1.4.2 一元二次不等式及其解法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

038 4.2一元二次不等式及其解法 必备知识 探新知 知识点1一元二次不等式 (1)定义：形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+ 有两个不相 有两个相等 c<0,或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0（其中 ax2+bx+c=0 等的实数根 的实数根x 无实数根 x为未知数，a,b,c均为常数，且a≠0)的不等式 (a>0)的根 x,2（x1< =x2=-2 叫作一元二次不等式. 2) (2)一元二次不等式的解集：使一元二次不 等式 的所有 的值组成的集合叫 ax2+bx+c>0 xlx>2或 作这个一元二次不等式的解集. R (a>0)的解集 x<x1} {} 知识点2二次函数与一元二次方程、 元二次不等式的解的对应关系 ax+bx+c<0 xlx<x< 4=62-4ac 4>0 4=0 4<0 0 0 (a>0)的解集 x2 y↑ y=ax'+bx +c (a>0)的图象 关键能力 攻重难 归纳提升：解一元二次不 ●题型一 解一元二次不等式 等式的步骤 (1)对不等式变形，使 例1解下列不等式 不等号一端二次项系数大 (1)2x2-3x-2>0;(2)-x2+2x-3<0;(3)-3x2+5x-2>0. 于0，另一端为0，即化 [分析]根据三个二次之间的关系求解即可. 为ax2+bx+c>0(a>0) 或ax2+bx+c<0(a>0) 的形式 (2)计算相应的判 别式 (3)当4≥0时，求出 相应的一元二次方程 的根. (4)根据对应的二次 数的图象，写出不等式 的解集. [归纳提升] ●039 )对点训练1 归纳提升：给出了一元二 （多选题)下列不等式中，解集为R的是 () 次不等式的解集，则可知 A.x2-x+1>0 B.x2-x+1<0 a的符号和ar2+bx+c=0 C.4x2-4x+1≥0 D.4x2-4x+1≤0 的两实根，由根与系数的 关系可知a,b,c之间的 ●题型二三个“二次”的关系 关系 例2已知不等式a二i+2<0的解集为x1<x<21,求a,b的值 (1)如果不等式ax2+bx [分析]给出了一元二次不等式的解集，则可知α的符号和方程 +c>0的解集为{xld<x< ax2-bx+2=0的两根，由根与系数的关系可求a,b的值. e,则说明a<0,x1=d, 为=e分别为方程ax2+bx+ c=0的两根，即d+e= 合1。=台话得集为 {xx<d或x>e},则说明 a>0,x=d,为=e分别为 方程ax+bx+c=0的两 根，即d+e=合de (2)如果不等式ax2+bx +c<0的解集为{xld< x<e},则说明a>0,x1= d,2=e分别为方程a2+ bx+c=0的两根，即d+e 。[归纳提升] )对点训练2 为{xlx<d或x>e,则说 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，求不等式bx2+ 明a<0,x1=d,x2=e分 2ax-c-3b≥0的解集. 别为方程ax2+br+c=0 的两根，即d+e=-么 040 ●题型三解含有参数的一元二次不等式 例 3.解关于x的不等式2x2+ax+2>0. [分析]二次项系数为2,4=a2-16不是一个完全平方式，故不能 归纳提升： 确定根的个数，因此需对判别式△的符号进行讨论，确定根的个数. 在解答含有参裁的一元 二次不等式时往往要 对参裁进行分类讨论， 为了做到“不重不 漏”，一般从如下三个 方面进行考虑： [归纳提升] (1)关于不等式类型的 讨论：二次项的系裁 】对点训练3 a>0,a=0,a<0 解关于x的不等式ax2-x>0. (2)关于不等式对应方 程的根的讨论：两异根 (△>0)，两等根 (4=0),无根(4< 0). (3)关于不等式对应 方程的根的大小的讨 论：x1>x2,1=X2 x1<x2: 课堂检测固双基 1.求下列不等式的解集： 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值 (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x2-7x≤10； 等于0？大于0？小于0？ (3)-+4-4<0:(4)-x+4<0: (1)y=3x2-6x+2; (2)y=x2+6x+10: (5)-2x2+x≤-3；(6)x2-3x+4>0. (3)y=-3x2+12x-12. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13]或x=1,当x=0时，y=-02-2×0+3=3,所以此函数图象 与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为 方法二：因为y=82-(m-1)x+(m-7)=8(x716+ (0,3) (m-7)-（m-1)2 32 ②配方，得y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点坐标为 (-1,4),对称轴为直线x=-1. 所以y=m-7-m2)-0,化简得(m-9)(m-25)=0. 32 ③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图： 解得m=9或m=25. 课堂检测固双基 1.B由2x(3-x)=0得x=0或x=3,可知图象与x轴的交点 为(0,0)，(3,0)，排除A,C.又y=2x(3-x)=-2x2+6x,所 以图象开口向下，故排除D. 2.A因为y=2(x-3)2+1,其中a=2>0,所以抛物线的开口 ! 向上，顶点坐标为(3,1). 对点训练1：(1)16配方，得y=x2-8x+c=(x-4)2+c-16, 3.D函数y=-3x2+1的图象的顶点坐标为(0,1)，将抛物线 所以此函数图象的顶点坐标为(4，c-16),根据题意得c-16 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后 =0,所以c=16. 抛物线的顶点为(1,3)，则y=-3(x-1)2+3. (2)①配方，得)y=72-6c+21=(x-6)2+3,所以函数4D因为点4，B均在函数图象上，且B与x轴平行，所以点4 与点B关于对称轴x=2对称，又因为A(0,3),所以AB=4, y=分-6x+21的图象可以由函数y=之2的图象向右平 yB=yA=3,所以点B的坐标为(4,3). 移6个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到： 5.(1)配方得y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,所以该函数图象开 ②此函数图象的对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,3) 口向上，对称轴为直线x=1; 例2：配方，得y=3x2-6x-1=3(x-1)2-4. 当x=1时取得最小值，最小值为ymn=-5. 该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1,所以此函数在区 (2)配方得y=-5x2-20x-26=-5(x+2)2-6,所以该函数 间(-∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间 图象开口向下，对称轴为直线x=-2; [1,+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大 当x=-2时取得最大值，最大值为ym=-6. 对点训练2：(1)C函数y=-m+5的对称轴为x=受，因为 4.2 一元二次不等式及其解法 在区间(2，+0)上，函数y=x2-mx+5的函数值y随x的增必备知识探新知 大而增大，所以？≤2，解得m≤4. 知识点1(2)成立未知数 (2)①因为y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7) 关键能力攻重难 点，得7=-0+(m-1)×0+m,所以m=7; 例1：(1)因为4>0，方程2x2-3x-2=0的根是x=-2 则y=-x2+6x+7,令-x+6x+7=0,(x-7)(x+1)=0,所 =2 以x-7=0或x+1=0,所以x=7或x=-1,所以此函数的图 象与x轴的交点为(7,0)，(-1,0) 所以不等式22-3x-2>0的解集为{<-号或x>2} ②因为y=-x2+6x+7=-(x-3)2+16,所以对称轴为直线 (2)原不等式可化为x2-2x+3>0,由于4<0，方程x2-2x+ x=3,所以在区间(-∞，3]上，y随x的增大而增大：在区间 3=0无解，所以不等式-x2+2x-3<0的解集为R [3,+∞)上，y随x的增大而减小 (3)原不等式可化为3x2-5x+2<0,由于4>0，方程3x2-5x 例3：(1)配方：y=7-2x+4=7(x-2)2+2,此函数的图象 土2=0的两根为x1=名，名=1 是一条抛物线，开口向上且对称轴为x=2,所以当x=2时， Ymin =2. 所以不等式-3x2+5x-2>0的解集为{x (2)①y=-x2+4x+c=-(x-2)2+c+4,此函数图象的对 对点训练1：AC 12, 3 称轴是直线x=2. 对于选项A,B,2-x+1=(x2)+4>0,故 ②由①得，当x=2时，函数的最大值为ym=c+4=-3,所以 x2-x+1>0的解集为R,x-x+1<0的解集为)，故A正确，B c=-7. 错误；对于选项C,D,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0，故42-4x+1≥ 对点训练3：(1)6因为y=-2+6x-3=-(x-3)2+6, 所以此函数在x=3处取得最大值6，即ymm=6. 0的解集为k,-4+1≤0的解集为=宁}放选项C正 (2)9或25方法-：由题意得4×8(m-7)-(m-1) 确，D错误 4×8 =0,例2：方法一：由题设条件知a>0,且1,2是方程am-6x+2=0 即(m-1)2-4×8(m-7)=0.解得m=9或m=25. 的两实根。 -286 1+2=6 (3)原不等式等价于x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,所以原不 由根与系数的关系，知 解得∫a1, 等式的解集是{xx≠2. 2 1×2= lb=3 (④因为产-+子=(x-)广≥0，所以原不等式的解集 方法二：把x=1,x=2分别代人方程a2-bx+2=0中，得 为☑ 「a-b+2=0, fa=1. 14a-2b+2=0, 解得 (5)原不等式等价于(x+1)(2x-3)≥0，所以原不等式的解 b=3. 对点训练2：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为xlx≤-3或x≥ 来是名或≤- 4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根， （6因为F-3+4-(:-引+子>0，所以原不等式的解 7 [-3+4=-6 [b=-a, 即 集为R 由根与系数的关系可得 -3×4=a C c=-12a. 2.(1)使y=3x2-6x+2的值等于0的x的取值集合 所以不等式bx2+2ax-c-36≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0，即 是3 x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5，故所求不等式的解集为xx 使y=3x2-6x+2的值大于0的x的取值范围是 ≤-3或x≥5}. 例3：对于方程2x2+a+2=0,其判别式4=a2-16=（a+4)(a {<3,或>3使y=32-6+2的值小于0的 3 3 -4). x的值为x ①当a>4或a<-4时，4>0，方程2x2+ax+2=0的两根为 x=（-a-层16=(-a+层-16 (2)令x2+6x+10=0,则方程无解，又由y=x2+6x+10图象 的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0. .原不等式的解集为 (3)令-3x2+12x-12=0,则x=2,又由y=-3x2+12x-12 {<(-a-后-16)或x>(-a+Vg-16)】 图象的开口方向朝下，故x=2时，函数的值等于0，当x≠2 时，函数值小于0. ②当a=4时，4=0，方程有两个相等实根，x1=x2=-1, “原不等式的解集为xx≠-1}. 4.3 一元二次不等式的应用 ③当a=-4时，△=0，方程有两个相等实根，x1=x2=1, 关键能力攻重难 .原不等式的解集为{xx≠1}. 例1：对于所有实数x都有不等式mx2-2x+m-2<0恒成立， ④当-4<a<4时，4<0，方程无实根，故原不等式的解集 为R 即函数y=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.当m=0 时，-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立： 综上所述，当a>4或a<-4时，不等式解集为{：x<子(-a 1 当m≠0时，由二次函数的图象可知有 fm<0, -后-16)或>子(-a+V后-16)}：当a=4时，不等式 解得m<1-√2 L△=4-4m(m-2)<0, 解集为{xx≠-1}：当a=-4时，不等式解集为xlx≠1}：当 综上可知，m的取值范围是{mlm<1-√2. -4<a<4时，不等式解集为R 对点训练1：若a=0时，原不等式为-2x-2≤0不恒成立，所以 对点训练3：(1)当a=0时不等式为-x>0,所以x<0, a≠0. (2)当a≠0时，方程a-=0的两根为0与日 当a0时，则应有0，即<0， 14≤0,1(a-2)2-4a(-2)≤0， ①当a>0时，>0，所以x>1或x<0: 整理得∫<0， 1(a+2)2≤0， 解得a=-2. ②当a<0时， 1<0,所以1<x<0. a 所以实数a的值为-2. 综上，当a>0,不等式的解集为>。或x<0} 8=m7 例2设方程两根分别为，则x+=m。 8 当a=0时，不等式的解集为xlx<0};当a<0时，不等式的 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x2-1>0, 解集为{日<< r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 故有(x1-1)+(2-1)>0, 课堂检测固双基 (x1-1)(x2-1)>0, 1.（1)(x+2)(x-3)=0的两根为x1=-2,32=3 (m-1)2-32(m-7)≥0， 所以原不等式的解集为xlx>3或x<-2}. (2)原不等式等价于(x+1)(3x-10)≤0，所以原不等式的解 m-1-2>0, 即 集是{-1≤≤} m-7_m-l+1>0, 88 —287