2.1 生活中的变量关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

●047 第二章 函数 §1生活中的变量关系 课标要求 核心素养 通过实例，进一步体会函数是描述变量之 1.结合教材实例会判断变量之间是否是函数关系： 间的依赖关系的重要数学模型，在此基础 2.结合教材实例了解分段函数的概念。 上学习用集合语言与对应关系来刻画函 3.结合教材实例理解函数为刻画变量之间依赖关系 数.培养学生数学抽象，逻辑推理的核心 的数学语言和工具。 素养 必备知识 探新知 知识点1函数关系 知识点2分段函数 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y,对 0.4883x,0≤x≤240， 于变量x的 值，变量y都有 的 形如y=0.5383x-12,240<x≤400，的函 值和它对应，那么y就是x的函数. 0.7883x-112,x>400 数，一般叫作分段函数， 关键能力 攻重难 ●题型一两个变量关系的判定 归纳提升：依赖关系 例1.下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系和 的判断方法与步骤 对于两个变量，如果 ①圆的面积和它的半径； 一个变量的改变影响 ②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； 另一个变量，则这两 ③家庭的食品支出与电视价格之间的关系； 个变量具有依赖关 ④正三角形的面积和它的边长. 系，否则不具有依赖 关系 ●[归纳提升] 048。 》对点训练1 下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每 隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)商品的价格与销售量 (3)某同学的学习时间与其学习成绩. 归纳提升：关于函数 关系的判定 函数关系是一种两个 ●题型二函数关系的判定 变量之间确定的依赖 例 2.(1)(多选题)下列两个变量之间的关系是函数关系的是 关系，判定函数关系 A.出租车车费与出租车行驶的里程 的关健是准确把握函 B.商品房销售总价与商品房建筑面积 数的定义，理解“变 C.铁块的体积与铁块的质量 量x的每一个值，变 D.人的身高与体重 量y都有唯一确定的 (2)以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是 值和它对应”.同时也 是判定函裁关系的 3 依据. C.y=x2 D.(x+y)(x-y)=0 [归纳提升] 》对点训练2 下列变量间的关系是函数关系的是 A.匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 归纳提升：关于变量 B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 关系的应用 C.正方形的面积S与其边长a之间的关系 利用图象表示两个变 D.光照时间和苹果的亩产量 量的依赖关系更加直 ●题型三函数关系的应用 观，更能反映两个变 量相互影响的变化趋 例 3.如图是一同学骑自行车出行的图象，从图中 ↑路程Ckm) 势解题时注意关注 得到的正确信息是 图象的上升、下降， 增加、减小的快慢等 A整个出行过程中的平均速度为km小 特征.还要注意利用 B.前20分钟的速度比后半小时的速度慢 102030405060时间(min) 图象中数据 C.前20分钟的速度比后半小时的速度快 D.从起点到达终点，该同学共用了50分钟 P[归纳提升] 049 》对点训练3 (1)下列说法不正确的是 A.依赖关系不一定是函数关系 B.函数关系是依赖关系 C.如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数 D.如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数 (2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述 +燃油效率kmL 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确 10 。甲车 的是 6太乙车 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 如丙车 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 40 80 速度kmh) C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 课堂检测固双基 1.下列变量之间的关系是函数关系的是( )5.如图所示为某市一天24小时内的气温变化 A.生活质量与人的身体状况间的关系 图，根据图象回答下列问题， B.某人的身高与饮食状况 1Q/℃ C.一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t D.蔬菜的价格与季节 6 2.张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小 9支460246820方4防 麦总产量为y千克，则 ) -2 A.x,y之间有依赖关系 (1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？ B.x,y之间无依赖关系 (2)大约在什么时刻，气温为0℃？ C.y是x的函数 (3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？ D.x是y的函数 (4)变量Q是关于变量t的函数吗？ 3.假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时 间的关系如图所示，那么可以知道： ↑路程(m) 100 甲 50 1212.5时间(s) (1)甲、乙两人中先到达终点的是 (2)乙在这次赛跑中的速度为 m/s. 4.给出下列关系： ①人的年龄与体重之间的关系； ②抛物线上的点与该点纵坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考 试号之间的关系 夯基提能作业 其中不是函数关系的有 请同学们认真完成练案[15](4)当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实数根， 因为(x+y)(x-y)=x2-y2=0,所以y2=x2,所以任一非零 若关于x的方程m2+2x+1=0有两个实数解时， 实数x都有两个y与之对应，(x+y)(x-y)=0不能表示“y 「m≠0， 是x的函数.” 4=4-4m≥0， 解得m≤1且m≠0，所以p是q的必要不充分 对点训练2：CA是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依 条件 赖关系。 例7：B当x=0时，x2+2=2是偶数，故A错误，B正确： 例3：C对于A,因为平均速度为子=7kh,放A不正确对 因为“了x∈Z,使x2+2为偶数”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“HxeZ,x2+2是奇数”， 于B,前20分钟的速度为易-子km/m血，后半小时的速度为 故C、D错误 21 例8：(1)由题意得关于x的方程mx2-4x+2=0无实数根，当m 品=古kr/nin,因为好>5故B不正确，C正，确而D显然 =0时，x=7,有实数根，不符合题意：当m≠0时，由已知得 不正确 对点训练3：(1)C由依赖关系及函数关系的定义知A,B正 4=16-4×2m<0, 解得m>2,所以B={mlm>2} 确；对于C,D,如m=n2,则n=±√m,不是函数关系，故C错 (2)因为A={xl3a<x<a+2}为非空集合， 误，D正确 所以a+2>3a,所以a<1, (2)D对于A,由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃 若x∈A是x∈B的充分不必要条件， 油效率大于5km/L,所以当速度大于40km/h时，消耗1升 汽油，乙车的行驶距离大于5km,故A错误：对于B,由图象可 2 则AB,所以3a≥2，解得a≥3， 知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消 所以实数a的取值范围是[子，) 耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同 路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C,由图 第二章函数 象可知当速度为80k/h时，甲车的燃油效率为10km/L,即 甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km, 燃油为8升，故C错误：对于D,由图象可知当速度小于 §1 生活中的变量关系 80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙 必备知识探新知 车比用乙车更省油，故D正确 知识点1每一个唯一确定 课堂检测固双基 关键能力攻重难 1.CA、B、D是依赖关系，对C,W是关于t的函数. 例1：①中，圆的面积S与半径r之间存在S=㎡2的关系； 2.A小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系. ②中，在速度不变的情况下，行驶路程：与行驶时间t之间存3.(1)甲由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12s, 在正比例关系； ,! 12.5s.故甲先到达终点； ③中，两个变量不存在依赖关系 100 (2)8z=125=8(m/s), 角形的面积S与其边长a之间存在5=只0的关系，4.①3④由已知关系判断得，①3④中关系不确定 综上①②④中两个变量间都存在依赖关系。 数关系，只有②是函数关系 对点训练1：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系； 5.观察图象可知： (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，是依赖关系； (1)全天最高气温大约是9℃，在14时达到.全天最低气温大 (3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成 约是-2℃，在4时达到 绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同 (2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃ 学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩 (3)在8时到22时之间，气温在0℃以上. 之间存在依赖关系. (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降.对于时间 综上所述，(1)(2)(3)均存在依赖关系. t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时 例2：(1)ABC对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租 间t的函数， 车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价 §2函数 等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售 总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁 2.1函数概念 块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁 块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有 第1课时函数概念（一） 些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而 异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系 必备知识探新知 (2)D根据函数的定义，每个x都有唯一的y和它对应，从而 知识点11.唯一确定的数y3.f(x)Ix∈A 判断选项A,B,C都表示“y是x的函数”； 知识点2定义域对应关系 -289