1.4.2 一元二次不等式及其解法&1.4.3 一元二次不等式的应用-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.一元二次函数y=一x2+2x一5有() A.最大值一5 B.最小值-5 C.最大值一4 D.最小值一4 2.(2025陕西渭南高一阶段练习)已知m<n,函 数y=(x一m)(x一n)十1的图象与x轴的交 点横坐标为a,b,且a<b,则( A.a<m<n<b B.m<a<b<n C.a<b<m<n D.m<n<a<b 3.(2025安徽毫州高一期中)已知函数f(x)= 4x2一kx一8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围为( ) A.(-∞，40)U(160,+∞) B.(-∞，20]U[80,+o∞) C.(-o∞，20)U(80,+∞) D.(-o∞，40]U[160,+∞) 4.2 一元二次不等式及其解法 1.了解一元二次不等式的现实意义 学习目标2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次 式基础落实·必备知识一遍过 知识点1一元二次不等式的概念 1.定义：一般地，形如ax2+bx+c>0,或 ax2+bx+c<0,或ax2+br十c≥>0，或ax2+ bx十c≤0（其中，x为未知数，a,b,c均为常数， 且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. 2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值 组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集， 名师点睛 1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所 要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并 不是说不等式中不能含有其他字母，若含有其他字 母，则把其他字母看成常数 50 4.函数y=x2一2x,当一1≤x≤t时，该函数的最 大值为3，则实数t的最大值为 5.已知某一元二次函数的图象与x轴交于点 A(2,0),B(4,0),且过点(1,3). (1)求此一元二次函数的解析式： (2)求当1≤x≤b(b>1)时该一元二次函数的 最大值和最小值. 4.3一元二次不等式的应用 式：并能用集合表示一元二次不等式的解集。 等式与相应函数、方程的联系。 2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未 知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0. 思考辨析 一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 略吗？ 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)mx2-5x>0是一元二次不等式. () (2)若m为不为0的实数，则mx2+5>0是一元 二次不等式 ( 知识点2一元二次不等式的解法 元二次函数与一元二次方程、不等式的解 的对应关系如下表： y=a.x2+bx十c(a>0) 方程ax2+ bx+c=0 △>0 △=0 △0 的判别式 △=b2-4ac 有两相异实数 方程a.x2十根x1.2= 有两相等实 数根x1= 没有 bx+c=0 -b±√b-4ac 的实数根 2a b 实数根 2= 2a (x1<xg） 函数y= ax2+bx+ c的图象 O成，=xi 不等式a2+ (-∞，x1)U{工x≠ a+c>0的 R (x2,十o) 解集 不等试ax2+ br十c<0的 (x1,x2) 0 0 解集 4名师点睛】 一元二次不等式ax2十bx一c>0(a>0)的求解 方法，如图 §4一元二次函数与一元二次不等式 2.已知下列不等式：①ax2+2x十1>0：②x2-y>0: ⑤-x2-3江<0：国3>0，其中-元二次不等 式的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ax2+bx+c>0 4=b2-4ac 4-=0 是 4>0 世 ax2+bx+c=0的 ax2+br+c=0的实数根 ax2+bx+c=0 实数根为x1=x2 为x1,x2,其中x1<x2 无实数根 y 4 Oxxx 原不等式的解集为 原不等武的解集为 原不等式的 (-o,xU1,+o∞) (-∞，x)U2,+o) 解集为R 说明：图中的函数图象仅为示意图 思考辨析 1.对任意的一元二次不等式，求解集的关键点有 哪些？ 2.一元二次不等式ax2+bx十c>0恒成立的含 义是什么，系数a,b,c之间有什么关系？ 51 数学「第一章预备知识 自主诊断 1,判断正误.（正确的画、/，错误的画×） (1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. 3.(人教A版教材习题)x是什么实数时，下列各式 () 有意义？ (2)若一元二次方程ax2十bx十c=0的两根为x1, (1)Wx2-4x+9;(2)W-2x2+12x-18. x(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+ c<0的解集为{x|x1<x<x2}. ( 2.(人教B版教材例题)求不等式x2一x一2>0的 解集。 重难探究·能力素养速提升 探究点一 一元二次不等式的求解 【例1】解下列不等式： (2)判别式。对不等式的左侧进行因式分解，若不 (1)2.x2-3x-2>0; 能分解，则计算对应方程的判别式 (2)-3x2+6x-2>0: (3)求实根，求出相应的一元二次方程的根或根 (3)4x2-4x+1≤0： 据判别式说明方程无实根， (4)x2-2x+2>0. (4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对 [课堂笔记] 应的一元二次函数的图象 (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 1变式训练1解下列不等式： (1)4x2-20x<-25: (2)(x-3)(x-7)<0: (3)-3x2+5.x-4<0: (4)x(1-x)≥x(2x-3)+1. 江规律方法解不含参数的一元二次不等式的 般步骤 (1)化标准，通过对不等式的变形，使不等式的右 侧为0，使二次项系数为正 探究点二分式不等式的求解 【例2】解下列不等式： 1)之1 2.x-1 0：(2) [课堂笔记] 52 规律方法1，分式的分子、分母同号时，分式为 正；异号时为负.转化为整式后分子、分母作为两因式 之积，同样是同号时为正，异号时为负 2.分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成 标准型>0(<0)或≥0（≤0），再化成整式不等式 来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可 探究点三不等 角度1已知不等式的解集求参数值 【例3一1】求实数a,b的值，使得关于x的 不等式a.x2十bx十a2-1≤0的解集分别为： (1)[-1,2]: (2)(-c∞，-1]U[2,+∞)； (3)[-1,+0∞). [课堂笔记] 规律方法1.一元二次不等式的解集的端点就是 对应的一元二次方程的根，要充分利用这个关系解题. 2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关 系，对于关于x的一元二次不等式a(x一x1)(x x2)>0(x1<x2),当a>0时，其解集是{xx<x1 或x>x2},当a<0时，其解集是{xx1<x<xz}. I变式训练3I已知关于x的不等式x2+ ax十b<0的解集为(1,2)，求关于x的不等式 bx2十ax+1>0的解集. §4一元二次函数与一元二次不等式 1变式训练2解下列不等式： 1)2二1 Dz+>0,22> x+31 式中的含参类问题 角度2含参数的一元二次不等式的解法 【例3-2】解关于x的不等式ax2一(a+ 1)x+1<0. [课堂笔记] ☒规律方法解含参数的一元二次不等式的步骤 二次项若含有参数应讨论它是 讨论二次 等于0，小于0，还是大于0，然 项系数 后将不等式转化为二次项系数 为正的形式 判断方程 讨论判别式4与0的关系，判断 根的个数 方程的根的个数 确定无根时可直接写出解集， 而确定方程有两个根时，要讨 写出解集 论两根的大小关系，从而确定 解集形式 1变式训练41解关于x的不等式x2十 3ax-4a2<0(a∈R). 53 数学「第一章预备知识 角度3不等式的恒成立问题 【例3一3】(1)已知不等式kx2+2kx一(k十 2)<0恒成立，求实数k的取值范围. (2)当x∈[1,2]时，不等式x2+mx+4<0 恒成立，求实数m的取值范围. [课堂笔记] 缸规律方法1.如图①，一元二次不等式ax2十 bx十c>0(a≠0)在R上恒成立台一元二次不等式 ax2十bx+c>0(a≠0)的解集为R白一元二次函数 y=a.x8十bx十c(a≠0)的图象恒在x轴上方→ {a>0, ymn>0 △0. 图① 图② 探究点四八一元三 【例4】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作 用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离 叫作刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹 车距离s(单位：m)与汽车的车速o(单位：km/h) 满足下列关系：s=孤+a为宿数，且n∈ N),做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示， 6<s1<8, 其中 14<s2<17. SA 10 0 40 70 54 2.如图②，一元二次不等式ax2十bx十c<0 (a≠0)在R上恒成立台一元二次不等式ax2十 bx十c<0(a≠0)的解集为R台一元二次函数y ax2+bx十c(a≠0)的图象恒在x轴下方曰ymm< |a<0, 0 △<0. 3.含参数的一元二次不等式在某一区间上恒 成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数 分离，转化为恒成立问题：另一种是利用一元二次 不等式根的分布及数形结合思想求解」 1变式训练5设函数y=m.x2-mx一1. (1)若对于一切实数x,y<0恒成立，求实数 m的取值范围； ★(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<-m十5恒 成立，求m的取值范围。 次不等式的实际应用 (1)求n的值； (2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的 最大速度是多少？ [课堂笔记] 4.0040 变式探究本例中，条件不变，若该型号的 汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通 事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超 过了25.65m,试问该车是否超速行驶？ 学以致用·随堂检测促达标 1不等式>0的解集为() A.{x|-6≤x≤1》 B.{xx≥1，或x≤-6} C.{x-6≤x<1} D.{xx>1,或x≤-6} 2.(多选题)(2025湖北高一期末)下列说法正确 的是() A.“Hx<1,x2<1”的否定是“3x<1,x2≥1” B“x[-5.3]”是不等式<0成立"的 必要不充分条件 C.一元二次不等式a.x2一2x+c>0的解集为 (-1,3),则a+c=-2 D.若a>0,b>0且ab=a+b十3，则ab≤9 3.若不等式4x2十ax十4>0的解集为R,则实数 a的取值范围是() A.(-16,0) B.(-16,0] C.(-∞，0) D.(-8,8) 4.已知a,b为实数，若关于x的不等式ax2十bx十 2>0的解集为(-1,2)，则a一b= §4一元二次函数与一元二次不等式 规律方法用一元二次不等式解决实际问题的 操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系， (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数 学中的一元二次不等式问题 (3)解一元二次不等式，得到实际问题的解。 本节要点归纳 1.知识清单： (1)解一元二次不等式的常见方法： (2)与一元二次不等式有关的恒成立问题： (3)利用不等式解决实际问题. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等 变形 3.常见误区：忽略二次项系数的符号：利用一 元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 5.解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0. 55·4.2一元二次不等式及其解法 4.3一元二次不等式的应用 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不能，必须保证a≠0. 【自主诊断】 1.(1)×(2) 2.A①中当a=0时，它不是一元二次不等式，②中有两 个未知数，它不是一元二次不等式：③是一元二次不等式：④是 分式不等式. 知识点2 【思考辨析】 1.提示①抛物线y=ax2十br十c与x轴的位置情况，也 就是一元二次方程a.x2十bx十c=0的根的情况：②抛物线y ax十bx十c的开口方向，也就是a的正负. 2.提示一元二次不等式ax8十bx十>0恒成立的含义是 指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且△= b2-4ac<0. 【自主诊断】 1.(1)×(2)× 2.解因为x一x一2=(x十1)(x一2)， 所以原不等式等价于(x十1)(x一2)>0. 因此所求解集为（一0∞，一1）U(2,十∞). 3.解(1)要使/x-4x+9有意义，需x2一4x+9≥0. 固为△=一20<0，所以方程x2一4x十9=0无实数根，所 以不等式x”一4x+9≥0的解集为R, 图此，当x∈R时，√一4x十9有意义 (2)要使/-2x2+12x-18有意义，雾一2x2+12x一18 0,即(x-3)2≤0，所以x=3. 周此，当x=3时，√/一2x+12x-18有意义 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一一元二次不等式的求解 【例】解(1)方程2x2-3z-2=0的解是x1=-立 xg=2因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线， 所以原不等式的解桑是女<一子或x>2小。 (2)不等式可化为3x2-6x十2<0. 方程3x2-6r+2=0的解是五1=1- 3心1+ 3 3 因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线，所以 原不学式的解集是女1-侣<<1+写 1 (③)方程红-4红十1=0的解是工1=工？=2，又知不等式 对应的函数的困象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集 是-》 (4)因为x2一2x十2=0的判别式△=4一4×1×2= 一4<0，所以方程x2一2x+2=0无实数解.又因为函数y= x2一2x十2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集 为R 【变式训练1】解(1)不等式可化为4x一20x+25<0, 于△=0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以 不等式的解集是心. (2)不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数 的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7). (3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于 判别式△=25-48=-23<0，函数y=3x2-5x十4的图象开 口向上，所以不等式的解集是R (4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+ 10.因为方程32-4红+1=0的两个根是号，1，画餐y 3x一4x+1的图象开口向上，所以不等式的解集是 探究点二分式不等式的求解 【例2】解(1)原不等式可化为(x十1)(2x-1)<0, -1红<，故原不等式的解集为{-1<} 2 (2)原不等式可化为已 1(x-1)(3x十5)≤0， 3x十5≠0， 故原不等式的解集为-号<<。 (8》原不等式可化为号1>0一名+2>0，中 x十2 子0c+20<-2故原不等式的解集为红<-2引， (2x-1)(3x+1)0, 【变式训练2】解(1)原不等式可化为 3x+1≠0， x6-3 解得 x一3 “原不等式的解集为{女<-行或≥号} x+3<0, (2)(方法一)原不等式可化为 任+30. 2-x>x+32-x<x+3, x>-3,x<-3, 解得 1戏 “原不等式的解集为-3<》： (方法二)原不等式可化为②）二+3》>0，化简得 x+3 年号0，中岩<0，(2x+1D+3)<0,解得-3< <一是原不等式的解集为-3<- 探究点三不等式中的含参类问题 【例3一1】解(1)由题意知a>0,且一1和2是关于x的方 a>0, 程ar十缸十a2-1=0的两个根，所以有一1+2=- a -1X2a-1 a 解得a=-1十√2，b=1-√2. (2)由题意知a<0,且-1和2是关于x的方程ax2+ a<0, b b虹+a2-1=0的两个根，所以有 -1+2■ a’解得 -1X2=a-1 a=-1-√2，b=1+2. (3)由题意知，原不等式必为一元一次不等式，所以a=0, /b<0, 从而不等式变为br-1≤0，于是应有 所以b=一1. 6=-1,1 【变式训练3】解：关于x的不等式x2十ax十b<0的解 集为(1,2)，.1,2是关于x的方程x2+ax十b=0的两个根. 由根与系数的关系，得 -a=1+2, b=1×2, 每/口一3， b=2. 将其代入所求不等式bx2+ax十1>0，得2x2-3r+1>0. 由2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得x<2或 x>1.故a2+ax+1>0的解集为(-6∞，2)U1,+o) 【例3一2】解①当a=0时，原不等式即为一x十1<0，解得 x>1. ②当a<0时，原不等式化为（女-日）x-1)>0,解得 x<我x>L 3 ②当a>0时，原不等式化为(2-日）x-1<0, 若a=1,即=1时，不等式无解： 若a>1,中1时：解得< 若0心a<1,即>1时，解得1<日 袋上可知，当a<0时，不等式的解集为<成> 当a=0时，不等式的解集为{xx>1}: 当0a<1时，不等式的解集为女1<}： 当a=1时，不等式的解集为0： 当>1时：不等式的将集为女日<<小 【变式训练4】解由于x+3ax一4a2<0可化为(x一 a)(x十4a)<0,且方程(x一a)(x+4a)=0的两个根分别是a 和-4a. 当a=一4a,即a=0时，不等式的解集为☑； 当a>一4a,即a>0时，解不等式为-4a<x<ai 当a<一a,即a<0时，解不等式为a<x<一4a, 综上所述，当a=0时，不等式的解集为☑； 当a>0时，不等式的解集为{x一4a<x<a}: 当a<0时，不等式的解集为{xax<一4a}: 【例3一3】解(1)当k=0时，原不等式化为-2<0，显然特 合题意 当k≠0时，令y=kx+2kx一(k+2),由y<0恒成立， 其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点 E<0, 解得一1<k<0, 4k2+4k(k+2)<0, 综上，实数k的取值范国是（一1,0们. (2)令y=x十mx十4.：y<0在[1,2]上恒成立， y=0的根一个在(-∞，1)上，另一个在(2，十∞)上 ,1+m+4<0, “实数m的取值范国是（一∞，一5）， l4+2m+4<0. 【变式调练5】解(1)若m=0,显然y=一1<0每成立： /m<0, 若m≠0，则 解得一4<m<0. △=m2+4m<0, 综上，m的取值范围为{m一4<m≤0}. (2)y<-m十5恒成立，即mx-mx-1十n-5<0任 成立，即m(x2-x+1)-6<0恤成主，x2-x+1=（x 》'+子>0m中温成立当1长<8时，函 6 6 中）+的暖小值为号只省m< 2 车可，心m的取值范周为mm<号}。 探究点四一元二次不等式的实际应用 6+10<, 400 【例4】解(1)由题意得 4<0+器<1n, 5<n<10, 将5<二95周为n∈N,所以n=o (2)由于制车距高不超过12.6m,即5≤126，所以器十 v 00≤12.6，因此v+24知-5040≤0，解得-84≤0≤60.因为 o0,所以0≤D≤60，即行驶的最大速度为60km/h 【变式探究】解由超意知5>25,65，即30+文 50t400>25.65,即 v2十24U-102600,解得v>90或v<-114.由于≥0，所以 该车当时的速度>90>80，因此该车超速行驶 ©学以致用·随堂检测促达标 1C不等式9>0等价于 (x+6)(1-x)≥0， 解 1一x≠0， 得一6x<1,故解集为{x|一6≤x<1}. 2,ABC“Vx<1,x2<1"的否定是“3x<1,x≥1”，故A 正璃：0，得x(一53]，则“x[一5”是不等式 0成主”的必要不充分条件，故B正确：一元二次不等式 ax-2x+c>0的解集为(-1,3，对-1+3=是-1X3= 台，所以a=1c=一3，经检验符合题意，a十c=-2,故C正 确，因为a>0,b>0,所以ab=a十b十3≥2b十3，当且仅当 a=b时取等号，即得（√ab)2-2√ab-3≥0，则（√ab- 3)(√ab+1)≥0，解得√ab≥3，即ab≥9，故D错误。 故选APC 3.D不等式4x2十ax十4>0的解集为R,.△= a一4×4×4<0，解得一8<a<8,.实数4的取值范围是 (一8,8)，故选D 4.一2，不等式ax十hx十2>0的解集是（一1,2），.方 程ax2+bx十2=0的两根为x1=一1，xg=2,则x1十x2= 合-1-名-2，解释a=-16=10-6=-2 5.解方程x2十(1一a)x一a=0的解为x1=一1，xg=a, 函数y-x十(1一a)x一a的图象开口向上，所以 当a<一1时，原不等式的解集为(xa<x<一1} 当a=一1时，原不等式的解集为☑： 3 当a>一1时，原不等式的解集为{x|一1<x<a. 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 【例1】(1)-12：A={x|-1≤x≤2}，B={x|-1< x≤4}，C={x-3<x<2},,BUC={x-3<x≤4)，.A∩ (BUC)={x-1≤x≤2，a=-1,b=2. (2)解①当a=3时，集合A={x|x>10},集合B= (xx2-5.x十6>0}={xx<2,或x>3}, 所以A∩B=(x|x>10}. ②因为AUB=B,所以A二B,所以3a+1≥3，解得a≥ 号，所以实数a的取位范周为[号十)： 【变式训练1】解(1)当a=3时，集合A={x3<x<10), 所以AUB={x|1x<10}. (2)因为A∩B=A,所以A二B. 因为+1-a=(a-号)广+是>0，所以A≠0， a≥l, 所以 解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为，2]. a2+15, 【例2】(1)AB由2x2>5+3x可得2x2-3x-5>0,解得 工>号或x<-1,故22>5十3x的一个充分不必要条件对应的 范国中为集合>营或x<-的一个真子集故选B (2)解：q是p的充分不必要条件，∴B年A, a<0 la<0, a的取位范周为a号<a<0,或a<-。 【变式训练2】(1)AA二B台a>4,而a>5→a>4,且 a>4不能推出a>5,所以“a>5”是“A二B”的充分不必要 条件 (2)解方程①有实数根的充要条件是△=16一4×4m≥0， 即m≤1，且m≠0. 方程②有实数根的充要条件是△=16m2一4(4m2 纵-5》≥0，m>月且m0-马6m<1,且m0 又m∈Z,m=一1或m=1 当m=一1时，方程①为x2十4x一4=0，无整数报，不满足 随意 当m=1时，方程①为x一4红十4=0，有整数根x=2,方 程②为x2-4z-5=0,有整数根x=一1或x=5,满足题意. 综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m=1, 【例3】(1)C(2)B(1):命题“Vx∈R,x2-2x+1≥0”为 3