2.4.1 函数的奇偶性-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

:对点训练2：(1)由题意作出函数图象如图： §4函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1函数的奇偶性 必备知识探新知 知识点f(x)-f代x)y轴原点 关键能力攻重难 -2-1 例1：(1)函数f(x)=x+1的定义域为实数集R,关于原点对称. 因为f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),即f-x) ≠-f代x),f代-x)≠f(x),所以函数f(x)=x+1既不是奇函数又 不是偶函数 (2)据图可知，单调增区间为(-1,0)，(1，+∞) (2)函数f代x)=Ix-21+1x+21的定义域为实数集R,关于原点例3：函数f(x)的图象关于原点对称.∴f(x)为奇函数，则 对称 f(0)=0,设x<0,则-x>0. 因为f(-x)=1-x-21+1-x+21=1x+21+1x-21= x>0时fx)=x2-2x+3,fx)=-f(-x)=-(x2+2x f(x),所以函数f(x)=Ix-21+Ix+21是偶函数 +3)=-x2-2x-3 (3)函数的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，关于原点对称. -2x+3 (x>0), 当x0时，-x<0,则f-)=-之(-2-1=-（分+1= 于是有：f代x)= 0 (x=0), 【-x2-2x-3(x<0). -fx): ① 对点训练3：设x<0,则-x>0,∴.f(-x)=(-x)2+(-x)-1 当x<0时，->0，则-)=分(-)+1=7+1= =x2-x-1, -(22）= ② fx)为偶函数，f(-x)=fx),f(x)=x2-x-1. .当xe(-0,0)时，f(x)=x2-x-1. r+1>0) 例4：原不等式化为f1-3a)<-f代1-a). 综上可知，函数f(x)= 是奇函数 因为f(x)是奇函数，所以-f代1-a)=f(a-1). 2-1x<0) 所以原不等式化为f(1-3a)<f代a-1). 对点训练1：(1)函数f(x)=的定义域为(-0,0)U(0, 因为f代x)是减函数，且定义域为(-1,1)， r-1<a-1<1, +0)关于原点对称，且-)=-=-x), 所以有-1<1-3a<1,解得0<a<7 1-3a>a-1, )=是奇函数 所以实数a的取值范围是(0，} (2)函数)=-3x+1的定义域为R,关于原点对称，且对点训练4：A由于fx)为偶函数，且在[0，+0)上单调递增， f-x)=-3(-x)2+1=-3x2+1=fx), fx)=-3x2+1是偶函数. 则不等式2x-1)<行)，即-号<2x-1<号，解得时<x (3)显然函数f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，关于原 点对称 当x>0时，-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-fx), 易错警示 当x<0时，-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x),例5：(1)函数的定义域为(-2,2]，不关于原点对称，故此函数 .f代-x)=-f(x),.函数f(x)为奇函数 既不是奇函数，也不是偶函数。 (4)函数f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+∞)，不关于原点 (2)函数f代x)的定义域为[-1,1)，不关于原点对称，故此函 对称，故函数f代x)不具有奇偶性 数既不是奇函数，也不是偶函数 例2：因为函数f(x)是奇函数，所以函数f代x)在[-5,5]上的图课堂检测固双基 象关于原点对称.根据f代x)在[0,5]上的图象画出在[-5,0]1.C因为xe(-0,0)U(0,+0),且对定义域内每一个x,都有 上的图象，如图中虚线所示.由图象知不等式f(x)<0的解集 +x=代x),所以函数fx)=是-x是奇函数，其 为{x1-2<x<0或2<x≤5}. f-x)=-1 图象关于坐标原点对称 2.B函数f(x)定义域为R,关于原点对称， f(-x)=1-x1+1=1x1+1=f(x), ∴.函数f代x)为偶函数. 3.B.x∈(-1,1)，.x-1<0 -296 =-)经- 当xe(1,+∞)时，函数y=x子的图象在直线y=x的上方.故 选B. f代-x)=f代x),f代x)为偶函数，选B. (2)二、四幂函数y=x1,y=x,y=x3的图象分布在第一、 4.0f孔x)为偶函数，则对称轴为x=m=0. 5.(1):点(2,1)在函数fx)的图象上， 三象限，y=x的图象分布在第一象限. 1=2-2a=2. 所以幂函数y=(。=-1,71,3)的图象不可能经过第二、四 (2)由(1)知x)=x-2,定义域为(-0,0)U(0,+0)关 象限 例3：(1)y=x为[0，+∞)上的增函数，且2.3<2.4， 于原点对称 .2.3<2.4量 2 (2)y=x为(0，+)上的减函数，且2<5， ·函数f(x)为奇函数， (2)-量>(5)-是 4.2简单幂函数的图象和性质 (3)y=x号为R上的偶函数，.(-0.31)号=0.31. 又函数y=x号在[0，+0)上单调递增，且0.31<0.35， 必备知识探新知 ! 知识点1y=x“(a为常数) .0.31号<0.35号，即(-0.31)号<0.35号 知识点2xx≠0}[0，+0)[0，+∞)[0，+∞) 例4：y=(m2+m-5)x2-2m-3是幂函数， 奇偶奇奇非奇非偶R[0,+0)R[0,+0) ∴.m+m-5=1,即(m-2)(m+3)=0,.m=2或m=-3. (-0,0)(-∞，0)，(0，+∞)(1,1) 当m=2时，m2-2m-3=-3,y=x3是幂函数，且满足当 关键能力攻重难 x∈(0，+∞)时，y随x的增大而减小； 当m=-3时，m2-2m-3=12,y=x2是幂函数，但不满足当 m+m-1=1, 例1：(1)若f(x)为正比例函数，则 ..m=1. m2+2m≠0， x∈(0，+∞)时，y随x的增大而减小，故舍去， m2+m-1=-1, .y=x3(x≠0) (2)若f代x)为反比例函数，则 对点训练3：(1)A因为幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+为偶 m2+2m≠0. 函数，所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m .m=-1 =2.当m=1时，幂函数f(x)=x2为偶函数，满足条件.当m= 「m+m-1=2, (3)若f孔x)为二次函数，则 2时，幂函数fx)=x为奇函数，不满足条件 m2+2m≠0， (2)①由于函数y=x1在第一象限内单调递增， “m=1±3 2 又因为1.1<1.2，所以1.101<1.2a1 ②由于函数y=x0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24< (4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1, 0.25,所以0.24-0.2>0.2502 .m=-1±√2 易错警示 对点训练1：④⑤⑥①中，x2的系数为3，故不是幂函数：②中， 例5：函数在(0，+o)上单调递减，m2-2m-3<0,解 y=+1不是“的形式，故不是幂函数：③中，y=-1 = 得-1<m<3. meN,.m=1,2. -x,系数是-1，故不是幂函数：④中，y=1=是幂函 又函数图象关于y轴对称，∴.m2-2m-3是偶数. 数；⑤中，y=x是幂函数；⑥中，y=x3是幂函数. 又22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，.m= 例2：CA中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x,1≠1.又：y=x亨在(-0,0)，(0，+0)上均为减函数，由(a+ -1,故A错；B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为 1)岁<(3-2a)-岁，得a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或 y=之，2≠？，故B错：C中直线对应函数为y=2x,曲线对应 a+1<0<3-2a解得a<-1或号<a<}u的取值范围 3 函数为y=x2,当x=2时，2=2×2，故C对；D中直线对应函 数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1≠3.故D错 是(-，-u(号》 对点训练2：(1)B函数y=x号=F是定义域为R的奇函数，课堂检测 固双基 且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除.B显然，根据幂函数定义可知，只有y=是=x是幂函数 <y=1=1,2.AaeR,>0,5y=>0, ∴.图象不可能经过第四象限，故选A. y=2宁=2×2学>2，所以当x∈(0,1)时，函数y=x的图象在 直线y=x的下方； 3.C由题意得2=2仪=-1. -297068 课堂检测 固双基 1.函数y=-Ix|在R上 2x+6(1≤x≤2)， A.有最大值0，无最小值 ）5.已知函数x)= 7-x(-4≤x<1), 求f(x)的最 B.无最大值，有最小值0 大值 C.既无最大值，又无最小值 D.以上都不对 2.若定义在区间(0,3]上的函数y=f(x)是减函 数，则它的最大值 ( A.是f(0) B.是f(3) C.是0 D.不存在 3.已知函数f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，若 a∈R,则 A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 4已知函数x)=2*261,则八)的最 夯基提能作亚业 大值为 请同学们认真完成练案[21] §4函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 课标要求 核心素养 1.学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如 1.理解奇函数、偶函数的概念， 单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系。 2.掌握判断某些函数奇偶性的方法. 培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 3.掌握奇偶函数的图象特征， 2.学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对 4.会根据概念和图象判断简单函数的奇 称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴 偶性. 对称.培养学生直观想象的核心素养 必备知识探新知 知识点 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 般地，设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A 结论 f(-x)= f(-x)= 图象特点 关于 对称 关于 对称 ●069 关键能力 攻重难 ●题型一 函数奇偶性的判断 例1判所下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x+1; (2)f(x)=Ix-21+Ix+21; +1x>0. (3)f(x)= 2-1x<0. [分析](1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？ 归纳提升：判断函数 奇偶性的方法 （1)定义法 [注意】①由于这里的-<0，因此应择-x代入)=--1： (2)图象法：即若函 数的图象关于原点对 ②由于这里的-x>0,因此应将-x代入)=分2+1 称，则函数为奇函 数：若函数图象关于 [归纳提升]y轴对称，则函裁为 )对点训练1 偶函数.此法多用在 判断下列函数的奇偶性： 解选择题、填空题中 ( (2)f(x)=-3x2+1; 「x2+x(x<0), (3)f(x)= lx-x2(x>0); (4)x)=-x x-1 070 ●题型二奇偶函数图象的应用 例2设奇函数)的定义域为[-5,5]，若当e[0,5] y=f(x) 时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)<0的 解集。 0 一5 [分析]利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x) 在[-5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)<0的解集， 归纳提升： 已知函裁的奇偶性及 部分图象，根据对称 性可补出另一部分图 象，奇函数在对称区 间上的单调性相同： 偶函数在对称区间上 的单调性相反 >[归纳提升] )对点训练2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现 已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全完整函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间. [分析]函数f(x)为偶函数，∴.(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作 出函数y=f(x)在x>0时的图象 ●071 ●题型三利用函数的奇偶性求解析式 归纳提升：利用函数 例3，已知函数y=)的图象关于原点对称，且当>0时，x)=-2x 奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函 +3.试求f(x)在R上的表达式. 数解析式的关健是利 [分析](1)如何把(-∞，0)上的未知解析式转移到(0，+∞)上的 用奇偶函数的关系式 已知解析式？ f(-x)=-f(x)或 (2)奇函数f(x)在x=0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对f(-x)=f(x)成立， 称可知y=代x)是奇函数.利用奇函数性质可求得解析式， 但要注意求给定哪个 区间的解析式就设这 个区间上的变量为 x,然后把x转化为 -x（另一个已知区间 上的解析式中的变 量)，通过适当推 [归纳提升] 导，求得所求区间上 )对点训练3 的解析式 已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)=x2+x-1,求x∈ (-o∞，0)时，f(x)的解析式. ●题型四单调性与奇偶性的综合应用 例4.定文在（山，1）上的奇函数()在整个定义域上是减函数，若 f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值范围. [分析]利用f(x)是奇函数，把f(1-a)+f(1-3a)<0变形为 f(1-3a)<f(a-1),再根据单调性列出不等式（组）求解. 归纳提升： 解答这类题的思路 是：先由函数的奇偶 [归纳提升] 性将不等式两边都变 》对点训练4 成只含“f”的式子， 然后根据函数的单调 已知偶函数(x)在区间[0，+0)上单调递增，则满足(2x-1)<(兮)的 性列出不等式（组） x的取值范围为 ( 求解. A(兮引 哈引 c(2别 [2引 072 ●易错警示 判断函数奇偶性时忽视定义域 例 .判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=3x2,x∈(-2,2]； (2)f(x)=(x-1) 1+x 1-x [错解](1)·f(-x)=3(-x)2=3x2=f(x), .函数是偶函数. (2)f(x)=- 1-x）2.+=-1+)1-x=-1-x, 1-x ∴f(-x)=-√1-(-x)2=-√1-x=fx), f(x)为偶函数， [辨析]错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对 称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇 函数，也不是偶函数. [正解] [点评]判断函数奇偶性的步骤如下： (1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称 (2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是 偶函数. ②当函数的定义域关于原，点对称时，判断f(-x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内 任意一个x,都有f(-x)=f(x),则(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都 有f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数. 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=1-x的图象关于 ( )4.函数f(x)=x-2mx+4是偶函数，则实数 m= A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 5.已知函数f(x)=x-a的图象经过点(2,1). 2.函数fx)=|xl+1是 (1)求a的值： A.奇函数 (2)判断f代x)的奇偶性. B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数f(x)=(x-1 /1+x N1-x x∈（-1,1) A.是奇函数 B.是偶函数 夯基提能作亚 C.既是奇函数又是偶函数 请同学们认真完成练案[22] D.是非奇非偶函数