第1章 预备知识章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

044 章末知识梳理 知识体系构建 元素的确定性 集合的概念 元素的互异性 元素的无序性 列举法 集合 集合的表示 描述法 真子集 包含关系 子集 相等关系 集合间关系 交集 运算关系 并集 必要条件 补集 充分条件 充要条件 辑用语 全称量词 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的否定 存在量词 备知识 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的否定 三个基本事实：a>ba-b>0,a=ba-b=0,a<ba-b<0 不等式的性质 不等式的性质 比较实数的大小 基本不等式的变式与拓展 基本不等式 若a+b=s(定值)，则当a=b时，ab取得最大值13 求最 absatb 最值定理 4 2 (a>0,b>0) (a>0.b>0) 若ab=p(定值)，则当a=b时，a+b取得最小值2万 方法 求实际应用问题的最值 基本不等 比较实数的大小 式的应用 证明不等式 一元二次函数 元 二次 “元二次不等式的概念 函数 一元二次 不等式及 三个“二次”（一元二次方程的根、一元二次函数的 元 其解法 图象、一元二次不等式的解集)之间的关系 不含参数的一元二次 不等式的解法 等式 元二次不等式的解法 利用三个“二次”之间的关系 一元二次不等式的应用 含参数的一元二次 不等式的解法 045 要点专项突破 ●要点一元素与集合、集合与集合的关系 ●要点二 集合的基本运算 1.解元素与集合关系问题的注意点 1.集合基本运算的方法 (1)会分析一个集合是由哪些元素构成的， (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法 能判断有关元素是否在该集合出现： 给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素 (2)利用集合元素的互异性寻找解题的切在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. 入点 (2)数轴法：集合是用不等式（组）给出的， (3)解题完毕，利用互异性验证答案的正运算时可先将不等式在数轴上表示出来，然后借 确性， 助数轴求解. 2.集合间关系的判断方法 2.集合与不等式结合的运算包含的类型及 (1)定义法：根据定义直接判断元素与集合解决办法 间的关系，得出集合间的关系 (1)不含字母参数：直接将集合中的不等式 (2)图示法：利用数轴或Venn图表示出相解出，在数轴上求解 应的集合，根据图示直观地判断 (2)含有字母参数：若字母的取值影响到不 3.求解集合间关系问题的两个注意事项 等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式， (1)解含有参数的不等式（或方程）时，要对 然后在数轴上求解， 参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的 例3.若01,2,3,4，M=1,21,N=2, 原则，且对每类情况都要给出问题的解答， 3,则Cm(MUN)是 () (2)对于两集合A,B,当A二B时，不要忽略 A.{2 B.4 A=⑦的情况. C.{1,3,4} D.{1,2,3 注意：根据条件求集合中元素时，不要忘记 例 4.已知集合M={(x,y)Iy=2x-1,xy≤ 检验元素的互异性. 0},N={(x,y)Iy=x2-4},则M∩N中 例1.已知集合4=1a+2,(a+1),a+30+ 的元素个数为 （) 3且1∈A,则2024“的值为 A.0 B.1 C.2 D.1或2 例2已知集合A=x12a-3<x<3a+1,集 ●要点三充分条件和必要条件 合B={xl-5<x<4}. 充分条件与必要条件的判断方法 (1)若ACB,求实数a的取值范围 (1)定义法 (2)是否存在实数a,使得A=B?若存 认清p,9 分清哪个是条件，哪个是结论 在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 找推式 判断，“若，则g”及“若q,则p”的真假 (下结论 根据推式及定义下结论 (2)集合法：写出集合A={xIp(x)}及B= {x9(x)},利用集合之间的包含关系加以判断用 集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法， 图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度. 例5，根据下列所给的各组P,9填空： ①p:a<0,g:lal>0； 046 ②p:两个三角形的两边及其夹角分别对 ●要点四 全称量词命题和存在量词命题 应相等，9：两个三角形全等； 及其否定 ③p:a=b,9:a2=b2; 含有一个量词的命题的否定的方法 ④p:二次函数y=x2+k的图象过坐标 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否 原点， 定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存 9:k=0: 在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命 ⑤p:两条直线被第三条直线所截，同旁 题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全 内角互补，9：这两条直线平行； 称量词，同时否定结论 ⑥p:两直角三角形的斜边相等，9：两直角 (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中 三角形全等 隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据 其中p是g的充分不必要条件的有 规则来写出命题的否定. p是q的必要不充分条件的有 例7“3e乙，使+2为偶数”，下列说法正 确的是 p是g的充要条件的有 A.是假命题 例 6.下列所给的各组p,g中，p是q的什么 B.是真命题 条件？ C.它的否定为：3x∈Z,x2+2是奇数 (1)p:△ABC中，∠BAC>∠ABC,q: D.它的否定为：Vx∈R,x2+2为奇数 △ABC中，BC>AC; (2)p:a2<1,9:a<2; 例8已知p:3xek,使m2-4r+2=0为假 命题， (3)p:6<1,9:b<a (1)求实数m的取值集合B. (4)p:m≤1,9：关于x的方程mx2+2x+1 (2)设A={x13a<x<a+2}为非空集 =0有两个实数解 合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）rm≥25或m≤9， 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 解得m>17, 即-)2m(x+42x-400)≥2400m×8%×78% Lm∈R, 所以m≥25. 整理，得x2+42-88≤0，解得-44≤x≤2. 故实数m的取值范围是{mlm≥25}. 根据x的实际意义，知0<x≤8， 对点训练2：al-2<a<1}设两根为x1>1,x2<1,则x1-1 所以x的范围为0<x≤2. >0,x2-1<0 -1)-1)<0. 章末知识梳理 4>0, 要点专项突破 即6-(+)+1<0， 例1：1当a+2=1时，a=-1,此时(a+1)2=0,a2+3a+3= 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, 1,不满足集合中元素的互异性，故不成立； 即0-2+(a-1)+1<0, 当(a+1)2=1时，a=0或a=-2.当a=-2时，a2+3a+3= 解得-2<a<1, 1(a2-1)2-4(a-2)>0, 1舍去，经验证知a=0符合题意： 当a2+3a+3=1时，a=-1或a=-2,经验证知均不符合题 例3：(1)依题意得=10(1-奇)×100(1+0，又因售价 意，故a=0,所以2024“=1. 不能低于成本价。 例2：(1)因为A二B,所以集合A可以分为A=☑或A≠☑两种 情况来讨论： 所以1001-)-80≥0，解得0≤≤2， 当A=☑时，2a-3≥3a+1,解得a≤-4， 所以y=20(10-x)(50+8x),x的取值范围为[0,2]. 2a-3≥-5， (2)由题意20(10-x)(50+8x)≥10260，化简得8x2-30x+ 当A≠☑时，得3a+1≤4， 解得-1≤a≤1. 1B≤0.解得)≤≤号又因为05€2.所以75≤2，所以 1 12a-3<3a+1, 4 : 综上，实数a的取值范围是ala≤-4或-1≤a≤1}. x的取值范围为[宁，2 (2)若存在实数a,使A=B, r2a-3=-5, 「a=-1, 对点训练3：设桶的容积为x升，显然x>8. 则必有 即 无解 l3a+1=4,la=1, 依题意，得(x-8)-4(x-8）≤28%·x 1 故不存在实数a,使得A=B. 由于x>8,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0， 例3：B因M=1,2},N=2,3},则MUN={1,2,3},而U= 即(3.x-10)(3x-40)≤0 1,2,3,4},所以C(MUW)=4}. 因t号≤号从而8< 例4：A因为M=(x,y)y=2x-1,y≤0}，N={(x,y)ly=x2-4}, 3 「y=2x-1,y≤0,1 所以M∩N (x,y) Iy=x-4 =),所以M∩N中的元 故桶的容积最大为智升， 素个数为0. 易错警示 例5：①③⑥②④⑤对①，易知由p能得g,但是，若a>0, 例4：函数y=mx2+mx+(m-1)的值恒为负值，即不等式mx2+ 则由g不能得p,故p是q的充分不必要条件： mx+(m-1)<0对一切实数x恒成立，于是 对②，根据三角形全等定理可知，P是q的充要条件； ①当m=0时，-1<0恒成立： 对③，由p能得到g,但是，若a=-b,则由g不能得p,故p是 ②当m≠0时，要使其恒成立，则有 9的充分不必要条件： 「m<0, 解得m<0. 对④，易知p是q的充要条件； l4=m2-4m(m-1）<0, 对⑤，由直线平行定理可知，P是9的充要条件； 综上，m的取值范围为mm≤0. 对⑥，由三角形全等定理可知，由p不能得q,但由q可以得p, 课堂检测固双基 故p是q的必要不充分条件 1.设y=x2+mx+4图象开口向上，因为当xex1<x<2}时， 例6：(1)因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成 不等式x2+m.x+4<0恒成立，所以需满足x=1与x=2时的 立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC;当BC>AC时，有 函数值同时小于或等于0， ∠BAC>∠ABC,所以P是q的充要条件. 即，+ms0, 解得m≤-5. (2)由a2<1,得-1<a<1,则a<2一定成立；而当a<2时， 8+2m≤0， 如a=-2,则a2<1不成立，所以p是g的充分不必要条件 ∴.m的取值范围为mlm≤-5} 2.设税率调低后，税收总收入为y元. (3)由么<1，得当a>0时，b<a,当a<0时，6>a;而当b<a y=2400m(1+2x%)·(8-x)% 时，若a>0,则。<1，若a<0,则么>1，所以p是g的既不充 e-23m(+42x-400)(0<x≤8 : 分又不必要条件 -288 (4)当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实数根， 因为(x+y)(x-y)=x2-y2=0,所以y2=x2,所以任一非零 若关于x的方程m2+2x+1=0有两个实数解时， 实数x都有两个y与之对应，(x+y)(x-y)=0不能表示“y 「m≠0， 是x的函数.” 4=4-4m≥0， 解得m≤1且m≠0，所以p是q的必要不充分 对点训练2：CA是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依 条件 赖关系。 例7：B当x=0时，x2+2=2是偶数，故A错误，B正确： 例3：C对于A,因为平均速度为子=7kh,放A不正确对 因为“了x∈Z,使x2+2为偶数”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“HxeZ,x2+2是奇数”， 于B,前20分钟的速度为易-子km/m血，后半小时的速度为 故C、D错误 21 例8：(1)由题意得关于x的方程mx2-4x+2=0无实数根，当m 品=古kr/nin,因为好>5故B不正确，C正，确而D显然 =0时，x=7,有实数根，不符合题意：当m≠0时，由已知得 不正确 对点训练3：(1)C由依赖关系及函数关系的定义知A,B正 4=16-4×2m<0, 解得m>2,所以B={mlm>2} 确；对于C,D,如m=n2,则n=±√m,不是函数关系，故C错 (2)因为A={xl3a<x<a+2}为非空集合， 误，D正确 所以a+2>3a,所以a<1, (2)D对于A,由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃 若x∈A是x∈B的充分不必要条件， 油效率大于5km/L,所以当速度大于40km/h时，消耗1升 汽油，乙车的行驶距离大于5km,故A错误：对于B,由图象可 2 则AB,所以3a≥2，解得a≥3， 知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消 所以实数a的取值范围是[子，) 耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同 路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C,由图 第二章函数 象可知当速度为80k/h时，甲车的燃油效率为10km/L,即 甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km, 燃油为8升，故C错误：对于D,由图象可知当速度小于 §1 生活中的变量关系 80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙 必备知识探新知 车比用乙车更省油，故D正确 知识点1每一个唯一确定 课堂检测固双基 关键能力攻重难 1.CA、B、D是依赖关系，对C,W是关于t的函数. 例1：①中，圆的面积S与半径r之间存在S=㎡2的关系； 2.A小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系. ②中，在速度不变的情况下，行驶路程：与行驶时间t之间存3.(1)甲由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12s, 在正比例关系； ,! 12.5s.故甲先到达终点； ③中，两个变量不存在依赖关系 100 (2)8z=125=8(m/s), 角形的面积S与其边长a之间存在5=只0的关系，4.①3④由已知关系判断得，①3④中关系不确定 综上①②④中两个变量间都存在依赖关系。 数关系，只有②是函数关系 对点训练1：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系； 5.观察图象可知： (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，是依赖关系； (1)全天最高气温大约是9℃，在14时达到.全天最低气温大 (3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成 约是-2℃，在4时达到 绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同 (2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃ 学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩 (3)在8时到22时之间，气温在0℃以上. 之间存在依赖关系. (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降.对于时间 综上所述，(1)(2)(3)均存在依赖关系. t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时 例2：(1)ABC对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租 间t的函数， 车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价 §2函数 等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售 总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁 2.1函数概念 块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁 块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有 第1课时函数概念（一） 些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而 异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系 必备知识探新知 (2)D根据函数的定义，每个x都有唯一的y和它对应，从而 知识点11.唯一确定的数y3.f(x)Ix∈A 判断选项A,B,C都表示“y是x的函数”； 知识点2定义域对应关系 -289