第3章 1 指数幂的拓展-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) (教师独具内容) 课程标准：1.理解分数指数幂的定义，了解无理数指数幂，体会指数幂的扩充.2.理解幂的一些简单性质． 教学重点：分数指数幂的定义． 教学难点：无理数指数幂的意义． 知识点一　正分数指数幂的定义 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a．这就是正分数指数幂． [注意]　(1)所谓两个正整数m，n互素(也叫互质)指的是m，n除1之外没有其他公共正约数，例如：2和5互素，但是3和9就不互素． (2)对于a，显然不能理解成个a相乘，那么，怎么理解它的意义呢？一是根据定义：满足bn＝am的正数b就是a；二是借助根式：有时也把a看成根式，可以看出，a就是正数am的n次算术根．例如：2＝＝(即8的4次算术根)． (3)当k是正整数时，a＝a. (4)对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 知识点二　负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝＝． [注意]　(1)类比负整数指数幂的定义，相对照而记忆；可以看出，负分数指数幂也是“化负为正”． (2)定义了负分数指数幂之后，幂的指数就由原来的整数范围拓展到有理数范围． 知识点三　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． [注意]　(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)a－α＝(a>0，α是正无理数)． (3)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围拓展到实数范围． 1．指数幂的简单性质 (1)给定一个正数a，总有aα>0(α是实数)． (2)0的任意正实数指数幂都等于0. (3)0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义． 2.与()n两个式子的意义 (1) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，a∈R，但此式的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|. (2)( )n是实数的n次幂，当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0.由此知，只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－＝8.(　　) (2)因为＝＝3，所以(－3)＝3.(　　) (3)若a>0，α∈R，则aα>0.(　　) (4)若α∈R，则0α＝0.(　　) (5)＝π－1－π.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)①2的4次方根可表示为________； ②10的3次方根可表示为________； ③5的5次方根可表示为________． (2)用分数指数幂表示下列各式(式子中的字母均为正数)： ①＝________； ②＝________； ③＝________(a>b)． 答案：(1)①±(或±2)　②(或10)　③(或5) (2)①a　②ab　③(a－b) 题型一　分数指数幂定义的直接应用 　根据条件填空： (1)若a3＝10(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (2)若a4＝35(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (3)若an＝2m(a>0，m，n∈N＋且m，n互素)，则可用分数指数幂把a表示为________； (4)16＝________； (5)＝________． [解析]　(1)a＝10. (2)a＝3. (3)a＝2. (4)解法一：设b＝16，则b4＝163＝4096.∵b>0，∴b＝8，即16＝8. 解法二：16＝＝8. (5)＝＝＝＝. [答案]　(1)10　(2)3　(3)2　(4)8　(5) 【感悟提升】　对于正分数指数幂的两种表示方法，都是旧知识的“自然发展”，因此，在学习中必须注意“温故知新”；对于负分数指数幂，要转化为正分数指数幂，体现转化思想． 【跟踪训练】 1．(1)若x5＝6，则x＝________． 答案：6 解析：x＝6. (2)化根式为分数指数幂，则＝__________，＝__________． 答案：2　2 解析：＝＝2，＝2. 题型二　简单根式的化简 　若代数式＋有意义，化简＋. [解]　由代数式＋有意义，知 即≤x≤3. 原式＝＋＝|3x－1|＋(3－x)＝3x－1＋3－x＝2＋2x. 【感悟提升】　对于的化简，分两种情况：①当n是正偶数时(表示an的n次算术根)，＝|a|；②当n是正奇数(n>1)时(表示an的n次方根)，＝a. 【跟踪训练】 2．计算：(1)＋； (2)＋. 解：(1)原式＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2. (2)原式＝|a－2|＋(a－2)＝ 1．已知m10＝2(m>0)，则m＝(　　) A．2 B．－2 C．210 D．2－10 答案：A 解析：因为m10＝2，m>0，所以m＝2.故选A. 2．(多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x)(x>0) B.＝y (y>0) C．x－y＝(x>0，y>0) D．x－＝－(x>0) 答案：BC 解析：对于A，－＝－x(x>0)，故A错误；对于B，＝y(y>0)，故B正确；对于C，x－y＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，x－＝(x>0)，故D错误． 3．根据条件填空： (1)若a2＝23，则可用分数指数幂把a表示为________； (2)若a3＝(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (3)2的3次方根用分数指数幂表示为________． 答案：(1)2　(2)　(3)2 解析：(1)a＝2. (2)a＝. (3)＝2. 4．计算： (1)＋； (2)＋. 解：(1)原式＝－＝2－2＝0. (2)原式＝|a－3b|＋a－3b＝ 5．计算：＋＋Ｋ. 解：原式＝＋＋＝＋＋＝－＋－＋－＝－. 课后课时精练 一、选择题 1．8＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．64 答案：B 解析：8＝＝＝4.故选B. 2．若x5＝3，则x＝(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对 答案：A 解析：因为x5＝3，所以x＝3，故选A. 3．当α≤0时，aα有意义，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．R D．Q 答案：A 解析：根据指数幂的简单性质可知，当α≤0时，aα有意义，则a的取值范围是(0，＋∞)．故选A. 4．化简：·＝(　　) A．2a B．2a C．－2a D．－2a 答案：B 解析：·＝a·＝2a.故选B. 5．(多选)下列各式正确的是(式子中的字母均为正数)(　　) A．a－＝ B.＝x C.＝a2＋b2(n∈N＋，且n>1) D.＝a－b 答案：ABC 解析：对于A，a－＝＝，正确；对于B，＝x，正确；对于C，∵a2＋b2≥0，∴＝a2＋b2，正确；对于D，当a≥b时，＝a－b，当a<b时，＝b－a，错误．故选ABC. 二、填空题 6．①16的立方根是________；②27的5次方根是________． 答案：①16　②27 解析：①16的立方根是，即16.②27的5次方根是，即27. 7．在(2x＋1) －中，实数x的取值范围是________． 答案： 解析：由题意可知，2x＋1>0，解得x>－，即实数x的取值范围是. 8．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________． 答案：5－ 解析：b－3n＝b＝5m，则b3n＝5－m，所以b＝＝5－. 三、解答题 9．化简：(n∈N＋，且n>1)． 解：当n为偶数时，原式＝|x－π| ＝ 当n为奇数时，原式＝x－π. 10．已知集合A＝{－a，，4}，B＝，且A＝B，求a＋b. 解：由元素的互异性可知，－a≠， 且a≠0， 所以a>0，此时，A＝{－a，a，4}，B＝{－a，1，2b}． 所以即则a＋b＝3. 11．若n∈N＋，且n>1，化简＋()n＋1. 解：当n是偶数时，n＋1是奇数，此时a∈R. 原式＝|a|＋a＝ 当n是奇数时，n＋1是偶数，此时a≥0. 原式＝a＋a＝2a. 12．某工厂2024年12月份的产值是这年1月份产值的k倍，求该厂在2024年度产值的月平均增长率． 解：设1月份的产量为a，月平均增长率为x， 则2月份的产量为a＋ax＝a(1＋x)， 3月份的产量为a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2， …… 12月份的产量为a(1＋x)11， 依据题意，a(1＋x)11＝ka，解得x＝－1， 即该厂在2024年度产值的月平均增长率是－1. 8 学科网（北京）股份有限公司 $