2.2.2 函数的表示法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 2.2　函数的表示法 (教师独具内容) 课程标准：1.了解函数的三种表示方法：图象法、列表法、解析法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 教学重点：1.函数的三种表示方法.2.根据条件求函数解析式． 教学难点：1.在实际情境中，恰当选择函数的表示方法.2.求函数的解析式． 知识点　函数的表示法 函数的表示方法通常有解析法、列表法、图象法．如果一个函数能用解析法表示出来，也就能较便利地利用代数工具研究其性质．在实际中，一些非常明确的函数关系很难找到它的解析式． 列表法直接通过表格读数，不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值，非常直观．但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系．若自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系． 图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律，但很难由图象得到每个自变量取值对应的精确函数值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　) (2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．(　　) (3)函数的图象可以是一条水平直线．(　　) (4)分段函数分几段，其图象就有相应的几段．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)已知函数f(x)的对应关系如表所示，则f(f(0))＝________． x －1 0 1 f(x) 2 1 2 (3)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________． 答案：(1)f(x)＝x　(2)2　(3)[－1，0)∪(0，2]　[－1，1) 题型一　作函数的图象 　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． [解]　(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0，1]． 　 (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1，8]． 【感悟提升】　常见函数图象的画法技巧 (1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得． (2)对于二次函数的图象，描出与对称轴对称的两个点、顶点，连线即得． (3)所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点． 【跟踪训练】 1．作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y＝； (2)y＝|x2－1|. 解：(1)因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把图象向左平移1个单位长度得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数y＝的图象，如图1所示． 由图可知函数值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (2)先作出y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图2所示．由图可知函数值域为[0，＋∞)． 题型二　判断图形是否为函数图象 　设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数． [答案]　C 【感悟提升】　判断一个图形是否为函数图象的方法：过x轴上任一点作垂线与图象相交，若只有唯一的交点，则图象是函数图象，否则就不是函数图象． 【跟踪训练】 2．下列各图中，可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　) 答案：D 解析：A，B中的图象与y轴有两个交点，即有两个y值与x＝0对应，所以A，B不可能是函数y＝f(x)的图象；对于C中图象，过x＝1作与x轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C不可能是函数y＝f(x)的图象．故选D. 题型三　求函数的解析式 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式． [解]　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴ 解得或 ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)的解析式． [解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5. 比较系数，得解得 ∴f(x)＝x2－4x＋8. 【感悟提升】　待定系数法求函数解析式的步骤 (1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回所设解析式． 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式． 解：由g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，设g(x)＝ax＋b(a>0)， ∵f(g(x))＝4x2－20x＋25， ∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25， 即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25， 从而a2＝4，2ab＝－20，b2＝25， 解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R)． (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意，得解得 故f(x)＝x2＋1. 　已知函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)的解析式． [解]　解法一：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 解法二：(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 【感悟提升】　 (1)换元法：令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可．(注意t的取值范围) (2)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．(注意g(x)的取值范围) 【跟踪训练】 4．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 解：解法一：(配凑法) ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二：(换元法) 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 　已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f＝x，求函数y＝f(x)的解析式． [解]　在已知等式中，将x换成， 得f＋2f(x)＝，与已知方程联立， 得 解得f(x)＝－＋. 【感悟提升】　若所给的解析式中含有f(x)与f或f(x)与f(－x)，则将式子中的x用或－x代替，得到另一个方程，将这个方程与前一方程联立得方程组，通过解方程组即可求得f(x)的解析式．类似地，若给出的解析式中含有f(x)与f(a－x)，则式子中的x用a－x代替，也能够用上面的方法求f(x)的解析式． 【跟踪训练】 5．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解：将f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替换，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.于是得到关于f(x)，f(－x)的方程组 解得f(x)＝x2－2x. 1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B 解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2. 2．下列图象是函数f(x)＝x|x|的图象的是(　　) 答案：D 解析：∵f(x)＝分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可． 3．(多选)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16 C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1 答案：BD 解析：当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A错误；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B正确；令t＝2x＋1，则x＝，因此f(t)＝4×＝t2－2t＋1，所以f(x)＝x2－2x＋1，所以D正确，C错误，故选BD. 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝________，f(x)的值域是________． 答案：2　[0，4] 解析：∵f(2)＝0，∴f(f(2))＝f(0)＝4， ∴f(f(f(2)))＝f(4)＝2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]． 5．画出函数y＝的图象，并根据图象指出函数的值域． 解：由题意，得 y＝ 作出函数的图象如图所示．根据图象可知函数的值域为{y|y∈R且y≠±1}． 课后课时精练 一、选择题 1．(多选)下列图形是函数图象的是(　　) 答案：BCD 解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义． 2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是(　　) 答案：A 解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，排除D；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，排除C；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，排除B.故选A. 3．已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2 C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3 答案：B 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1， 所以即所以所以f(x)＝3x－2. 4．如图所示，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则面积S关于t的函数图象大致是(　　) 答案：C 解析：当0≤t≤时，S(t)＝×t×2t＝t2；当<t≤时，S(t)＝1－×(－t)×2(－t)＝－(t－)2＋1.结合选项可知，C正确． 5．(多选)一个水池有2个进水口，1个出水口，进水量、出水量与时间的关系分别如图1，2所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图3所示(至少打开一个水口)．则(　　) A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．4点到6点不进水不出水 D．3点时，水池内水量最高 答案：AD 解析：由题意可知在0点到3点这段时间内，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；从题图3可知3点到4点蓄水量减少了1，所以有1个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误；由至少打开一个水口，可得当2个进水口同时进水，出水口也同时出水时，蓄水量保持不变，故C错误；易知D正确． 二、填空题 6．观察数表： x －3 －2 －1 1 2 3 f(x) 4 1 －1 －3 3 5 g(x) 1 4 2 3 －2 －4 则f(g(3)－f(－1))＝________． 答案：4 解析：由数表，可得g(3)＝－4，f(－1)＝－1，∴g(3)－f(－1)＝－3，∴f(g(3)－f(－1))＝f(－3)＝4. 7．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________． 答案： 解析：令x＝2得2f(2)＋f＝，令x＝得2f＋f(2)＝，消去f得f(2)＝. 8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝ 其中满足“倒负”变换的函数是________． 答案：①③ 解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换； 对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换； 对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足“倒负”变换． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 三、解答题 9．求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)． 解：(1)解法一：(替换法) 在f(x＋1)＝x2－3x＋2中，把x换成x－1，得 f(x)＝(x－1)2－3(x－1)＋2＝x2－2x＋1－3x＋3＋2＝x2－5x＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. 解法二：(配凑法) ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 解法三：(换元法) 令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. (2)解法一：(配凑法) ∵f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3， 而－1≥－1， 所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 解法二：(换元法) 令t＝－1，则＝t＋1，x＝(t＋1)2， 且t≥－1. ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3， 即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 10．已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. ∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 11.如图所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从B点开始沿着折线BC，CD，DA前进至A，若P运动路程为x，△PAB的面积为y. (1)写出y＝f(x)的解析式并求出函数的定义域； (2)画出函数的图象并求出函数的值域． 解：(1)①当P在BC上运动时， 易知∠B＝60°， 故△PAB的高h＝PB·sin60°＝x， 所以y＝×10×x＝x(0≤x≤4)． ②当P在CD上运动时，y＝×10×2＝10(4<x≤10)． ③当P在DA上运动时， y＝×10×(14－x)＝－x＋35(10<x≤14)． 综上所述，函数的关系式为 y＝f(x)＝ (2)函数y＝f(x)的图象如图． 由图象知f(x)的值域为[0，10]． 12．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域； (2)解不等式f(x)>0； (3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围． 解：若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0， f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4； 若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0， f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2； 若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4. ∴f(x)＝ (1)－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4. ∴f(x)的值域为[－4，4)∪{4}∪{－4}＝[－4，4]． (2)f(x)>0，即① 或② 或③ 解①得x≤－1，解②得－1<x<1， 解③得x∈∅. ∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1，1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f(x)的图象如下： 由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$