1.1.3 第1课时交集与并集-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

例2：由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=A∩BA∩B={xlxEA,且xeB2.B∩ABA☑ 0,则方程的根为x=-4或x=-1或x=4. 知识点21.所有属于集合A或属于集合B AUB AUB 故集合A={-4,-1,4},由0个元素构成的子集为：☑ ={xIx∈A,或x∈B}2.BUA A BA A 由1个元素构成的子集为：{-4}，{-1}，4}. 关键能力攻重难 由2个元素构成的子集为：{-4，-1}，{-4,4，{-1,4. 例1：(1)BN=xlx2=x=0,1},.MnW={0,1},故选B. 由3个元素构成的子集为：-4，-1,4}. (2)D将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B={x1- 因此集合A的子集为：☑，-4，{-1}，4}，-4，-1}， 2≤x<-1},故选D. {-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}. 真子集为：☑，1-4}，{-1}，4}，{-4，-1}，-4,43,1-1,4. 对点训练2：B由题意知，集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d. 例3：(1)因为B二A, 3 当B=时，m+1≤2m-1,解得m≥2 (3){(1,2)}AnB=(x,y)14x+y=6}n{(x,y)13x+2y r-3≤2m-1, (2)当B≠☑时，有{m+1≤4， 1r4x+y=6={(1,2) =7={,3x+2=7月 2m-1<m+1, 对点训练1：(1)A:A={1,2,3,4},B={yly=2x-1,xeA}, 解得-1≤m<2.综上得m≥-1. .B={1,3,5,7}, 对点训练3：(1)1因为BCA,所以m2=2m-1, .AnB=1,3},故选A, 即(m-1)2=0,所以m=1.当m=1时，A={-1,3,1},B=3,1}, (2)D:AnB=1}, 满足BCA,故m=1. .1∈B (2)当B=☑时，只需2a>a+3,即a>3; .1是方程x2-4x+m=0的根， 当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴， .1-4+m=0,∴.m=3. .B=xlx2-4x+3=0}=x1(x-1)(x-3)=0}=1,3. -142aa+3文 例2：(1)AUB=1,2,3}U2,3,4,5}=1,2,3,4,5. 可得0+3≥2a 或a+3≥2u解得a<-4或2<a≤3. (2)画出数轴如图所示： la+3<-1l2a>4, 综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2. 256主 易错警示 例4：D因为BCA,所以当B≠☑，即a≠0时，B= .AUB={xI-3<x≤5}Uxl2<x≤6}={xl-3<x≤6}. 对点训练2：(1){0,1,2,3,4,5}AUB={0,2,4}U{0,1,2,3, {=-}因此有-亡eA所以a=: 5}={0,1,2,3,4,5. 当B=☑，即a=0时满足条件. (2){xIx>-2} 画出数轴如图所示，故AUB=xx> 综上可得实数a的所有可能取值的集合是{-1,0,1.故 -2}. 选D. 课堂检测固双基 A -2-10 1.CM={菱形}，N=正方形}，∴集合N的元素一定是集 合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素， 例3：(1){tt≤2} 由MUW=M得NCM,当N=O时，2t+1≤ ..NCM. 2-t,即t≤3，此时MUW=M成立. 2.B方程x2+1=0无实数解，.集合{xeR|x2+1=0}为空 ,2-t<2t+1, 集，故选B. 当N≠☑时，由数轴可得2t+1≤5， 3.D由数轴可知，P早Q.选D. 2-t≥-2， D 解得1 <t≤2 0 MN☐ 4.CA={x10≤x<3且x∈Z}=0,1,2},∴.集合A的真子集 -22-12+1 个数为7，故选C. 综上可知，实数t的取值范围是{tt≤2}. 5.②由N={-1,0},知NM. (2)由x2-2x=0,得x=0或x=2..A={0,2. 1.3集合的基本运算 ①.A∩B=B,.BCA,B=),{0},2},{0,2}. 当B=0时，△=4a2-4(a2-a)=4a<0,.a<0: 第1课时交集与并集 当B=0时4=4=0， 「a-a=0, .a=0: 必备知识探新知 知识点11.既属于集合A又属于集合B的所有元素 当B=2}时， 4-4a+d2-a=0无解： 14=4a=0, 279 2a=2, 当B=0,2}时， △=4a>0,得a=1. -3 la2-a=0, 由补集的定义可知CA={xx<-3,或x=5} 综上所述，得a的取值范围是{ala=1或a≤0. ②.AUB=B,∴.ACB 对点训练1：(1)B由题意知集合A={x ENIx2≥5}，则C,A= ·A=0,2},而B中方程至多有两个根， x∈NI2≤x<5}=2},故选B. .∴.A=B,由①知a=1. (2)2:AU(CA)=U,且An(CA)=☑， 对点训练3：(1)由题意得M=2, .A={xl1≤x<2},a=2. 当m=2时，N={xlx2-3x+2=0}={1,2}, 例2：如图 .M∩N={2},MUN=1,2}. C (2).M∩N=M,.MCN,.M=2},∴.2eN, A ∴.2是关于x的方程x2-3x+m=0的解， -3-2-101234x 即4-6+m=0,解得m=2. 由图可得CA=xlx≤-2，或3≤x≤4}.如图， 易错警示 例4：{ala<1或a>3}.AUB=A,.B二A. U ①当B≠2时，有0>3，或2a-1<-2 ⊙ 解得a>3 la≤2a-1la≤2a-1, -3-2-101234x ②当B=⑦时，由a>2a-1,得a<1. --- 由图可得CB={xlx<-3,或2<x≤4}.如图， 综上可知，实数a的取值范围是{aIa<1或a>3},故填 {ala<1或a>3}. 课堂检测固双基 -3-2-101234x 1.B集合A={1,2},B={2,3},则AUB={1,2,3} 由图可得A∩B=xI-2<x≤2}， 2.CAnB={xlx<1}∩{xl-2<x<2}={xl-2<x<1},故 .(CA)UB=xlx≤2或3≤x≤4}， 选C. A∩(CB)={xI2<x<3}. 3.C图中阴影表示AUB,又因为A=2,4,6},B={1,3,6},所 对点训练2：(1){1,2,3}CB={2,AU(CB)={1,2,3 以AUB={1,2,3,4,6},故选C. (2)BU=R,B=xlx>1},CB={xlx≤1.又A= 4.B利用数轴画图解题， Ixlx >0,..An(CB)=0<x1. B A 例3：因为全集U=R,集合A={xlx≤1或x≥3}， 所以CA=xl1<x<3}, a 因为集合B={xlk<x<2k+1},(CA)nB=☑， 要使AUB=R,则实数a≤1，故选B. 所以分以下两种情况讨论： 5.(1)由m=1,得A=xl-1<x<2}, (1)若B=),则k≥2k+1,解得k≤-1； .AUB={xl-1<x<5} (2).A∩B=A,.A二B.显然A≠). （2若8≠.则+安21架得3或-1 k≥3 2k+1≤1， 故有巴5 k≤0. 解得3≤m≤4. 由(1)(2)可知，实数k的取值范围是k≤0或k≥3. .实数m的取值范围为[3,4]. 9 对点训练3：{0a≥8或a=0}假设集合4中含有2个元素， 第2课时全集与补集 即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根，则 必备知识探新知 知识点1(1)子集 a=9-8a>0.解得a<号且a≠0，则此时实数a的取值范 ∫a≠0， 知识点2子集A二U不属于ACA={xxeU,且x生A} 围是{aa<名且a≠0}在全集U=k中， 知识点3U☑A 关键能力攻重难 集合{a<号且a≠0的补集是{o≥或a=0 例1：(1)2,3,5,7}A=1,3,5,7},CA={2,4,6}, .0={1,2,3,4,5,6,7}. 所u满足题i的实数a的陬伯足(aa≥令或a=-0 又CB={1,4,6}B=2,3,5,7} 易错警示 (2){xlx<-3,或x=5}将全集U和集合A分别表示在数！例4：若BUA=A,则B二A..A={xIx-2x-8=0}={-2,4}, 轴上，如图所示 .集合B有以下三种情况： -280011 1.3集合的基本运算 课标要求 核心素养 1.能从教材实例中抽象出两个集合并集和交 1.在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问 集、全集和补集的含义， 题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等 2.能用Venn图表示两个集合的并集和交集、 概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的 全集和补集 理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确 或现实生活中的实际情境为载体创设相关问 进行集合的并集、交集与补集运算， 题，帮助理解，培养学生数学抽象的核心素养 4.能根据两个集合的运算结果求参数的取值2.要注意结合实例，运用数轴、Ven图等表示集合 范围. 进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的 5.会用Venn图、数轴解决集合综合运算 运算问题，培养学生逻辑推理，数学运算等核心 问题 素养 第1课时 交集与并集 必备知识探新知 知识点1交集 知识点2并集 1.定义 1.定义 一般地，由 组成 自然 般地，由 的集合，叫作集合A与B的交集，记作 自然 的 语言 语言 元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作 (读作“A交B”)》 (读作“A并B”). 符号 语言 符号 语言 (1)A与B相交 (2)A与B相离 A ()B (有公共元素， (没有公共元 (1)A与B有公共元 (2)A与B没有公共元素 图形 相互不包含) 素，A∩B=⑦) 素，相互不包含 图形 语言 B 语言 A A(B B (AOB A AA∩BB A(B) AnB (3)A军B (4)BA (5)A=B 说明：由上述五个图形可知，无论集合A,B是何种 (3)AB, (4)BA, (5)A=B, 则A∩B=A 则A∩B=B 关系，AUB恒有意义，图中阴影部分表示并集， A∩B=B=A 2.并集的性质 2.交集的性质 对于任何集合A,B,有AUB= 对于任何集合A,B,有A∩B= C(AUB), C(AUB),AUA= (A∩B)二A,(A∩B)C,A∩A= AU⑦= An⑦=. 012 关键能力 攻重难 归纳提升：求集合A∩B ● 题型一交集运算 的方法与步骤 (1)步骤 例 1.(1)设集合M={-1,0,1},N={xlx2=x则M∩N= ①首先要搞清集合A,B A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0 的代表元素是什么. (2)若集合A={x1-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4},则集合 ②把所求交集的集合用集 A∩B= 合符号表示出来，写成 A.{xx≤3或x>4} B.{x|-1<x≤3 “A∩B”的形式 C.{xl3≤x<4 D.{xl-2≤x<-1 ③把化筒后的集合A,B (3)已知A={(x,y)14x+y=6},B={(x,y)13x+2y=7},则A∩B 的所有公共元素都写出来 即可（若无公共元素则所 [分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集.(2)借助数 求交集为0). 轴求A∩B.(3)集合A和B的元素是有序实数对(x,y),A、B的交集 (2)方法 ①若A,B的代表元素 即为方程组 4x+y=6,的解集， P[归纳提升] 是方程的根，则应先解 3x+2y=7 方程，求出方程的根 》对点训练1 后，再求两集合的交集； (1)设集合A={1,2,3,4},B={yly=2x-1,x∈A},则A∩B= 若集合的代表元素是有 A.{1,3 B.2,4} 序裁对，则A∩B是指 C.{2,4,5,7} D.{1,2,3,4,5,7 两个方程组成的方程组 (2)设集合A={1,2,4},B={x1x2-4x+m=0},若A∩B={1},则集合 的解集，解集是点集 B= ②若A,B是无限裁集， A.{-3,1} B.{0,1} C.{1,5} D.{1,3 可以利用裁轴来求解.但 要注意，利用裁轴表示不 ●题型二并集运算 等式时，含有端点的值用 列2.(1)设集合1=1,2,3，B=23,4,5,求AUB: 实心点表示，不含有端点 (2)设集合A={x|-3<x≤5}，B={x2<x≤6}，求AUB 的值用空心点表示 [分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便， 归纳提升：并集运算应注 意的问题 (1)对于描迷法给出的 集合，应先看集合的代 表元素是什么，弄清是 数集，还是点集…， 然后将集合化简，再按 定义求解 (2)求两个集合的并集 时要注意利用集合元素 的互异性这一属性，重 复的元素只能算一个 (3)对于元素个裁无限 [归纳提升] 的集合进行并集运算 时，可借助裁轴，利用 】对点训练2 数轴分析法求解，但要 (1)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则AUB= 注意端点的值能否取到. (2)若集合A={xlx>-1},B={xl-2<x<2,则AUB= ●013 ●题型三集合的交集、并集性质的应用 归纳提升： 例3.()设集合M=x1-2<x<5,N-x2-1<<21+1,1ER1,若 利用交、并集运算求 参数的思路 MUN=M,则实数t的取值范围为 (1)涉及A∩B=B (2)设A={x|x2-2x=0,B={xlx2-2ax+a2-a=0}. 或AUB=A的问题， ①若A∩B=B,求a的取值范围； 可利用集合的运算性 ②若AUB=B,求a的取值 质，转化为相关集合 [分析](1)把MUN=M转化为NCM,利用数轴表示出两个集合， 之间的关系求解，要 建立端点间的不等关系式求解. 注意空集的特殊性。 (2)先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和AUB=B,转化为 (2)将集合中的运算 集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围. 关系转化为两个集合 之间的关系.若集合 中的元素能一一列 举，则可用观察法得 到不同集合中元素之 间的关系，要注意集 合中元素的互异性： 与不等式有关的集 [归纳提升]合，则可利用数轴得 】对点训练3 到不同集合之间的关 系 已知集合M={x2x-4=0},集合N={xlx2-3x+m=0}. (1)当m=2时，求MnN,MUN; (2)当M∩N=M时，求实数m的值. ●易错警示 忽视空集的特殊性 例 .已知A={x∈R|x<-2或x>3},B={x∈R|a≤x≤2a-1},若AUB =A,则实数a的取值范围为 [错解]AUB=A,∴.BCA, 从而有>3，，或 a≤2a-1a≤2a-1解得a>3. 故实数a的取值范围是a>3. [辨析]由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A,都有AU⑦ =A,所以错解忽略了B=⑦时的情况 [点评]⑦有两个独特的性质：(1)对于任意集合A,皆有A∩☑= ⑦；(2)对于任意集合A,皆有AU⑦=A,因此，如果A∩B=⑦，就要 考虑集合A或B可能是⑦，如果AUB=A,就要考虑集合B可能是). 014 课堂检测 固双基 1.设集合A={x∈N*|-1≤x≤2}，B=2,3}, <5. 则AUB= () (1)若m=1,求AUB; A.{-1,0,1,2,3 B.{1,2,3 (2)若A∩B=A,求实数m的取值范围. C.{-1,2 D.{-1,3 2.已知集合A={x|x<1},B={x1-2<x<2}, 则A∩B= () A.{x|x<1} B.{xl1<x<2} C.{xl-2<x<1} D.{xl-2<x<2 3.设集合A={2,4,6},B={1,3,6},则如图中阴 影部分表示的集合是 A.{2,4,6 B.{1,3,6 C.{1,2,3,4,6} D.{6 4.已知集合A=(-0,1],B=[a,+∞)，AUB =R,则实数a的取值范围为 A.（-∞，1) B.(-∞，1] 夯基提能作业 C.（1,+∞) D.[1,+∞) 请同学们认真完成练案[4] 5.已知集合A={xm-2<x<m+1},B={x11<x 第2课时 全集与补集 必备知识探新知 知识点1全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的 ,这个给定的集合叫作 全集 (2)表示方法：常用符号U表示. 知识点2补集 设U是全集，A是U的一个（即 ),则由U中所有 文字语言 的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集 符号语言 A 图形语言 知识点3补集的性质 对任何集合A,有AU(C,A)=,An(CA)=,Cu(CuA)=