第2章 2.1 函数概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 2.1　函数概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的三个要素，了解函数相等的定义，会判定两个给定的函数是否相等． 教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数定义域的求法.3.一些简单函数值域的求法． 知识点一　函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． 知识点二　同一个函数 对于一个函数，当定义域和对应关系确定之后，值域也随之确定．因此我们把定义域相同、对应关系相同的两个函数称为同一个函数． (1)从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、值域、对应关系． (2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． (3)“y＝f(x)”是函数符号，对应关系可以用任意字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”等． (4)在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”． (5)定义域、值域的结果一般应写成集合或区间的形式． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．(　　) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．(　　) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．(　　) (5)对于定义在集合A到集合B上的函数y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是________． ①y＝；②y＝；③y＝()2；④s＝t. (2)函数y＝的定义域为________． (3)已知f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(g(3))的值为________． 答案：(1)②④　(2)(－∞，0)∪(0，1]　(3) 题型一　函数的概念 　判断下列对应关系是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应． [解]　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 【感悟提升】　判断对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A，B是否为非空数集． (2)判断A中任一元素在B中是否有唯一的元素与之对应．满足上述两条，则该对应关系是函数关系． 【跟踪训练】 1．下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是(　　) A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B B．A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝x C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 答案：B 解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不一定唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数． 题型二　求函数的定义域 　(1)求下列函数的定义域： ①y＝2x＋3；②f(x)＝；③y＝＋；④y＝；⑤y＝(1－2x)0. [解]　①函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}． ②要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}． ③要使函数式有意义，则即 ∴x＝1，∴函数的定义域为{x|x＝1}． ④要使有意义， 则x2－1≠0，即x≠±1， ∴函数的定义域是{x|x≠±1}． ⑤要使函数式有意义， 则1－2x≠0，即x≠， ∴函数的定义域为. (2)已知函数f(x)的定义域是[－1，4]，求函数f(2x＋1)的定义域． [解]　已知函数f(x)的定义域是[－1，4]，即－1≤x≤4. 故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4. ∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤， ∴函数f(2x＋1)的定义域是. 【感悟提升】　求函数定义域的基本要求 (1)整式：若y＝f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R. (2)分式：若y＝f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集． (3)偶次根式：若y＝f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)． (4)几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集． (5)实际问题：若y＝f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束． 【跟踪训练】 2．(1)求下列函数的定义域： ①y＝－；②y＝. 解：①要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即 ∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． ②要使函数有意义，需满足|x|－x≠0， 即|x|≠x，∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}． (2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域． 解：设矩形的一边长为x， 则另一边长为(a－2x)， ∴y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax， 定义域为. (3)若函数f(x＋1)的定义域为，求函数f(x－1)的定义域． 解：由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3， 即f(x)的定义域为， ∴≤x－1≤3，解得≤x≤4. ∴f(x－1)的定义域为. 题型三　函数求值及求函数的值域 　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． ①求f(2)，g(2)的值； ②求f(g(3))的值． [解]　①∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②g(3)＝32＋2＝11， ∴f(g(3))＝f(11)＝＝. (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝； ④y＝2x－. [解]　①(观察法)因为x∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为[2，6)． ③(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. 【感悟提升】　求函数值域的原则及常用方法 (1)原则 ①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到； ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法； ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法； ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域； ⑤不等式法：利用基本不等式≥(a≥0，b≥0)求函数最值，从而得到函数的值域． 【跟踪训练】 3．(1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(9)＝6，则f(3)＝(　　) A. B．2 C. D. 答案：D 解析：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝3，则f(3)＋f(3)＝f(9)，即2f(3)＝6，可得f(3)＝3；令x＝y＝，则f()＋f()＝f(3)，即2f()＝3，可得f()＝；令x＝3，y＝，可得f(3)＝f(3)＋f()＝3＋＝. (2)求下列函数的值域： ①y＝(x∈[0，＋∞))； ②y＝； ③y＝x－. 解：①y＝x＋＋2. 由基本不等式可得y＝x＋＋2≥＋2， 当且仅当x＝时，等号成立． ∴原函数的值域为[＋2，＋∞)． ②∵y＝＝， ∴0≤y≤，∴原函数的值域为. ③设t＝，则t≥0且x＝－t2＋， 得y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1. ∵t≥0，∴y≤，即该函数的值域为. 题型四　两个函数为同一个函数的判断 　下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　A项中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；B项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；C项中，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；D项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数． [答案]　B 【感悟提升】　判断两个函数为同一个函数的条件 (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 【跟踪训练】 4．下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝·，y＝； (3)y＝，y＝x－3. 解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同， 又φ(t)＝＝|t|， 即f(x)与φ(t)的对应关系也相同， ∴f(x)与φ(t)是同一个函数． (2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}， y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同． 又y＝·＝， ∴这两个函数的对应关系也相同． 故y＝·与y＝是同一个函数． (3)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同， ∴y＝与y＝x－3不是同一个函数． 1．函数f(x)＝x＋的定义域是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x>2} C．{x|x≤2} D．{x|x<2} 答案：C 解析：要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为{x|x≤2}． 2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A. B．3 C. D. 答案：D 解析：∵f(3)＝<1，∴f(f(3))＝＋1＝. 3．(多选)对于函数y＝f(x)，下列说法正确的是(　　) A．y是x的函数 B．对于不同的x，y的值也不同 C．f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 D．f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 答案：AC 解析：由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；B不一定成立，如常函数y＝f(x)＝0，故B不正确；由函数值的定义知，f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个确定的值，故C正确；f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，故D不正确．故选AC. 4．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系，能够构成以A为定义域，B为值域的函数的是________(填写满足条件的所有函数的序号)． ①y＝2x；②y＝x2；③y＝|4－2x|；④y＝x＋5；⑤y＝(x－2)2. 答案：①②③⑤ 解析：判断能否构成以A为定义域，B为值域的函数，就是看是否符合函数的定义．对于①y＝2x，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故①满足条件；显然②③⑤同样也满足条件；对于④y＝x＋5，若其定义域为A＝{x|0≤x≤2}，则其值域为{y|5≤y≤7}，因此④不满足条件． 5．已知函数f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f，f(a＋1)； (2)若f(x)＝5，求x. 解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f＝＋－1＝， f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1. (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5， ∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3. 课后课时精练 一、选择题 1．(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1 C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝和g(x)＝ 答案：CD 解析：A中两函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数都是y＝(x－1)2(x∈R)；D中两函数都是y＝1(x>0)．故选CD. 2．已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{0，1，2}，那么集合A可能情况的个数为(　　) A．9 B．10 C．31 D．32 答案：C 解析：由题意可知，f：x→|x|是集合A到集合B的函数，令|x|＝0，得x＝0，令|x|＝1，得x＝±1，令|x|＝2，得x＝±2，所以集合A是集合{0，－1，1，－2，2}的非空子集，并且非空子集的个数为25－1＝31. 3．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：C 解析：集合A表示函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}． 4．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D. 答案：D 解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>，∴此函数的定义域为. 5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　　) A．－或－2 B．－或2 C．－2或 D．－2或2 答案：B 解析：若a≤0，则f(a)＝－＝4，所以a＝－；若a>0，则f(a)＝a2＝4，所以a＝2.综上a＝－或a＝2. 二、填空题 6．设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|，若f(2)＝1，则f(1)＝________． 答案：3 解析：由f(2)＝1＋|22－a|＝1，可得a＝4，所以f(1)＝|1－1|＋|1－4|＝3. 7．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________． 答案：－1 解析：由题意知f(x)为一次函数，则 所以a＝－1. 8．已知函数f(x)＝的定义域为R，则k的取值范围是________． 答案：0≤k<1 解析：由题意可得kx2－4kx＋k＋3>0恒成立．①当k＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；②当k≠0时，须使 解得0<k<1.综上所得，k的取值范围为0≤k<1. 三、解答题 9．求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝＋； (3)y＝(x＋1)0＋； (4)y＝＋－. 解：(1)因为|x|－x≠0，即|x|≠x， 所以x<0，所以该函数的定义域为(－∞，0)． (2)由得 所以该函数的定义域为[－2，1)∪(1，＋∞)． (3)由得 所以该函数的定义域为[－2，－1)∪(－1，2]． (4)由得所以x＝5， 所以该函数的定义域为{5}． 10．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝x－. 解：(1)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． (2)要使函数式有意义，需x＋1≥0， 即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}． 设t＝，则x＝t2－1(t≥0)， 于是y＝t2－1－t＝－. 又t≥0，故y≥－. 所以函数的值域是. 11．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域； (2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域； (3)若f(x)的定义域为[－3，5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域． 解：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10， 所以函数f(x－5)的定义域是[4，10]． (2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2， 所以函数f(x)的定义域是[－1，2]． (3)已知f(x)的定义域为[－3，5]， 则φ(x)的定义域需满足 即解得－3≤x≤3. 所以函数φ(x)的定义域为[－3，3]． 12．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值； (2)求证：f(x)＋f是定值； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2026)＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝1. f(3)＋f＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f＝＋ ＝＋＝＝1. (3)由(2)知，f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1， f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1， … f(2026)＋f＝1. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f＝2025. 13 学科网（北京）股份有限公司 $