2.2.2 第1课时函数的表示法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

056 ● 易错警示函数概念理解有误 例4设集合M0≤x≤2，集合N=10≤y≤2，给出下列四个图形（如图所示），其中能表 示集合M到N的函数关系的个数是 ↑y ↑y 1/ 01x012x012x012x (1) (2) ⊙ (4) A.0 B.1 C.2 D.3 [错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D. [辨析]不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y 值与之对应， [点评]函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间 的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B 之间的关系 课堂检测 固双基 1.下列表格中的x与y能构成函数的是（)2.函数f(x)=x+√2-x的定义域是 非负数 非正数 A.[2,+0) B.(2,+0) A 2 1 -1 C.(-0,2] D.(-∞，2) 3.已知函数f(x)的定义域[-2,3]，则函数 奇数 0 偶数 f(x+1)的定义域为 B 2 0 4.若函数)=乃2-x+a的定义域和值域均 有理数 无理数 y 1 -1 为[1，b](b>1),则a+b的值为 自然数 整数 有理数 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[17] 1 0 -1 2.2 函数的表示法 课标要求 核心素养 1.了解函数的三种表示法及各自的优 1.函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同 缺点 形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思 2.尝试作图并从图象上获取有用的 想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注 信息 意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧 3.会用解析法及图象法表示分段函数. 面认识函数的本质，培养学生数学抽象，直观想象的 4.掌握求函数解析式的常见方法. 核心素养 5.能根据给出的分段函数，研究有关2.学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，培 性质， 养学生数学建模的核心素养， ●057 第1课时 函数的表示法 必备知识探新知 知识点表示函数的三种方法 解析法 用 表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用 表示两个变量之间的关系 关键能力攻重难 ●题型一列表法表示函数 归纳提升： 例1，某商场新进了10台彩电，每台售价300元，试求售出台数x与收款数 列表法、图象法和解 析法是从三个不同的 y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 角度刻画自变量与函 [分析]函数的定义域是{1,2,3，…，10，值域是13000,6000，数值的对应关系，同 9000,…,30000},可直接列表、画图表示.分析题意得到表达y与x一个函数可以用不同 关系的解析式，注意定义域。 的方法表示.在应用 三种方法表示函数时 要注意： (1)解折法：文须注 明函数的定义域 (2)列表法：选取的 自变量要有代表性， 应能反映定义域的 特征 [归纳提升](3)图象法：是否连 》对点训练1 线 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用 函数的三种表示法表示函数y=f(x). 058 归纳提升： ●题型二与函数图象有关的问题 (1)常见函数图象的 特征 例2作出下列函数的图象并求出其值域 ①一次函裁y=x+b (k≠0)是一条直线. 0y=2x+1e[02]2y-2e2,+w: ②=兰（≠0）美与 (3)y=x2+2x,xe[-2,2]. [分析](1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ 坐标轴无限接近的双 (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？ 曲线 ③y=ax2+bx+c(a ≠0)是顶点为 1 b 4ac-b2 2a4a对 称轴为x=- b的抛 2 物线 (2)作函数图象时应 注意以下几点： [归纳提升] ①在定义域内作图， ②图象是实线或实 )对点训练2 点，定义域外的部分 作出下列函数的图象，并指出其值域。 有时可用虚线来衬托 (1)y=x2+x(-1≤x≤1)； 整个图象： 2 (2)y=二(-2≤x≤1，且x≠0) ③要标出某些关键点 例如图象的顶点、端点 与坐标轴的交点等.要 分清这些关健点是实心 点还是空心点 ●题型三求函数解析式 角度1待定系数法求解析式 例3.(1)已知一次函数)满足几/(x)]=4:+6,则f(x)的解析式为 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,则该二次函 数的解析式为 [分析]已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析 式求出参数即可. 角度2换元法（或配凑法）求解析式 例4.(1)已知八，+1)=x+2,则x)的解析式为 (2)已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)的解析式为 059 [分析]已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体， 应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含 归纳提升：函数解析 g(x)的形式. 式的求法 角度3方程组法求函数解析式 (1)待定系裁法：若 例 已知函裁的类型（如 .(1)已知函数f(x)满足f(x)+2f =x,则函数f(x)的解析式为 一次函数、二次函 数)，可用待定系 (2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为 数法 (2)换元法：已知复 [分析] (1)求函数x)的解析式，由已知条件知，必须消去f(), 合函数∫[g(x)]的 解析式，可用换元 不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去∫()得f(x).(2)类似 法，此时要注意新元 的取值范围。 于(1)的思路，利用x与-x的关系，再列一个方程，通过方程组求解. (3)解方程组法：已 [归纳提升] )对点训练3 知(x)与()或 (1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)=3,f(1)= f(-x)之间的关系 3,则f(x)= 式，可根据已知条件 再构造出另外一个等 (2)①已知函数y=x)满足f(-2=x+1.求(x)的解析式， 式组成方程组，通过 解方程组求出f(x). ②已知函数)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=2f()·众-1，求 (4)配凑法：已知复 f(x)的解析式， 合函数f[g(x)]的 解析式，运用整体化 思想，将函戴解析式 右端凑成g(x)的形 式，用x代替g(x) 即可.注意新元的取 值范围，此法多用于 解析式北较简单的情 况 课堂检测固双基 1.已知函数y=f代x)的图象如图，则f(x)的定义2.如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A,B,C 域是 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f[f(2)]= () y↑A -T-FC 1 0123456x A.0 B.2 C.4 D.6 A.(-∞，1)U(1,+0) 3.学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时 B.R 间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是 C.(-0,0)U(0,+0) 下图中的 () D.(-1,0) 060 ↑高度 高度 5.已知函数f(x)=ax+b,且f(-1)=-4,f(2) =5. 时间 时间 求：(1)a,b的值；(2)f(0)的值. 2 1高度 高度 时间 时间 D 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为 xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x 夯基提能作业 的函数关系为 请同学们认真完成练案[18] 第2课时 分段函数 必备知识探新知 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 关键能力攻重难 ●题型一分段函数的求值问题 rx+2(x≤-1)， 例 1. 已知函数f(x)={x2(-1<x<2), 2x(x≥2). 归纳提升：求分段函 数函数值的方法 (1)求f(-4),f(3),f[f(-2)]; (1)先确定要求值的 (2)若f(a)=10,求a的值. 自变量属于娜一段 [分析]分段函数的解析式一求函数值或已知函数值列方程求字母 区间. 的值. (2)然后代入该段的 解析式求值，直到求 出值为止。 当出现f[f(x)]的 形式时，应从内到外 依次求值. [归纳提升] )对点训练1 「x+3(x>10), 已知f(x)= f[fx+5)](x≤10)， 则f(5)的值是 A.24 B.21 C.18 D.16第2课时函数概念（二） 域为(-∞，2]. 3.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3， 必备知识探新知 .-3≤x≤2，故函数f(x+1)的定义域为[-3,2] 知识点a>0a<0 9 14. )=2-x+a=(x-12+a-当xe[1, 关键能力攻重难 ! 例1：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 时)m)=a-分到s-6创)=宁-6+a又 [420,即头：2 解得x<0,且x≠-2. f(x)在[1，b]上的值域为[1，b], Ixl-x≠0，气Ixl≠x, 故原函数的定义域为(-∞，-2)U(-2,0). ! [a-2 =1 3 解得 [a=2 (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 25-b+a=6, b=1(舍去)或b=3. 4-≥0即x≤4， 1x-1≠0,1x≠1. +39 3 .∴.a+b= 故原函数的定义域为(-，1)U(1,4]. 3-x≥0， 2.2 函数的表示法 对点训练1：C要使函数有意义，则 2x2-9x+4≠0， x≤3， 第1课时 函数的表示法 ≠4且x号.得≤3且x 得 2 必备知识探新知 知识点数学表达式表格图象 即函数的定义城为(-，U(分，3列 关键能力攻重难 例2：B由y=-x2+1,x∈[-1,2)，可知当x=2时，y=-4+1例1：(1)列表法： =-3; x(台)12345 67 8910 当x=0时，ymm=1, y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000 因为x≠2，所以函数的值域为(-3,1] (2)图象法：如图所示： 对点训练2：BA中x≥0，所以y≥0；B中x>0,所以y>0;C中 300001元 x≠0，所以y≠0；D中xeR,所以y≥1. 例3：(0(-1，）由-1<2x+1<2,得-1<<2 2x+1)的定义域为(-1，） 3000: 10x/哈 (2)(-1,5)-1<x<2,-1<2x+1<5,fx)的定义 (3)解析法：y=3000x,x∈1,2,3，…，10} 域为(-1,5). 对点训练1：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. (3)(0,6)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义 用解析法可将函数y=fx)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5. 域为(-1,5)， 用列表法可将函数y=f(x)表示为 由-1<x-1<5得0<x<6,fx-1)的定义域为(0,6). 笔记本数x 1 2 34 5 对点训练3：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数 钱数y 10152025 f(x-5)的定义域是[4,10]. 用图象法可将函数y=f(x)表示为如下图. (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 [-1,2]. y 易错警示 25 20 ● 例4：B图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它 15 ● 10 对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应 5. 关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在 012345元 定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和 例2：(1)列表： 它对应，因此不唯一故只有图(2)正确.答案为B. 课堂检测固双基 2 1 2 2 1.CA中，0既是非负数又是非正数：B中，0又是偶数：D中， 2 3 45 自然数也是整数，也是有理数，故选C 当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域 2.C要使函数式有意义，则2-x≥0，即x≤2.所以函数的定义： 为[1,5] 291 例3：(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6设f(x)=ax+b(a≠ 0),ff(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b =ax+ab+b=4x +6, a=4, 于是有 6子女 ab+b=6 所以f孔x)=2x+2或f(x)=-2x-6. (2)f(x)=x2+1设二次函数的解析式为f(x)=a2+bx+c(a ≠0)， rc=1, ra=1, 由题意得 a+b+c=2,解得b=0,故f(x)=x2+1. (2)列表 4a+2b+c=5, c=1, 4 5 例4：(1)fx)=x2-1(x≥1)方法一（换元法）令t=√+1，则 2 2 y 3 2 5 x=(t-1)2,t≥1， 所以f代t)=(t-1)2+2(t-1)=2-1(t≥1)， 当x[2,+0),图象是反比例函数y=2的一部分，观察图 所以函数的解析式为f代x)=x2-1(x≥1). 象可知其值域为(0,1] 方法二（配凑法）f代R+1)=x+2G=x+2+1-1=(+ 1)2-1. 因为+1≥1，所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)fx)=x2-4x+3方法一（换元法）令x+1=t,则x=t -1,t∈R, 所以ft)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x +3. (3)列表 方法二（配凑法）因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3= (x+1)2-4(x+1)+3, 所以fx+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,即f(x)=x2-4x+3. 例5：（山）=音+会x0)在已知等式中，将换城 画图象，图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分 y 得()+2印)=士，与已知方程联立，得 )+2）=, )+2)= 消去)得)+ 1 。,a≠±1在原式中用-x替换，得(-x) b (2)f(x) 01 +f(x)=-bx, 于是得)+-)=， Laf(-x)+f(x)=-bx, 由图可得函数的值域是[-1,8]. 对点训练2：(1)用描点法可以作出函数的图象如图1. 消去f-x),得f(x)=b Γa-1' 故f代x)的解析式为f代x)= a-7,a≠±1. 对点训练3：(1x+名x0)设)=+。.（0，b0) ∫2k+6 =3,k=1, 图1 图2 [k+b=3, {6=2,)=x+2(x≠0. 由图可知y=子+(-1≤x≤)的伯城为[-4,2] （2)0设=-2，则x=+2 1 (2)用描点法可以作出函数的图象如图2. 由图可知y=2(-2≤x≤1，且x≠0)的值域为(-0，-1]U 所以31-#是所以0x*-2》 [2,+o). ②在)=2)G-1中，用代替x, 292 得)=2)·√任-1 (2)由f(x)=1和函数图象综合判断可知，当x∈(-∞，1) 时，得f(x)=-2x+1=1,解得x=0: )=2）-1, 当x∈[1，+o)时，得f(x)=x2-2x=1,解得x=1+万 由 或x=1-2(舍去). 综上可知x的值为0或1+2 得)号反+>0 例3：(1)由题意，当0≤x≤450时， 课堂检测固双基 fs)=(320-2-1500-20s=300x-22-150 1.C由图象，知x≠0，即xe(-∞，0)U(0,+0) 当x>450时f(x)=45000-20x-15000=30000-20x. 2.C由图象可得f孔f2)]=f0)=4. 3.A根据题意，易知A符合 f(x)= [30x-72-1500.0≤x≤450seN. 4y-50(x>0)由梯形的面积公式有100=x+3x·, 30000-20x,x>450,xeN. 2 1 得y-50(x>0). (2)当x=300时300)=-7×3002+300×300-15000= 5(1)由-1)=-4 得-0+6=-4， 30000; Lf2)=5, 2a+b=5. 当x=600时，f600)=30000-20×600=18000. 解得a=3,b=-1. 即月产量分别为300个，600个时的利润分别为30000元， (2)由(1)知f(x)=3x-1,所以f(0)=-1. 18000元. 对点训练3：(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30]，g(x) 第2课时分段函数 r90,x∈[12,20]， 关键能力攻重难 ={2x+50,xe(20,30] 例1：(1)f代-4)=-4+2=-2， (2)①12≤x≤20时，6x=90,解得x=15, f(3)=2×3=6,f(-2)=-2+2=0, 即当12≤x<15时，fx)<g(x), fLf(-2)]=f0)=02=0. 当x=15时f(x)=g(x), (2)当a≤-1时，a+2=10,可得a=8,不符合题意； 当15<x≤20时f(x)>g(x). 当-1<a<2时，a2=10,可得a=±√0，不符合题意； ②当20<x≤30时f(x)>g(x), 当a≥2时，2a=10,可得a=5,符合题意： 故当12≤x<15时，选A家俱乐部合算。 综上可知，a=5. 当x=15时，两家俱乐部一样合算，当15<x≤30时，选B家 对点训练1：Af(5)=f兀f10)],f10)=f兀f(15)]=f18)= 俱乐部合算。 21,f5)=f(21)-24. 易错警示 例2：(1)当0≤≤2时(x)=1+2=1: 例4：函数f(x)的定义域为(-0,0)U[0,+∞)，即(-0，+∞)， .函数fx)的定义域为(-o,+0) 当-2<x<0时)=1+二x-x=1-x 课堂检测固双基 r1(0≤x≤2)， 1.Cf(2)=f1)+3=3f3)=f2)+3=f1)+6=6. 所以fx)= 11-x(-2<x<0). r2x+3,x≤1， (2)函数f代x)的图象如图所示. 2.A因为)={x-4,>1, y 则f0)=3ff0)]=f3)=3-4=-1. 3.D作出y=f代x)的图象，如图所示.由图象知，f(x)的值域是 [0,2]U{3},故选D. y 2 0 (3)由(2)知，f代x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 对点训练2：(1)函数图象如图所示 01234 42)2×2-3=-2 4 f-2)=2×(-2)+3=-1, 】=f-2)=-1 -293-