2.3 第1课时函数的单调性-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

◆063 §了函数的单调性和最值 课标要求 核心素养 1.函数单调性的学习，学生要正确 1.根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念 使用符号语言清晰地刻画函数的 会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性. 性质，培养学生数学抽象的核心 2.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大（小）值 素养 问题. 2.单调性的有关概念比较抽象，要 3.能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性， 注意结合具体的函数（如一次函 掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法 4.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的 数、二次函数、反比例函数等)加 深理解其含义及应用.培养学生 最大（小）值的方法 逻辑推理的核心素养. 第1课时 函数的单调性 必备知识 探新知 知识点1函数的单调性 知识点2函数的单调性与单调区间 函数 增函数 减函数 函数y=f(x)在 上是单调递增或 单调递减，则函数在区间D上具有（严格的）单 设函数y=f(x)的定义域为D,对于任意x1,x2 调性，区间D叫作函数的单调区间. 条件 ∈D,当x1<x2时， 知识点3 函数的最大（小）值 设函数y=代x)的定义域为D,若存在实数M, y=f(x)是增函数 y=f(x)是减函数 对所有的x∈D,都有 ,且存在xo∈D,使得 ,则称M为函数y=f代x)的最大（小）值. 当I是定义域D上的 当I是定义域D上的 结论 一个区间时，函数y= 一个区间时，函数y= f(x)在区间I上单调 f(x)在区间I上单调 递增 递减 关键能力 攻重难 ●题型一 由图象求函数的单调区间 例1.如图为函数y=x),x[-4,7]的图象，指出它的单调区间。 y -2:0 23456 [分析](1)函数f(x)在D上单调递增（或单调递减）表现在其图象上有怎样的特征？ 064 归纳提升：函数单调 (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？ 区间的求法及表示 方法 (1)由函裁图象确定 函数的单调区间是一 种直观简单的方法， 对于较复杂的函数的 [归纳提升] 单调区间，可利用一 )对点训练1 些基本函数的单调性 根据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间. 或根据函数单调性的 定义来求 (2)单调区间女须是一 个区间，不能是两个区 2 间的并，如不能写成函 数y=上在(-x,0) U(0,+∞)上是减函 数，而只能写成在 (-∞，0)和（0， +0)上是减函数 (3)区间端点的写法： 对于单独的一点，由 ●题型二由图象求函数的最值 于它的函数值是唯一 2.（1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图 确定的常数，没有增 列 所示，则此函数的最小值、最大值分别是 减变化，所以不存在 ()》 -1/ 单调问题，因此写单 -2 A.-2f(2) B.2,f2) 调区间时，可以包括 C.-2,f5) D.2f(5) 端点，也可以不包括 端点，但对于某些点 3-x2,∈[-1,2]， (2)已知函数f(x)= 无意义时，单调区间 x-3,xe(2,5]. 就不包括这些点」 ①在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； ②由图象指出当x取什么值时f(x)有最值， 4 3 归纳提升：图象法求 543-2-1012345x 最值的步骤 作→作出函数图象 在图象上我到 我→最高点和最低 点的纵坐标 确定函数的最 定 大（小）值 ●[归纳提升] ●065 】对点训练2 rx2-x(0≤x≤2)， 已知函数f代x)= 求函数f(x)的最大值、最小值. 归纳提升：定轴定区 ●题型三二次函数的最值 间的二次函数的最值 例3.已知函数八)=312x+5,当自变量x在下列范围内取值时，求函 问题的解法 数的最大值和最小值， 解决这类问题，要画 (1)R:(2)[0,3];(3)[-1,1]. 出函数的图象，根据 给定的区间裁取符合 要求的部分，根据图 象写出最大值和最小 值.经常用到的结论： 当二次函数图象开口 向上时，自变量距离 对称轴越远，对应的 [归纳提升]函数值越大；当图象 】对点训练3 开口向下时，则相反 求函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值g(t). 课堂检测固双基 1.函数y=f(x)的图象如图所示，其增区间是 2.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是 A.y=lxl B.y=3-x c.y=1 D.y=-x2+4 3.函数f(x)在[-2,2]上的图象 A.[0,1] B.[-4,-3]U[1,4] 如图所示，则此函数的最小21 C.[-3,1] D.[-3,4] 值、最大值分别是 066 A.f(-2),0 B.0,2 :5.函数f(x)=1-12-x的单调递减区间是 C.f-2),2 D.f(2),2 单调递增区间是 4.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最 夯基提能作业 大值分别为 () 请同学们认真完成练案[20] A.3,5 B.-3,5 C.1,5 D.5,-3 第2课时 函数单调性的应用 关键能力 攻重难 归纳提升： ●题型一 函数单调性的证明 证明的关健是作差之后 的变形，变形的结果应 是几个因式乘积的形式 例1.判断函数(x)=-x+在区间(-，0)上的单调性，并给出证明。 关于定义法证明函数的 单调性 [分析]通过函数的图象判断单调性，再进行证明. (1)步骤： 取值 g 作美 利于判断 麦的特号的变形 定号 图 [归纳提升] 不确定时，可以进行 分关讨论 )对点训练1 结论>一根据定义得出结论 判断函数f(x)=x-1在区间(0，+0)上的单调性，并给出证明. (2)实质：通过代数运 算的结果证明函数的单 调性. 归纳提升： 1.利用函数单调性求最 值的一般步骤· (1)判断函数的单调 性.(2)利用单调性写出 最值. ●题型二利用单调性求最值 2.利用单调性求最值的 三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间 例2已知函数(x)- x+2 [a,b]上是增（减)函 数，则f(x)在区间[a, (1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； b门的左、右端点处分别 (2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值. 取得最小（大）值和最大 (小)值 [分析]利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性， (2)如果函裁f(x)在区 再求最值 间(a,b]上是增函数， 在区间[b,c)上是减函 裁，则函数f(x)在区间 (a,c)上有最大值f(b). (3)如果函数f(x)在区 间(a,b]上是减函 数，在区间[b,c)上是 增函数，则函裁f(x)在 区间（a,c)上有最小 [归纳提升] 值(b).§3函数的单调性和最值 (1)当xeR时f代x)=3(x-2)2-7≥-7，当x=2时，等号成立 故当x∈R时，函数f代x)的最小值为-7，无最大值 (2)由图可知，在[0,3]上，函数f代x)在x=0处取得最大值，最 第1课时函数的单调性 大值为5；故x=2处取得最小值，最小值为-7. 必备知识探新知 (3)由图可知，函数f(x)在[-1,1]上是减函数，在x=-1处 知识点1fx)<fx2)fx)>f(x2) 取得最大值，最大值为20；在x=1处取得最小值，最小值为 知识点2区间D -4. 知识点3fx)≤M(f(x)≥M)f(xo)=M 对点训练3：fx)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],teR, 关键能力攻重难 对称轴为直线x=1. 例1：函数的单调增区间为[-1.5,3)，[5,6)，单调减区间为 [-4,-1.5),[3,5),[6,7]. 对点训练1：由图象(1)知此函数的增区间为(-∞，2]，[4， +0),减区间为[2,4]. 由图象(2)知，此函数的增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)，减 0t1t+1 01tt+1 区间为[-1,0)，(0,1]. 图1 图2 图3 例2：(1)C由函数的图象可知，最小值为-2，最大值为f(5). (2)①油题意，当x∈[-1,2]时，f(x)=-x2+3,为二次函数 当t+1<1,即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间 的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)=x-3,为一次函数的一部分； [t,t+1]上为减函数， 所以，函数f代x)的图象如图所示： 所以最小值为g(t)=f代t+1)=2+1: 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为 g(t)=f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t,t+1]上 为增函数： 543-2-1012345末 所以最小值为g(t)=f(t)=子-2t+2. w2 -3 r2+1,t<0, 4 综上可得，g(t) 1,0≤t≤1， ②由图象可知，当x=0时函数f(x)有最大值为3；当x=2时 lt2-2t+2,t>1. f(x)有最小值为-1. 课堂检测固双基 对点训练2：作出f(x)的图象如图：由图象可知， :1.C结合图象分析可知，函数图象在区间[-3,1是上升的， 故其增区间是[-3,1]. 2.A因为-1<0，所以一次函数y=-x+3在R上单调递减， 反比例函数了=在0，+2)上单羽造政.=次函数y=- +4在(0，+0)上递减 4 3.C由图象可知，当x=-2时fx)取最小值f代-2)，当x=1 当x=2时，f(x)取最大值为2： 时，fx)取最大值f(1)=2,故选C. 当=乃时)取最小值为-子所以()的最大值为2， 4.B:函数f(x)在[-2,2]上单调递减， ∴.f代x)mm=f代2）=-3，f代x)mm=f代-2)=5. 最小值为-子 :5.(2,+0)(-∞，2]当x≤2时，f(x)=1-(2-x)=x-1, 则在(-∞，2]上单调递增；当x>2时，f(x)=1+(2-x)=3 例3：fx)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,作出函数y=f(x)的图 -x,则在(2，+∞)上单调递减. 象，如图所示。 第2课时函数单调性的应用 关键能力攻重难 例1)=-生=士-1，<0，画出函数的图象如图， 1234 -294