2.2.1 第1课时函数概念(一)-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

(4)当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实数根， 因为(x+y)(x-y)=x2-y2=0,所以y2=x2,所以任一非零 若关于x的方程m2+2x+1=0有两个实数解时， 实数x都有两个y与之对应，(x+y)(x-y)=0不能表示“y 「m≠0， 是x的函数.” 4=4-4m≥0， 解得m≤1且m≠0，所以p是q的必要不充分 对点训练2：CA是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依 条件 赖关系。 例7：B当x=0时，x2+2=2是偶数，故A错误，B正确： 例3：C对于A,因为平均速度为子=7kh,放A不正确对 因为“了x∈Z,使x2+2为偶数”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“HxeZ,x2+2是奇数”， 于B,前20分钟的速度为易-子km/m血，后半小时的速度为 故C、D错误 21 例8：(1)由题意得关于x的方程mx2-4x+2=0无实数根，当m 品=古kr/nin,因为好>5故B不正确，C正，确而D显然 =0时，x=7,有实数根，不符合题意：当m≠0时，由已知得 不正确 对点训练3：(1)C由依赖关系及函数关系的定义知A,B正 4=16-4×2m<0, 解得m>2,所以B={mlm>2} 确；对于C,D,如m=n2,则n=±√m,不是函数关系，故C错 (2)因为A={xl3a<x<a+2}为非空集合， 误，D正确 所以a+2>3a,所以a<1, (2)D对于A,由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃 若x∈A是x∈B的充分不必要条件， 油效率大于5km/L,所以当速度大于40km/h时，消耗1升 汽油，乙车的行驶距离大于5km,故A错误：对于B,由图象可 2 则AB,所以3a≥2，解得a≥3， 知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消 所以实数a的取值范围是[子，) 耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同 路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C,由图 第二章函数 象可知当速度为80k/h时，甲车的燃油效率为10km/L,即 甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km, 燃油为8升，故C错误：对于D,由图象可知当速度小于 §1 生活中的变量关系 80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙 必备知识探新知 车比用乙车更省油，故D正确 知识点1每一个唯一确定 课堂检测固双基 关键能力攻重难 1.CA、B、D是依赖关系，对C,W是关于t的函数. 例1：①中，圆的面积S与半径r之间存在S=㎡2的关系； 2.A小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系. ②中，在速度不变的情况下，行驶路程：与行驶时间t之间存3.(1)甲由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12s, 在正比例关系； ,! 12.5s.故甲先到达终点； ③中，两个变量不存在依赖关系 100 (2)8z=125=8(m/s), 角形的面积S与其边长a之间存在5=只0的关系，4.①3④由已知关系判断得，①3④中关系不确定 综上①②④中两个变量间都存在依赖关系。 数关系，只有②是函数关系 对点训练1：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系； 5.观察图象可知： (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，是依赖关系； (1)全天最高气温大约是9℃，在14时达到.全天最低气温大 (3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成 约是-2℃，在4时达到 绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同 (2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃ 学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩 (3)在8时到22时之间，气温在0℃以上. 之间存在依赖关系. (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降.对于时间 综上所述，(1)(2)(3)均存在依赖关系. t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时 例2：(1)ABC对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租 间t的函数， 车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价 §2函数 等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售 总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁 2.1函数概念 块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁 块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有 第1课时函数概念（一） 些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而 异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系 必备知识探新知 (2)D根据函数的定义，每个x都有唯一的y和它对应，从而 知识点11.唯一确定的数y3.f(x)Ix∈A 判断选项A,B,C都表示“y是x的函数”； 知识点2定义域对应关系 -289 关键能力攻重难 又f1)=0f1)）+2 十·十 f10=-9. 例1：(1)B对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x2,显然对 任x∈A,y值不唯一，故不符合.对于B项，符合函数的定义. 例3：{xl-2≤x≤4或5≤x≤8}{yl-4≤y≤3}根据y= 对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数，故不 f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{xl-2≤x≤4或 符合.对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的 5≤x≤8}，值域为{yl-4≤y≤3} 数，故不符合 例4：D (2)C由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的 因为∈x≤1，所以2）=1， 图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x 则10)=10，所以101分)》=10)。 的函数 对点训练1：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到 又因为10e{xlx≥2}，所以f10)=3. B的函数， r1,x>0, (2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y= 对点训练3：(1)D根据函数的解析式y= 0,x=0, x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数2与之对应，故是 l-1,x<0, 集合A到集合B的函数： 在x∈xlx>0时，函数值为1，在x=0时，函数值为0，在x∈ (3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素， xlx<0}时，函数值为-1，故函数的值域为-1,0,1}. 故此对应不是A到B的函数 (2)1,3}根据题意，若方程g[f(x)]=3,必有f代x)=1,则 (4)对于集合A中每一个实数x,按照对应关系f:xy=0,在 有x=1或3，即方程g[f代x)]=3的解集为{1,3}. 集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集例5：(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对 合B的函数. 应1，但是它们的定义域不同，y=的定义域是xx≠0，而 例2：(1)：fx)=1+x y=1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数 221 2 3 3 (2)对应关系不相同，y=√=Ix= 「x(x≥0)，的定义域为 -x(x<0) 1 3,f3)=13 4 R,y=x的定义域也是R,但当x<0时，对应关系不同，故两个 函数不是同一个函数 +14 (3)函数y=+·-的定义域为使+1≥0， 成立的 L1-x≥0 (2)由(1)知， x的集合，即{x-1≤x≤1}.在此条件下，函数解析式写为y 2)+2)=13)+(3)=1. =√-x,而y=√个-x的定义域也是{x-1≤x≤1}，由于 这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是 1 同一个函数 对点训练4：D对于A,g(x)=√=Ixl,与f(x)的解析式不 同；对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{xlx≠1}；对 于C,fx)的定义域为xlx≠-3}，g(x)的定义域为R;对于 f(2)+f(3)+…+f(2024)+f(2）+f(分）+ D,f(x)==1(x>0),g()=是=1(x>0),解析式与定义 +2024) 域都相同，故f代x)与g(x)表示同一函数. 课堂检测固双基 =f2)+)+f3)+号)++2024)+202) :1.D由函数的定义知A,B,C是函数，故选D. 2.B由f代1)=-2得a+b=-2, 2023 由f代-1)=0得-a+b=0, x2-1x2-1 对点训练2：-9 fx)-x2+1-x2+1 =-1, f2)f3) a=-1,b=-1,故选B. 3.C若函数y=fx)定义域包括x=2024,则有一个公共点，若 函数y=f(x)的定义域不包括2024，则没有公共点，故选C. 2+1 =.=f10) 4方或2由0-2得=2， -1 ) a=2或2 290050 §己函数 2.1函数概念 课标要求 核心素养 函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行 1.通过丰富实例，学习用集合与对应的语言 抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对 来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概 应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函 念中的作用. 数的概念例如，学生可以从已知的、基于变量关 2.了解构成函数的三要素. 系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构 3.理解同一个函数的概念。 建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的 4.能判断两个函数是否是同一个函数. 必要性，感悟数学抽象的层次培养学生数学抽 象、逻辑推理的核心素养 第1课时 函数概念（一） 必备知识 探新知 知识点1函数 3.定义域：x的取值范围A;值域：与x的值 1.定义：给定实数集R中的两个非空数集A对应的y值叫作函数值，即集合 和B.如果存在一个对应关系f,使对于集合A中 知识点2同一个函数 的每个数x,在集合B中都有 和 相同 它对应，那么就把对应关系∫称为定义在集合A 前提条件 完全一致 上的一个函数 结论 2.记法：y=f(x),x∈A. 这两个函数是同一个函数 关键能力 攻重难 题型一 函数概念 例 1.(1)下列对应关系式中是A到B的函数的是 A.A∈R,B∈R,x2+y2=1 B.A=1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图 C.A=R,B=R,f:xy= -x-2 D.A=Z,B=Z,f:xy=2x-1 051 (2)设M={xl-2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函数y=f(x)的定义域为M,值归纳提升： 域为N,对于下列四个图象，不可作为函数y=代x)的图象的是()1.判断一个对应关系 是否是函数，要从以 下三个方面去判断， 即A,B女须是非空 -202 -20 裁集：A中任何一个 D 元素在B中女须有元 [分析](1)如何利用函数定义.对于集合A中的元素通过对应关系在 素与其对应：A中任 集合B中有唯一元素与之对应进行判断 一元素在B中必有唯 一元素与其对应. (2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系.[归纳提升] 2.函数的定义中“任 》对点训练1 一x”与“有唯一确 下列对应是否为A到B的函数： 定的y”说明函数中 (1)A=R,B=xlx>0f:xy=Ixl; 两变量x,y的对应关 (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x; 系是“一对一“或者 (3)A=Z,B=Z,f:xy=; 是“多对一“而不能 是“一对多”· (4)A=[-1,1],B={0,f:x→y=0. ●题型二求函数值 例2.已知)=1年eR (1)求2)(3)（兮）的值： (2)求f2)+3)+…+204)+f(2）+f(兮）+…+f(2024的值 [分析1①)将=273，代入)=1+计算呵可： (2)由(1)中求得2)，（分）3)，（兮）的值可得2）+/()与 f(3)+f的值是定值这一规律，再求得(2)+f(3)+…+ 2024)+/()+/(兮)+…+(202的值 归纳提升： 解题时要注意审題 ·[归纳提升]观察分析、发现规律， 052 】对点训练2 已知函数f)=,则f1)+K2）++f10 x2+11 2 ●题型三函数的三要素 角度1定义域和值域 列 3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 ,值 域为 角度2对应关系 4.德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总 归纳提升： 关于函数的三要素 有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地 (1)函数的定义域即 说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个 集合A,在坐标系中 值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公 是横坐标x的取值 式、图象、表格还是其他形式，已知函数)由表给出，则(0f()】 范围， (2)函数的值域并不是 的值为 集合B,是函数值的集 x≤1 1<x<2 x≥2 合{f(x)Ix∈A},在坐 标系中是纵坐标的取值 f(x) 1 2 3 范围. A.0 B.1 C.2 D.3 (3)函数的对应关系 [归纳提升] ∫反映了自变量x的运 算、对应方法，通过 对点训练3 这种运算对应得到难 r1,x>0, 一的函数值y (1)函数y=f(x)=0,x=0,的值域是 -1,x<0 A.R B.{yl-1≤y≤1} C.{-1,1 D.{-1,0,1 (2)已知函数f(x),g(x)分别由表给出 1 2 3 f(x) 1 3 g(x) 3 2 则方程g[f(x)]=3的解集为 ●053 ●题型四 同一函数 例5判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？ (1)y=x与y=1: (2)y=√R与y=x; (3)y=x+1·√-x与y=√1-. [分析]判断两个函数是否是同一个函数，只需看这两个函数的定 归纳提升：判断两个 义域和对应关系是否完全一致即可. 函数f(x)和g(x)是 不是同一函数的方法 与步骤 （1)先看定义域，若 定义战不同，则两函 数不同.(2)再看对 应关系，若对应关系 不同，则不是同一函 数.(3)若对应关系 相同，且定义域也相 同，则是同一函裁 [归纳提升] 》对点训练4 f(x)与g(x)表示同一函数的是 ( A.fx)=x2,g(x)=√ B.f(x)=1,g(x)=(x-1)0 C.R(x)=-9 x+3,8(x）=x-3 D.fx)=（E) ,g(x)= ()2 课堂检测 固双基 1.下列图形中，不能确定y是x的函数的是 2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=-2,f(-1)= 0,则 () A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=-1 3 C.a=-1,b=1 D.a=1,b=1 3.函数y=f(x)的图象与直线x=2024的公共 ● 0 3 点有 () A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.以上答案都不对 4若x)-且a)=2则a 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[16]