1.3.1 不等式的性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

因为-x+子-(：-)广≥0，所以是真命题 故选C:对于D选项，当c=0时，不正确 对点训练2：C当a<0,b>0时，a2<b2不一定成立，故A错 (3)一切分数都是有理数，是真命题 误.因为ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ad符号不确定，故B 对点训练2：(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分. 能误市点-洁c0断哈六数c正确D中会与 11 (2)真命题.Hx∈xIx是无理数}，x2是有理数 (3)真命题.在同圆中，同弧所对的圆周角不相等。 1 (4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而 名的大小不能确定. 减小 例3：证明：因为a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所 易错警示 以 例3：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以 以0 被5整除的数，末位不是5. 所以1-1>0，所以 a-b a-c 以6+。0又6-e>0, (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3 所以，。>0所以。++。>0 1 整除的数，不能被4整除， 课堂检测固双基 ;对点训练3：证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0. 1.D全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C;由命题 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. 的否定只否定结论，不否定条件，可排除A、B. 1 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A:由命题 所以(a-c)2>(b-d)2>0.所以0< (a-c)2<(b-d)2 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 e 词“V”,可排除B. 又因为e<0,所以e (a-c)>6-d 3.D全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“x∈Z,易错警示 x∈R”的否定是3x∈Z,xR. 4.3x∈A,lxl+1<1命题“HxeA,Ixl+1≥1”是全称量词命 例4：时<号<415<6<36,6古<6又12<a<0, 1 题，它的否定是“3x∈A,Ix1+1<1”. 六8号8专<号<4放填 <6<4， 5.(1)“VneA,n<12”的否定是“3neA,n≥12” 此命题是真命题， 课堂检测固双基 (2)“3x∈xIx是奇数}，x∈A”的否定是“Hx∈ :1.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， {xx是奇数}，x庄A”. .a-b≥0即a≥b,故选C. 此命题是假命题 2.B因为c<d<0,所以-c>-d>0, §3不等式 所以>>0 3.1不等式的性质 又a>6>0,所以日>。所以号<名 3.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 必备知识探新知 的性质4知，D一定成立. 知识点1正数a-b>0a-b=0负数a-b<0 4.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知， 知识点2a>cac<bca+c>b+dac<bda">b” ! (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 9a>6 关键能力攻重难 可逆性，放②错误：对于③，只有当a>0且a>6时，名<1才 例1：因为。(1+a)=亡。-1+-山： -1-a ①： 成立，故③错误：对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3 1-a1-a )当0=0时亡。0，所以亡 0=(a-6(d2++6)=(a-6[(a+)+]>0,放 4a1+a a>b3,④正确. （2当a<1,且a0时名。>0，所以。>1+a 5.<.a>b>0,∴.a>b">0, （8)当a>1时，。<0，所以亡。<1+a 即。<产 对点训练1：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1) 3.2基本不等式 +(x-1)=(3x2+1)(x-1). 因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0. 第1课时基本不等式 所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1. 例2：C若a<b<0,对于A选项，当a=-2,b=-1时，不成立；必备知识探新知 对于B边项，等价于a>6,放不成立：对于C选项，六<。<0， 知识点1心+6≥2ba=6瓜≤生大于或等于 -283●027 §3不等式 3.1不等式的性质 课标要求 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等 1.在相等关系与不等关系的学习中，学生通 关系 过类比学过的等式与不等式的性质，进一 2.了解不等式（组）的实际背景，会用不等式（组） 步探索等式与不等式的共性与差异，培养 表示不等关系 学生逻辑推理核心素养 3.掌握不等式的性质及应用. 2.能运用等式的性质或不等式的性质解决相 4.会用作差法（或作商法）比较两个实数或代数 关问题，培养学生数学建模，数学运算的核 式值的大小 心素养 必备知识探新知 知识点1比较两个实数a,b大小的基本知识点2 不等式的性质 事实 序号 性质内容 文字语言 符号表示 1 如果a>b,且b>c,那么 如果a>b,那么a+c>b+c 如果a-b是 ,那么 a>b台 a>b,反过来也成立 (1)如果a>b,c>0,那么ac>bc 3 (2)如果a>b,c<0,那么 如果a-b等于0，那么a a=b台 4 如果a>b,c>d,那么 =b,反过来也成立 (1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd 如果a-b是 ,那么 (2)如果a>b>0,c<d<0,那么 a<b台 特殊地，当a>b>0时， ,其中neN,n≥2 a<b,反过来也成立 6 当a>b>0时， 其中neN,n≥2 关键能力 攻重难 ●题型一作差法比较大小 归纳提升：作差法比较大小 的步骤 例1.已知a≠1且aeR,试比较与1+a的大小 两个实数（或代数 式)的大小，可以根 [分析]作差→化简→判定差的符号→确定大小关系 据它们的差的特号 进行判断 (1)进行因式分解 转化为多个因式相乘 (2)通过配方转化 为几个非负实裁之和 注意题目本身提供 的宇母的取值范围 ●[归纳提升] 花 根据符号判断大小 028。 归纳提升：判断关于 )对点训练1 不等式的命题真假的 当x≤1时，比较3x与3x2-+1的大小 两种方法 (1)直接运用不等式 的性质：把要判断的 命题和不等式的性质 联系起来考虑，我到 与命题相近的性质， 然后进行推理判断. (2)特殊值验证法 给要判断的儿个式子 中涉及的变量取一些 特殊值，然后进行比 较、判断. ●题型二 不等式性质的应用 归纳提升：利用不等 式的性质证明不等式 例2.若a<6<0,则下列结论正确的是 () 注意事项 A.a2<b2 B.ab <b D.ac2 >be2 (1)利用不等式的性 质及其推论可以证明 [分析]通过赋值可以排除A,D,根据不等式的性质可判断B,C正 一些不等式解决此类 误。 [归纳提升] 问题一定要在理解的 )对点训练2 基础上，记准、记熟 设a,b是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是 不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地 A.a2<b2 B.ab2<a2b C.11 加以应用 (2)应用不等式的性 ●题型三 证明不等式 质进行推导时，应注 意紧扣不等式的性质 例3设>6>求证6++。0 成立的条件，且不可 [分析]不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式 省略条件或跳步推 成立. 导，更不能随意构造 性质与法则 [归纳提升] ●029 对点训练3 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证ae>6 ●易错警示 错用同向不等式性质 例 .已知12<a<60,15<b<36,分的取值范围是 12a60 [错解]12<a<60,15<b<36,5<6<36 4 5 [辨析]把不等式的同向不等式（正项）相乘的性质用到了除法，从而导致错误 [点评]若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可 加性与可乘性（正数），但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的 取值范围. 课堂检测 固双基 1.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则 ( ③a>b→0<1；④a>b→a3>b A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有 其中真命题的个数是 A>B名C>号 A.0 B.1 C.2 D.3 5.若a>b>0,则1 1 3.已知a>b,c>d,且c,d均不为0，那么下列不 (n∈N).(填 等式一定成立的是 “>”或“<”) A.ad>bc B.ac >bd 夯基提能作业 C.a-cxb-d D.a+c>b+d 请同学们认真完成练案[9] 4.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b2;②a2>b2→a>b>0; 3.2 基本不等式 课标要求 核心素养 1.了解基本不等式的代数和几何 1.本节学习时，学生先复习完全平方公式(a-b)2=2-2ab 背景 +b2,由(a-b)2≥0可得a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab. 2.理解并掌握基本不等式及其变形. 然后以√a,√b分别代替a,b推得基本不等式，从代数观点认 3.会用基本不等式解决简单的最大 识基本不等式，培养学生逻辑推理的核心素养 (小)值问题 2.掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实 4.会用基本不等式进行代数式大小的 例强化公式的应用技巧，培养学生数学运算，逻辑推理 比较及证明不等式 的核心素养