利用函数单调性的定义证明这一 即所求：的取值范围为（兮，+） 结论 易错警示 任取0<x1<x2,则x1-2<0. 例4：-3}因为函数的单调递减区间为(-∞，4]，所以1-a =4,即a=-3.故实数a的取值集合是{-3}. 课堂检测固双基 (份)国-)+)0 1.A函数y=-1xl在(-∞，0]上递增，在(0，+∞)上递减， .当x=0时，y取最大值0，无最小值. 即f代x)<f(x2). :2.D:y=f(x)在区间(0,3]上是减函数， 由函数单调性的定义可知，函数f(x)=x-上在区间(0， .当x=3时f(x)取最小值f3)fx)无最大值.故选D. +∞)上单调递增 aD1-a-(e-+2>0, 例2：(1)证明：任取x1,x2∈[3,5]且<x2,则 .a2+1>a,又f(x)在(-0，+0)上是减函数， ))2 ∴fa2+1)<fa). 4.2设狂意x1,[2,6],且<，f()-f代x)= 2 --1)(+2)-(3-10(x+2) (x1+2)(x2+2) 22(x1-x2） -1+2,-名-2-x西2-2，+1+2 -1(2-1)(x-1 (x1+2)(x2+2) x1,x2∈[2,6]，.x2-1>0,x1-1>0, 3(x1-x2) 又x1<2,.-x2<0, = (x1+2)(x2+2) 2(x1-x2) x1,x2∈[3,5]且x<x2, 六-1属-<0 .-x2<0,x1+2>0,2+2>0, f2）-fx)<0,fx2)<fx), .fx1)-fx2)<0,∴.f（x）<f(x2)， )=2 xe[2,6]为减函数， 函数)-十在x[3,5]上为增函数 : ∴.f代x)mm=f2）=2. 5.当1≤x≤2时，f(x)=2x+6, (2)由(1)知，当x=3时，函数f(x)取得最小值为3)=5， f(x)在[1,2]上单调递增， 当x=5时，函数x)取得最大值为九5)=号 ∴f(x)ms=f(2)=10. 当-4≤x<1时，f(x)-7-x, 对点训练2：设-3≤x1<2≤-2， ∴.fx)在[-4,1)上单调递减， 则f(x)-fx2)= 2x12x2 fx)mx=f代-4)=11. +12+1 综上可知f(x)m=f孔-4)=11， -295066 A.f(-2),0 B.0,2 :5.函数f(x)=1-12-x的单调递减区间是 C.f-2),2 D.f(2),2 单调递增区间是 4.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最 夯基提能作业 大值分别为 () 请同学们认真完成练案[20] A.3,5 B.-3,5 C.1,5 D.5,-3 第2课时 函数单调性的应用 关键能力 攻重难 归纳提升： ●题型一 函数单调性的证明 证明的关健是作差之后 的变形，变形的结果应 是几个因式乘积的形式 例1.判断函数(x)=-x+在区间(-，0)上的单调性，并给出证明。 关于定义法证明函数的 单调性 [分析]通过函数的图象判断单调性，再进行证明. (1)步骤： 取值 g 作美 利于判断 麦的特号的变形 定号 图 [归纳提升] 不确定时，可以进行 分关讨论 )对点训练1 结论>一根据定义得出结论 判断函数f(x)=x-1在区间(0，+0)上的单调性，并给出证明. (2)实质：通过代数运 算的结果证明函数的单 调性. 归纳提升： 1.利用函数单调性求最 值的一般步骤· (1)判断函数的单调 性.(2)利用单调性写出 最值. ●题型二利用单调性求最值 2.利用单调性求最值的 三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间 例2已知函数(x)- x+2 [a,b]上是增（减)函 数，则f(x)在区间[a, (1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； b门的左、右端点处分别 (2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值. 取得最小（大）值和最大 (小)值 [分析]利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性， (2)如果函裁f(x)在区 再求最值 间(a,b]上是增函数， 在区间[b,c)上是减函 裁，则函数f(x)在区间 (a,c)上有最大值f(b). (3)如果函数f(x)在区 间(a,b]上是减函 数，在区间[b,c)上是 增函数，则函裁f(x)在 区间（a,c)上有最小 [归纳提升] 值(b). ●067 》对点训练2 已知函数八)=杂[-3，-2]，求函数的最大值和敏小值 ●题型三单调性的应用 例 .已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a-7)>f(11+8a),求 实数a的取值范围. [分析]根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得 到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应 自变量的大小. 归纳提升： 利用函数的单调性解 函裁值的不等式就是 利用函裁在某个区间 内的单调性，去掉对 应关系“”，转化为 [归纳提升]自变量的不等式，此 】对点训练3 时一定要注意自变量 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1-2),求实数t的取 的限制条件，以防出 值范围。 ●易错警示混淆“单调区间”和“区间上单调” 例4若函数y)=+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-：，4]，则实数 a的取值集合为 [错解]函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间 （-0,4]上单调递减，因此1-a≥4，即a≤-3.故填a≤-3. [辨析]导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上 单调” [点评]单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 I,指的是函数递减的最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问 题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同 的概念 068 课堂检测 固双基 1.函数y=-Ix|在R上 2x+6(1≤x≤2)， A.有最大值0，无最小值 ）5.已知函数x)= 7-x(-4≤x<1), 求f(x)的最 B.无最大值，有最小值0 大值 C.既无最大值，又无最小值 D.以上都不对 2.若定义在区间(0,3]上的函数y=f(x)是减函 数，则它的最大值 ( A.是f(0) B.是f(3) C.是0 D.不存在 3.已知函数f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，若 a∈R,则 A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 4已知函数x)=2*261,则八)的最 夯基提能作亚业 大值为 请同学们认真完成练案[21] §4函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 课标要求 核心素养 1.学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如 1.理解奇函数、偶函数的概念， 单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系。 2.掌握判断某些函数奇偶性的方法. 培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 3.掌握奇偶函数的图象特征， 2.学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对 4.会根据概念和图象判断简单函数的奇 称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴 偶性. 对称.培养学生直观想象的核心素养 必备知识探新知 知识点 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 般地，设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A 结论 f(-x)= f(-x)= 图象特点 关于 对称 关于 对称