1.4.1 一元二次函数-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

2x+3y=18 设每间虎笼面积为S,则S=xy 于是y2+≥0)， 方法一：由于2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy, 当t=0时，y=0. 21 当t>0时，y= s 1 1 所以26≤18，得y≤乞， 1 41 即S≤子，当且仅当2x=3时，等号成立 2√2 2+3y=18 解得厂=4.5， 当且仅当21= (2x=3y, y=3. 即：=时y有最大值为票 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大， 方法二：由2x+3y=18,得x=9- 2 由+2= 因为>0，所以9-多>0，所以0<y<6,S=y=(9-2 3 解得x=一2 3 =子6-)y因为0<y<6,所以6-y>0,所以5≤ 即x=一子，有最大值为 3 [6- 课堂检测固双基 1.C令t=x-2,则t>0, 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 4 4 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. x+ 4+2≥2 i. +2=6 t (2)设每间虎笼长xm,宽ym,由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y 当且仅当t=4,即t=2,x=4时， 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, x+4 +x-2x>2)的最小值为6 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48. 当且仅当2x=3y时，等号成立. 2. 9 由2=3解得=6， lxy=24 y=4. y.4x=4 4++汉0>0，则+≥2√ 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 方法二：由y=24,得x=24 (当且仅当子时取等号)小，则+≥产×(5+4) 所以1-+6+6y=6+y=62V9 /16 y ·y=48 1 当且仅当6=y即y=4时，等号成立，此时x=6. 3.16 与=4≤=6当豆仅当x=4=时 取等号 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 4.1760设池底一边长为xm,总造价为y元. 对点训练2：AD由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 士=7+000-20≥2、 /Lx.80000-200=200, 则y=4x120+22+2×4）×80=320(x+)+40x>0), 2* 当且仅当分=80，即=0时等号成立。 因为x+≥2√=4，当且仅当=即2时取等 号，所以ymm=480+320×4=1760(元). 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本 最低，最低成本为200元. §4一元二次函数与一元二次不等式 设该单位每月获利为S元， 则5=10x-y=100x-(22-200x+80000=-7 4.1一元二次函数 必备知识探新知 300-8000=-7(x-3002-3500,因为xe[40, 知识点11.y=ax2+bx+c(a≠0)二次项系数常数项 600], 知识点2上下h(h,k)[h,+o）[h,+∞)kk 所以Se[-80000,-40000].故该单位每月不获利，需要国关键能力攻重难 家每月至少补贴40000元才能不亏损。 例1：(1)Ay=(x-1)2+2,先向右平移3个单位长度得y= 易错警示 (x-1-3)2+2,即y=(x-4)2+2,再向上平移5个单位长度 例3：设t=√x+2≥0， 得y=(x-4)2+2+5,即y=(x-4)2+7. 则x=2-2. (2)①由-x2-2x+3=0得-(x+3)(x-1)=0,解得x=-3 -285 或x=1,当x=0时，y=-02-2×0+3=3,所以此函数图象 与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为 方法二：因为y=82-(m-1)x+(m-7)=8(x716+ (0,3) (m-7)-（m-1)2 32 ②配方，得y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点坐标为 (-1,4),对称轴为直线x=-1. 所以y=m-7-m2)-0,化简得(m-9)(m-25)=0. 32 ③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图： 解得m=9或m=25. 课堂检测固双基 1.B由2x(3-x)=0得x=0或x=3,可知图象与x轴的交点 为(0,0)，(3,0)，排除A,C.又y=2x(3-x)=-2x2+6x,所 以图象开口向下，故排除D. 2.A因为y=2(x-3)2+1,其中a=2>0,所以抛物线的开口 ! 向上，顶点坐标为(3,1). 对点训练1：(1)16配方，得y=x2-8x+c=(x-4)2+c-16, 3.D函数y=-3x2+1的图象的顶点坐标为(0,1)，将抛物线 所以此函数图象的顶点坐标为(4，c-16),根据题意得c-16 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后 =0,所以c=16. 抛物线的顶点为(1,3)，则y=-3(x-1)2+3. (2)①配方，得)y=72-6c+21=(x-6)2+3,所以函数4D因为点4，B均在函数图象上，且B与x轴平行，所以点4 与点B关于对称轴x=2对称，又因为A(0,3),所以AB=4, y=分-6x+21的图象可以由函数y=之2的图象向右平 yB=yA=3,所以点B的坐标为(4,3). 移6个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到： 5.(1)配方得y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,所以该函数图象开 ②此函数图象的对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,3) 口向上，对称轴为直线x=1; 例2：配方，得y=3x2-6x-1=3(x-1)2-4. 当x=1时取得最小值，最小值为ymn=-5. 该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1,所以此函数在区 (2)配方得y=-5x2-20x-26=-5(x+2)2-6,所以该函数 间(-∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间 图象开口向下，对称轴为直线x=-2; [1,+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大 当x=-2时取得最大值，最大值为ym=-6. 对点训练2：(1)C函数y=-m+5的对称轴为x=受，因为 4.2 一元二次不等式及其解法 在区间(2，+0)上，函数y=x2-mx+5的函数值y随x的增必备知识探新知 大而增大，所以？≤2，解得m≤4. 知识点1(2)成立未知数 (2)①因为y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7) 关键能力攻重难 点，得7=-0+(m-1)×0+m,所以m=7; 例1：(1)因为4>0，方程2x2-3x-2=0的根是x=-2 则y=-x2+6x+7,令-x+6x+7=0,(x-7)(x+1)=0,所 =2 以x-7=0或x+1=0,所以x=7或x=-1,所以此函数的图 象与x轴的交点为(7,0)，(-1,0) 所以不等式22-3x-2>0的解集为{<-号或x>2} ②因为y=-x2+6x+7=-(x-3)2+16,所以对称轴为直线 (2)原不等式可化为x2-2x+3>0,由于4<0，方程x2-2x+ x=3,所以在区间(-∞，3]上，y随x的增大而增大：在区间 3=0无解，所以不等式-x2+2x-3<0的解集为R [3,+∞)上，y随x的增大而减小 (3)原不等式可化为3x2-5x+2<0,由于4>0，方程3x2-5x 例3：(1)配方：y=7-2x+4=7(x-2)2+2,此函数的图象 土2=0的两根为x1=名，名=1 是一条抛物线，开口向上且对称轴为x=2,所以当x=2时， Ymin =2. 所以不等式-3x2+5x-2>0的解集为{x (2)①y=-x2+4x+c=-(x-2)2+c+4,此函数图象的对 对点训练1：AC 12, 3 称轴是直线x=2. 对于选项A,B,2-x+1=(x2)+4>0,故 ②由①得，当x=2时，函数的最大值为ym=c+4=-3,所以 x2-x+1>0的解集为R,x-x+1<0的解集为)，故A正确，B c=-7. 错误；对于选项C,D,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0，故42-4x+1≥ 对点训练3：(1)6因为y=-2+6x-3=-(x-3)2+6, 所以此函数在x=3处取得最大值6，即ymm=6. 0的解集为k,-4+1≤0的解集为=宁}放选项C正 (2)9或25方法-：由题意得4×8(m-7)-(m-1) 确，D错误 4×8 =0,例2：方法一：由题设条件知a>0,且1,2是方程am-6x+2=0 即(m-1)2-4×8(m-7)=0.解得m=9或m=25. 的两实根。 -286034 由=经部秀=昌 即x=一 2少有最大值为2 [辨析]把√x+2看成一个整体→函数转化为用√x+2来表示→找出其内在的形式特点→用 基本不等式来处理，但是未对t=0,>0两种情况讨论，导致解答过程不完整而错误。 [正解] [点评]利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要 首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值 课堂检测 固双基 1若>2，则+2的最小值为 为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水 A.2 B.4 C.6 D.8 池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m,80 2设>0.y>0,+y=4,则+手的最小值 元/m,那么水池的最低总造价为 元 y 为 夯基提能作业 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值 请同学们认真完成练案[11] §4一元二次函数与一元二次不等式 课标要求 核心素养 1.理解一元二次方程与二次函数的关系， 2.掌握图象法解一元二次不等式。 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变 3.会从实际情境中抽象出一元二次不等式 化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元 模型， 二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然 4.会解可化为一元二次不等式（组）的简单 后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方 分式不等式 程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二 5.会用分类讨论思想解含参数的一元二次不 次函数解一元二次不等式的程序，培养学生数学 等式 抽象，直观想象，逻辑推理等核心素养 6.会解一元二次不等式中的恒成立问题， ●035 4.1一元二次函数 必备知识探新知 知识点1一元二次函数 抛物线开口向 抛物线开口向 ,并向 1.定义：一般地，把形如 (a,b,c是 并向上无限延伸 下无限延伸 常数)的函数叫作一元二次函数，其中a,b,c分别称 对称轴是x= 为 、一 次项系数和 顶点坐标是 2.三种不同形式： (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0). 在区间(-，h]上 (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)： 在区间(-∞，h]上函数值y 函数值y随x的增大 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 性质 而减小，在区间_ 随x的增大而增大，在区间 上函数值y随x的 知识点2一元二次函数的性质 一上函数值y随 增大而减小 x的增大而增大 函数 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0) a>0 a<0 抛物线有最低点，当 抛物线有最高点，当x=h时，y 图象 x=h时，y有最小 值，ymin= 有最大值，ymx= 关键能力 攻重难 ●题型一一元二次函数的图象问题 归纳提升： 例1.1)将抛物线y三(x-1)+2先向右平移3个单位长度，再向上平 1.利用关健点和对称轴 画一元二次函数图象 移5个单位长度得到的抛物线解析式是 () (1)先根据函数解析 式，求出顶点坐标和对 A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-3 称轴，在直角坐标系中 C.y=(x+2)2+7 D.y=(x+2)2-3 描出顶点M,并用虚线 (2)已知一元二次函数y=-x2-2x+3. 画出对称轴. (2)求抛物线y=ax2+bm ①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标； +c（a≠0)与坐标轴的 ②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴； 交点，当抛物线与x轴有 两个交点时，描出这两个 ③根据①②画出此函数图象的草图. 交点A,B及抛物线与y 轴的交点C,再我到点C 关于对称轴的对称点D, 将A,B,C,D及M这五 个点按顺序用平滑曲线连 接起来 2.参数“a,h,k”对y =a(x-h)2+k(a≠0) 的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大 小分别决定了二次函数 图象的开口方向和大小， (2)h决定了二次函数图 [归纳提升] 象的对称轴的位置. (3)k决定了二次函数图 象的顶点的高度. 036 归纳提升：一元二次 】对点训练1 函数y=ax2+bx+c(a (1)已知二次函数y=x-8x+c的图象的顶点在x轴上，则c= ≠0)函数值的变化 趋势 (2)已知-元二次函数y=之2-6x+21 (1)当a>0时，在区 间(-”上y ①指出它的图象可以由函数y=乃的图象经过怎样的变换而得到； ②指出它的图象的对称轴和顶点坐标 随x的增大而减小：在 区会+小上 y随x的增大而增大： 简记：左减右增。 (2)当a<0时，在区 间(-，上y 随x的增大而增大；在 区会+上 ●题型二一元二次函数的函数值的变化趋势 2.试述一元二次函数y=3x2-6x-1函数值的变化趋势 y随x的增大而减小 例 [分析]配方化为y=a(x-h)2+k的形式，结合图象叙述 简记：左增右减 [注意]书写的规范性： ①配方变形，以便得出函数图象的对称轴； ②结合函数图象叙述函数值的变化趋势. [归纳提升] )对点训练2 (1)在区间(2，+0)上，函数y=x2-mx+5的函数值y随x的增大而增大， 则m的取值范围为 () A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞，4] D.(-∞，2] (2)一元二次函数y=-x2+（m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点. ①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标； ②试述函数值的变化趋势. ●037 ●题型三一元二次函数的最大值和最小值 例3.(1)求函数y=2-2x+4的最小值 (2)已知一元二次函数y=-x2+4x+c. ①求该一元二次函数图象的对称轴； 归纳提升：求一元二 ②若此函数的最大值是-3，求c的值， 次函数y=ax2+bx+C (a≠0)的最大（小）值 的一般步骤 (1)“化”：采用配方 法，化为y=a(x h)2+k的形式 (2)“求”：当a>0 时，函戴在x=h处y 有最小值，ymn=k;当 a<0时函数在x=h 处y有最大值，ym= [归纳提升] l. )对点训练3 (1)一元二次函数y=-x2+6x-3的最大值是 (2)若一元二次函数y=8x2-(m-1)x+m-7的最小值为0，则m=· 课堂检测固双基 1.函数y=2x(3-x)的图象可能是 公六和 0 2.关于二次函数y=2(x-3)2+1的图象，下列 说法正确的是 A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3) A.开口向上，顶点坐标为(3,1) 5.用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数 B.开口向下，顶点坐标为(3,1) 的最大值或最小值， C.开口向上，顶点坐标为(-3,1) (1)y=2x2-4x-3;(2)y=-5x2-20x-26 D.开口向下，顶点坐标为(-3,1)》 3.将函数y=-3x2+1的图象向右平移1个单位 长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪 个函数的图象 () A.y=-3(x+1)2-1B.y=-3(x+1)2+3 C.y=-3(x-1)2+1D.y=-3(x-1)2+3 4.如图所示，已知一元二次函数y=x2+bx+c的 对称轴为x=2,点A,B均在其图象上，且AB 与x轴平行，点A的坐标为(0,3)，则，点B的坐 夯基提能作业 标为 () 请同学们认真完成练案[12]