2.2.1 函数概念-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

第二章 函数 §1生活中的变量关系 §2函数 2.1函数概念 1.在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念 2.会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 学习目标 3.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 4.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 式基础落实·必备知识一遍过 知识点1函数 一性.即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元 素x,在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）确定 1.变量观点的定义 的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便 如果在一个变化过程中，有两个变量x和 不能构成函数 y,对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确 3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表 定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x 示，不能认为“y等于∫与x的乘积”，应理解为：x是 是自变量，y是因变量. 自变量，厂是对应关系（可以是解析式、图象、表格，也 2.集合语言的定义建立对应美系「的盖融 可以是文字描述). 给定实数集R中的两个非空数集A和B, 4.函数特号f(x)表示的对应关系与字母f无 关，也可以用g,F,H等表示；同样，自变量x也可 如果存在一个对应关系f,使对于集合A 以用t,m,n等表示 函数的中的每一个数x,在集合B中都有 概念 :铁一不可 思考辨析 的数y和它对应，那么就把对应 1.若f:A→B为从集合A到集合B的一个函 关系f称为定义在集合A上的一个函数 数，则函数的值域是集合B吗？ 函数的 记法 y=f(x),x∈A 定义域集合A称为函数的定义域，x称为自变量 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x) 值域 2.在函数的概念中，如果函数y=f(x)的定义 x∈A}称为函数的值域 域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ 注意“{f(x)x6ACB 名师点睛 1.A,B都是非空数集，因此定义域（或值域）为 空集的函数不存在。 2.函数定义中强调“三性”，任意性、存在性、唯 61 数学「第二章函数 自主诊断 3.(人教A版教材习题)集合A,B与对应关系∫如 下图所示： 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)人的身高和体重之间是函数关系. (2)函数的定义域和值域一定是无限集合.() 2 3 2.(人教A版教材习题)一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹 5 距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关 f:A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果 系为h=130t-5t2.求该式所表示的函数的定义 是，那么定义域、值域各是什么？ 域与值域，并用函数的定义描述这个函数 知识点2同一个函数 自主诊断 由函数定义知，由于函数的值域由函数的定 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 义域和对应关系来确定，这样确定一个函数就只 (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数 需两个要素：定义域和对应关系.因此，定义域和 () 对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件，缺 (2)y=x十1与y=t十1不是同一个函数.() 一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都 (3)y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可能是 分别相同时，这两个函数才是同一个函数， 同一个函数 () 名师点睛 2.(人教A版教材习题)判断下列各组中的函数是否 为同一个函数，并说明理由： 自变量和因变量用什么字母表示与函数无关，不 (1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h= 影响两个函数的关系。两个函数的关系是通过检验两 130t-5t2和二次函数y=130x-5x2: 个函数的定义城和对应关系是否相同来确定的.这就 (2)f(x)=1和g(x)-x. 是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的 思考辨析 定义域和值域都分别相同的两个函数是同一函 数吗？ 62 §1生活中的变量关系S2函数 式重难探究·能力素养速提升 探究点一 函数关系的判断 【例1】(1)设M={x|0≤x≤2}，N={y| (2)在定义城内平行移动直线： 0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集 (3)若直线L与图形有且只有一个交点，则是 合M到集合N的函数关系的有( 函数：若在定义域内没有交点或有两个或两个以上 的交点，则不是函数 2.判断一个对应是否为函数的方法 两非空数集A,B 函数的 一对一或多对一 作出 概念 A中不能有刺余元素 判断 B中能有剩余元素 I变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域 为M={x|-2≤x≤2)，值域为N={y|0≤y≤ ④ 2),则函数y=f(x)的图象可能是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (2)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B {x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从 A到B的函数关系的是() A.f:x-y=8x B.f:x→y=42 1 C.fx→y= 2 D.f:ry=x C D [课堂笔记] (2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2, 4},其中能构成从M到N的函数的是() 规律方法1根据图形判断对应是否为函数的方法 A.y=z2 B.y=x+1 (1)任取一条垂直于x轴的直线l: C.y=x-1 D.y=lz 探究点二 求函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域： (10y= (x+2)° lx- (2)f(x)=x2- x-1 -4-x. [课堂笔记] 63. 。数学「第二章函数 规律方法求函数的定义域时，常有以下四种 I变式训练2I(人教B版教材例题)求下列 情况： 函数的定义域： 1 如果函数∫(x)是整式，那么函数的定义城是 (1)f(x)= 实数集R E+ 如果函数f(x)是分式，那么函数的定义城是 (2)g(x)= 1+1 使分母不等于零的实数组成的集合 xx+21 如果函数f(x)是二次根式，那么函数的定义 域是使根号内的式子大于或等于零的实数组 成的集合 如果函数(x)是由两个或两个以上代数式 的和、差、积、商的形式构成的，那么函数的定 四 义域是使各式子都有意义的自变量的取值集 合（即求各式子自变量取值集合的交集） 探究点三 求抽象函数、复合函数的定义域 【例3】(1)若函数f(x)的定义域为（一1,2）， (3)f(t),f(g(x),f(h(x)三个函数中的t, 则函数f(2x+1)的定义域为 p(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同。 (2)若函数f(2x+1)的定义域为（一1,2）， (4)已知f(x)的定义域为A,求f((x)的定 则函数∫(x)的定义域为 义城，其实质是已知P(x)的取值范国为A,求出x (3)若函数f(2x+1)的定义域为（一1,2）， 的取值范围。 则函数f(x一1)的定义域为 (5)已知f(p(x)的定义域为B,求f(x)的定 [课堂笔记] 义城，其实质是已知f((x)中的x的取值范围为 B,求出P(x)的取值范围，此取值范围就是f(x)的 定义域 1变式训练31(2025河南郑州高一开学考 似规律方法 求复合函数或抽象函数的定义城应 试)已知函数f(x)的定义域为[-5,6]，则函数 明确以下几点： f(4一3x)的定义域为( (I)函数∫(x)的定义城是指x的取值范围所组 成的集合 A[-3别 B[-号可 (2)函数f(p(x)的定义城是指x的取位范围， C.[-5,6] D.[-14,19] 而不是(x)的取位范围。 探究点四 函数的求值问题 【例4】已知函数f(x)=x2+x一1 (1求f2),f(),fa+1D: (2)若f(x)=5,求x. [课堂笔记] 64 §1生活中的变量关系S2函数 1 规律方法函数求值问题的解法 (3)若f(gr)=4,求x. (1)已知函数的解析式求函数值，将自变量的值 代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为 包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入化 简求解 (2)已知函数解析式及某一函数值，求与函数值 对应的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函 数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程求 解即可，注意函数的定义域对自变量取值的限制. 1变式训练41已知函数∫(x)=1十z (x≠-1)，g(x)=x2+2. (1)求f(2)和g(2): (2)求g(f(2),求f(g(x): 探究点五 同一个函数 【例5】(1)下列各组函数是同一函数的是 缸规律方法判断两个函数是否表示同一个函数 (填序号). 的两个步骤 ①f(x)=√-2x与g(x)=x√-2； 定义域是函数存在的前提，只有在定 @f)=x与gx)=3,®fx)=x2- 定义城 义城相同的前提下，才能分析两个函 数是否表示同一个函数 2x-1与g(t)=t2-2t-1. 对应关系是建立两个变量关系的组带 ★(2)试判断函数y=√x-1·√x十1与函 对应关系 若在定义域相同的前提下对应关系也 相同，则两个函数表示同一个函数 数y=√/(x+1)(x一1)是否为同一函数，并说明 理由。 1变式训练5下列各组函数： [课堂笔记] ①f(x)=x2-x ,g(x)=x-1; ②fx)= x8(x)= ③f(x)=√(x+3),g(x)=x+3: ④f(x)=x+1,g(x)=x十x°； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的关系函数 f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x (0≤x≤5) 其中表示同一个函数的是 (填 序号) 65 。数学「第二章函数 探究点六\ 求函数的值域 【例6】求下列函数的值域： （④分离常数法：将形如y=红士 (a≠0)的 axtb (1)y=√x-1; (2)y=x2-2x+3,x∈{-2，-1,0,1,2,3}； 西数分离常数，变形过程为红十 ax+b (3)y=2+1 bc x一3 二(ax+b)+d_bc d a c a 十 (4)y=2x-√x-1. ax十b a十ar十b,再结合x的范 [课堂笔记] d-be 固确定 日的范围，从而确定函数的值城 x十b 1变式训练6|求下列函数的值域： (1)y=√16-x2; (2)y=x2-4x+6(1≤x≤5)： 80y (4)y=2x十4W/1-x. 缸规律方法求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利 用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域。 本节要点归纳 (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为 1.知识清单： y=ax2十bx十c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结 (1)函数的定义； 合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次 (2)求函数的定义域、判断是否为同一个函 函数最值的求法」 数，求函数值、求函数的值域， (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元， 2.方法归纳：数形结合法、数学抽象。 可将复杂的函数化归为简单的函数，再结合基本函数 3.常见误区：化简函数的对应关系时要注意 自变量的取值范围求函数的值战 定义域的变化. 66 §1生活中的变量关系S2函数 学以致用·随堂检测促达标 1.函数f(x)=x十☐ 的定义域是( ) A.(-o∞，十∞) B.(-∞，-1] C.(-1,0) D.[-1,0)U(0,+∞) B 2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同 一个函数的是() Afa）s看 O12 12 B.f(x)=,g(t)= D 4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 Cf)2gx)-是 D.f(x)=x,g(x)=lx (2)(2025河南开封高一期末)已知函数 3.若A={x|0≤x≤2}，B={y1≤y≤2}，下列 fx)=x-的值域为[0，+eo),则f) 图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数 的定义域可以是 的是() 2.2 函数的表示法 第1课时函数的表示法 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用 换元法和代入法求函数的解析式。 学习目标 2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数。 3.能利用函数图象求函数的值域，并确定函数值的变化趋势. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1函数的表示法 续表 常用的函数的表示方法有三种，具体如下： 任何一个表格内 表示 标出的数都是有通过图象很 解析法 列表法 图象法 用解析式表示函 方法 限个，只能表示有难得到每个 数时容易漏掉其 在函数y=∫(x)通过列出自变量 限个数值之间的自变量取值 用“图形”表 缺点定义域，而且对 (x∈A)中，f(x) 与对应函数值的 函数关系，若自变对应的精确 定义 于一些实际问题 用代数式（或解析表来表示函数关 示函数的 量取值有无限多函数值，误差 式)来表达的方法 系的方法 方法 很难得到解析式 个，则只能给出局较大 通过解析式可以可直接通过表 部的对应关系 求出任意一个自格读数，不必通可以通过图 变量所对应的函过计算就表示象直观地显 名师点睛 优点 数值，较便利地出两个变量之示函数的局 由列表法和图象法的概念可知，函数也可以说就 利用代数工具研间的对应值，非部变化规律 是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量 究其性质 常直观 工的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 672.B当x=0时，p不成立，当x=1时，q成立，故p很q 真，故选B 3.BA二B,.a一2=0或2a-2=0.若a-2=0,则 a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A在B:若2a-2=0,则 a=1,A={0,-1),B={1,-1,0},A二B成立.故选B 4.C由“Vx∈[-1,2]，m≤x2+1”是真命题可知，不等 式m≤x2十1在x∈[-1,2]上恒成立，因此只需m≤(x2+ 1)x∈[-1,2]，易知函数y=x2+1在x∈[-1,2]上的最 小值为1，所以m≤1，即实数m的取值范国是（一∞，1]。 5.D解不等式x°一6x十5<0，得1<x<5,所以不等式 x”一6x十5<0成立的一个充分不必要条件，对应的范围应孩 是集合{x|1<x<5}的真子集.故选D, 6D周为x>0,y>0,由xy十2z一y=10,辩x=2,所 以x+y搜+2y+2-122g+0-1 8 8 42一1，当且仗 y十2)y十2即y=22-2时，等号成立.故 8 x十y的最小值为42-1. 第二章 函数 §1生活中的变量关系 §2函数 2.1函数概念 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 2.难一确定 【思考辩析】 1.提示不一定.f:A→B为从集合A到集合B的一个函 数，则画数的值域C是集合B的子集，即C二B。 2.提示确定 【自主诊断】 1.(1)×(2)× 2.解定义域为A=(t10≤1≤26}，值域为B={h|0≤h≤ 845》.对应关系h=130一52把集合A中的任意一个数t,对 应到集合B中唯一确定的数1301一5t2. 3.解f:A→B是从集合A到暴合B的函数，定义城为 A={1,2,3,4,5},值城为{2,3,4,5}. 知识点2 【思考辨析】 提示定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同 一函数，因为函数的定义城和值城不能唯一地确定函数的对应 -3 关系，例如y=x十2和y=x就不是同一函数 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)/ 2.解(1)不是同一个函数.因为前者的定义域为[0,26]，而 后者的定义域为R (②)不是同一个函数.因为前者的定义城为R,而后者的定 义域为(-∞，0)U(0,十∞). ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一函数关系的判断 【例1】(1)B(2)D(1)①错误，当x=2时，在N中无元 素与之对应：②正确，③错误，当x一2时，对应元素y一3任N； ④错误，当x一1时，在N中有两个元素与之对应 (2)根据函数的定义，对于D,对于集合A中的部分元素， 集合B中没有元素与它对应，故不正确。 【变式训练1】(1)B(2)D(1)A中的定义域不是[一2,2]，C 中图形不满足唯一性，D中的值城不是[0,2】故选B (2)只有y=x是符合题意的对应关系.故选D 探究点二求函数的定义域 【例2】解(1)要使函数有意义，自变量工的取值必须满足 z+2≠0，即 x≠-2， 解将x<0,且x≠一2. x一x≠0，|x≠x, 故函数的定义城为（一9，一2）U(一2,0). (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 4-x20,x4 即 故函数的定义城为(-∞，1)U(1,4]. x-1≠0，x≠1. x+10, 【变式训练2】解(1)因为函数有意义当且仅当 √x+1≠0， 解得x>一1，所以函数的定义城为（一1，十○）. x≠0， (2)因为函数有意义当且仅当 x+2≠0， 解得x≠0且x≠一2，因此函数的定义城为（一∞，一2）U (-2,0)U(0,+∞). 探究点三求抽象函数、复合函数的定义域 【例3】(-1,2) (2)(-1,5)(3)(0,6)(1)由 -1<2x+1<2,得-1<x<2, “f(2x十1)的定义城为(-1，号) (2)由一1<x<2,得一1<2x十1<5，∴f(x)的定义城为 (-1,5). (3)由(2)知f(x)的定义城为（一1,5），由一1<x一1<5， 得0<x<6,f(x一1)的定义城为(0,6). 【变式训练3】B因为函数f(x)的定义城为[一5,6]， 05 由-5<4-3<6，解得-号<x<8,故通数f-z)的定义 城为[-号，可，故选B 探究点四函数的求值问题 【例4】解(1)f(2)=2+2-1=5, f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a+3a+1. (2)f(x)=x+x-1=5,.x2+x-6=0, 解得x=2或x=-3, 11 【变式i训练4)解(f代2)=1中23g(2)=2+2=6 2g2)=g(）-(3)'+2-号 1 1 f(gx)=1+gm-+3x∈R (37gzx+3=4,即r1,得x=士1 探究点五同一个函数 【例5】(1)②③①由一2x3>0,得x<0,所以f(x) 一x√一2正，又g(x)=x√一2证，对应关系不同，故f(x)与 g6)不是网-函数：0fx)-2-1(x≠0gx)-号-1 (红≠0)，对应美系与定义域均相同，故是同一函数：③f(x)= x2-2x一1与g()=t2-2一1，对应关系和定义域均相同，故 是同一函数 (②解不是对于画教y=可·币，由一D0, x+120, 得x≥1，故定义战为{xx≥1：对于函数y=√（红十1）(x-1D, 由(x十1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥ 1或x≤一1}.显然两个函数定义城不同，故不是同一函数 【变式训练5】⑤Df(x)与g(x)的定义城不同，不是同 一个函数： ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一个函数： f(x)=|x十3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一个 函数： ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数： ⑤f(:)与g(x)的定义域，对应关系都相同，是同一个函数 探究点六求函数的值域 【例6】解(1)√丘≥0，.√丘-1≥-1，y=丘-1的 值域为[-1，十o∞). (2)x∈{一2，一1,0,1,2,3}，把x=-2,一1,0,1,2,3代 入y=x2-2x+3中，得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3 的值域为{2,3,6,11}. 39 （8y--27=2+子里热子0，所 x-3x-3 以y≠2，故函数的值拔为(-o∞，2)U(2,+o∞). (4)设t=√-I,则t≥0，且x=t2+1,所以y=2(:+ 1》-12北-》'+识由≥0，培合高数的图象（周感）可得 函数的值城为[臣，+) 【变式训练6)解(1)0≤16-x2≤16，∴.0≤√16一x≤4，即 函数y=√/16-x的债城为[0,4]. (2)y=x2-4x十6=(x-2)2+2,其中1≤x≤5，由函数图 象（图略）可知y∈[2,11]. 1 1 (8心y=弄=1有且定义域为≠一…心市≠ 0,脚y1.通数y=币有的值城为(-，1U1,+m (4)令t=√/1一x(t≥0)，则x=1一t2, 则y=-2:+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0)，由图象（图 略)可得函数y=2x十4√1一x的值城为（一∞，4]. Q学以致用·随堂检测促达标 x+1≥0， 1.D要使函数有意义，则《 解得f(x)的定义域 x≠0， 为[-1,0)U(0,十∞.故选D. 2.ACD对于速项A,C,数的定义城不同：对于选项D, 两个函数的对应关系不同， 3.BA中值战为{y0≤y≤2)，故A错误：C,D中值域为 1,2},故C,D错误，B符合题意，故选B 4.(1)(一1,3](2)[一1,0)U[1,+∞)（答案不唯一） 2岭x-≥0，解得-1<0浅， 则f(x)的定义域可以是[一1,0)U[1,十∞). 2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 @基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示由题意可知，一开始建度较快，后 来速度变慢，所以开始曲线比较陡崤，后来曲 线比较平媛，又纵抽表示离校的距离，所以开 始时距离最大，最后距离为0，图象如右。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)× 2D令是=2，则x=号f2-+1-是故选D 1 6