1.3.2 第2课时基本不等式的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

知识点2(1)子(2)2万 x+y≥2xy>0,y+z≥2>0，x+z≥2Vxz>0, .(x+y)(y+z)(z+x）≥8yz 关键能力攻重难 当且仅当x=y=z取得等号 例1：C选项A中，+好≥（当且仅当x=乃时，2+子=小，易错警示 例4：Bx+2y=1,x>0,y>0, 放选项A不正确：选项B中，+士≥2(>0)，+≤ +=x+2)(仕+）=3+2=3*2（当且 1 -2(x<0),故选项B不正确；选项C中，x2-21x+1= (1xl-1)2≥0(xeR),故选项C正确；选项D中，x2+1≥1， 仅当=2y,即x=2y时，等号成立). 则0<1，故选项D不正确 =万-1y=1-号 对点训练1：D对于A,若a=b时，a2+b2=2ab,则A中的不等 式不恒成立.当a<0,b<0时，选项B,C不成立，故选D. 放当=-1=1-时+有最小值3+2万 2 2 例2：(1)因为x<3,所以x-3<0, 课堂检测固双基 所以到3+=3+(x-3)+3 :1.A若不等式m2+1≥2m,由基本不等式等号成立的条件知 m2=1,即m=1(m=-1舍去) -+(3-+3≤-2√写3-+3=-1,2.C由若本不等式知v而≤ 2 当且仅当3。=3-，即=1时取等号。 a>6>0瓜<，故选C 所以f(x)的最大值为-1. 3.A≥G （2)因为，y是正实数，所以(x+y)(子+子）=4+420x+)≥2网=200-20（当且仅当x=y=10时取等 (任+）=4+26 号) 5.证明： (-±2a+h 4 当且仅当义=3江，即x=2(5-1),y=2(3-5)时取等号. y _0-2ab+b_a-b)≥0， 4 4 又+y=4,所以上+2≥1+要故上+的最小值为1 y (生≥a6,即≤( + 第2课时基本不等式的应用 对点训练2：0,3 由0<x<1知3-2x>0, : 关键能力攻重难 放3-2-方8-2可≤22+-2-34当 例1：由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0. 2 2 原不等式等价于6+名总≥m 且仅当2x=3-2,即x=子时，上式等号成立 要使原不等式恒成立，只需：言+名的最小值不小于m 所以0<(3-2x≤32 即可 4 ..a-c:a-c=(a-b)+(6-c).(a-6)+(6-c) (2)1由+=4，得+=1.所以口+6 1 a-b b-c a-b b-c (+茹)+=宁++元宁+ b a V446=1.当 -2+8后+2≥2+2V-4,当且仅当- 且仅当给-品即ú=6，又+名=4，解得a=6号时取等 8总 即2b=a+c时，等号成立， 号 ∴.m≤4，即m的取值范围为mm≤4}. 例3：证明：a>b,∴a-b>0.又ab=1, 女±2-2边-a-2咖-u-6+26 2 对点训练1：a≥}因为x>0,所以x+士≥2，当且仅当 a-b a-b a-b 2a-6名。-2叫装=2.即。+f2aa x=1时取等号，所以有2+3x+1 ,当且仅当a-6-己5即a-6=取等号 1 F+3x+的最大值为写故a≥行 对点训练3：证明：：x,y,z是正数， 例2：(1)设每间虎笼长xm,宽ym,则由条件知：4x+6y=36,即 -284 2x+3y=18 设每间虎笼面积为S,则S=xy 于是y2+≥0)， 方法一：由于2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy, 当t=0时，y=0. 21 当t>0时，y= s 1 1 所以26≤18，得y≤乞， 1 41 即S≤子，当且仅当2x=3时，等号成立 2√2 2+3y=18 解得厂=4.5， 当且仅当21= (2x=3y, y=3. 即：=时y有最大值为票 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大， 方法二：由2x+3y=18,得x=9- 2 由+2= 因为>0，所以9-多>0，所以0<y<6,S=y=(9-2 3 解得x=一2 3 =子6-)y因为0<y<6,所以6-y>0,所以5≤ 即x=一子，有最大值为 3 [6- 课堂检测固双基 1.C令t=x-2,则t>0, 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 4 4 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. x+ 4+2≥2 i. +2=6 t (2)设每间虎笼长xm,宽ym,由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y 当且仅当t=4,即t=2,x=4时， 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, x+4 +x-2x>2)的最小值为6 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48. 当且仅当2x=3y时，等号成立. 2. 9 由2=3解得=6， lxy=24 y=4. y.4x=4 4++汉0>0，则+≥2√ 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 方法二：由y=24,得x=24 (当且仅当子时取等号)小，则+≥产×(5+4) 所以1-+6+6y=6+y=62V9 /16 y ·y=48 1 当且仅当6=y即y=4时，等号成立，此时x=6. 3.16 与=4≤=6当豆仅当x=4=时 取等号 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 4.1760设池底一边长为xm,总造价为y元. 对点训练2：AD由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 士=7+000-20≥2、 /Lx.80000-200=200, 则y=4x120+22+2×4）×80=320(x+)+40x>0), 2* 当且仅当分=80，即=0时等号成立。 因为x+≥2√=4，当且仅当=即2时取等 号，所以ymm=480+320×4=1760(元). 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本 最低，最低成本为200元. §4一元二次函数与一元二次不等式 设该单位每月获利为S元， 则5=10x-y=100x-(22-200x+80000=-7 4.1一元二次函数 必备知识探新知 300-8000=-7(x-3002-3500,因为xe[40, 知识点11.y=ax2+bx+c(a≠0)二次项系数常数项 600], 知识点2上下h(h,k)[h,+o）[h,+∞)kk 所以Se[-80000,-40000].故该单位每月不获利，需要国关键能力攻重难 家每月至少补贴40000元才能不亏损。 例1：(1)Ay=(x-1)2+2,先向右平移3个单位长度得y= 易错警示 (x-1-3)2+2,即y=(x-4)2+2,再向上平移5个单位长度 例3：设t=√x+2≥0， 得y=(x-4)2+2+5,即y=(x-4)2+7. 则x=2-2. (2)①由-x2-2x+3=0得-(x+3)(x-1)=0,解得x=-3 -285032 课堂检测 固双基 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是 5.卫知abeR,求证，6s A.m=1 B.m=+1 C.m=-1 D.m=0 2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( A.a-b<0 B.0<号<1 C.√ab<a+b 2 D.ab>a+b 3.对于任意正数a,b,A是a,b的算术平均数，G 是a,b的几何平均数，则A与G的大小关系 是 4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10] 为 第2课时 基本不等式的应用 关键能力 攻重难 ●题型一利用基本不等式求参数范围 归纳提升： 1.恒成立问题常采用 例1设a>6>,且。6+6。产。相成立求m的取值范周 分离参数的方法求 解，若a≤y恒成立， 则a≤ymn:若u≥y 恒成立，则a≥ymr 将问题转化为求y的 最值问题，可能会用 到基本不等式 2.运用基本不等式求 参数的取值范围问题 在高考中经常出现， 在解决此类问題时， 要注意发掘各个变量 之间的关系，探寻思 路，解决问题. [归纳提升] )对点训练1 若对任意x>0,+3x+1 a恒成立，则a的取值范围是 033 ●题型二 基本不等式的实际应用 归纳提升：在应用基 2.如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 本不等式解决实际问 题时应注意的问题 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。 （1)设变量时一般把 (1)现有可围36长网的材料，每间虎笼的长、宽各设 求最大值或最小值的 计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 变量定义为函数 (2)要使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少 (2)建立相应的函裁 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 关系式，确定函裁的 [分析](1)已知a+b为定值，可用基本不等式求ab的最大值 定义域 (2)已知ab为定值，可用基本不等式求a+b的最小值 (3)在定义域内再利 用基本不等式，求出 函数的最值 (4)回到实际问题中 去，写出实际问题的 答案 ●[归纳提升] 》对点训练2 (多选题)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺， 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数 关系可近似地表示为y=7-20x+800,且每处理一吨二氧化碳得到 可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是 ( A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B.该单位每月最低可获利20000元 C.该单位每月不获利，也不亏损 D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 ●易错警示基本不等式求最值时，分类讨论不全致错 例3.术函数y=号的最大值 [错解]设t=√x+2≥0，则x=t2-2. 于是y 22+7u≥0). 1 1 当t>0时，y= +2,/21. 1/ 当且仅当2=即1-竖时，y有最大值为月 034 由=经部秀=昌 即x=一 2少有最大值为2 [辨析]把√x+2看成一个整体→函数转化为用√x+2来表示→找出其内在的形式特点→用 基本不等式来处理，但是未对t=0,>0两种情况讨论，导致解答过程不完整而错误。 [正解] [点评]利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要 首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值 课堂检测 固双基 1若>2，则+2的最小值为 为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水 A.2 B.4 C.6 D.8 池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m,80 2设>0.y>0,+y=4,则+手的最小值 元/m,那么水池的最低总造价为 元 y 为 夯基提能作业 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值 请同学们认真完成练案[11] §4一元二次函数与一元二次不等式 课标要求 核心素养 1.理解一元二次方程与二次函数的关系， 2.掌握图象法解一元二次不等式。 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变 3.会从实际情境中抽象出一元二次不等式 化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元 模型， 二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然 4.会解可化为一元二次不等式（组）的简单 后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方 分式不等式 程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二 5.会用分类讨论思想解含参数的一元二次不 次函数解一元二次不等式的程序，培养学生数学 等式 抽象，直观想象，逻辑推理等核心素养 6.会解一元二次不等式中的恒成立问题，