1.4.2 课时2 一元二次不等式及其解法（二）导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.4.2 课时2 一元二次不等式及其解法(二) 【学习目标】 1.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(逻辑推理) 2.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.(数学运算) 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.(逻辑推理) 【自主预习】 　　上一课时我们共同学习了一元二次不等式的解法，并能解简单的一元二次不等式.一元二次不等式是一种重要的数学工具，是集合、函数、不等式等知识的综合交汇点. 已知一元二次函数y=x2-2x，一元二次不等式x2-2x>0. 1.观察一元二次函数的图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方? 2.能否利用上一问得出不等式x2-2x>0，x2-2x<0的解集? 3.根据给出的一元二次不等式，你能否解出不等式<0和≥0? 1.已知集合A=，B={0，1，2，3，4，5}，则(RA)∩B=(　　). A.{5} B.{4，5} C.{2，3，4} D.{0，1，2，3} 2.不等式≤0的解集为(　　). A.[-1，2] B.[-2，1] C.[-2，1)∪(1，3] D.[-1，1)∪(1，2] 3.若不等式ax2+ax+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.  4.已知函数y=x2+mx+4. (1)若m=-3，求函数在区间[-1，2]上的最大值； (2)当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，求实数m的最小值. 【合作探究】 探究1　分式不等式的解法 问题1：已知函数y=x2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标是2，3，则不等式x2+bx+c≥0的解集是什么? 问题2：>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将>0变形为(x-3)(x+2)>0，有什么好处? 1.解分式不等式时，要注意先移项，使不等号的右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零. 2.分式不等式的4种形式及解题思路 令y1=a1x+b1，y2=a2x+b2. (1)>0⇔y1y2>0； (2)<0⇔y1y2<0； (3)≥0⇔y1y2≥0且y2≠0⇔y1y2>0或y1=0； (4)≤0⇔y1y2≤0且y2≠0⇔y1y2<0或y1=0. 3.不等式与不等式组的等价关系 (1)y1y2≥0⇔或 (2)y1y2≤0⇔或 (3)y1y2>0⇔或 (4)y1y2<0⇔或 例1　解下列不等式： (1)<0；(2)≤1. 【方法总结】 1.比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，再用上述方法求解. 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 探究2　不等式恒成立问题 问题1：一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的? 问题2：若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，则a，b，c应满足什么关系? 　　一般地，“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴________方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的________.  令y=ax2+bx+c，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题，即 k≥y恒成立⇔k≥________；  k≤y恒成立⇔k≤________.  例2　对于一切实数x，mx2-mx-1<0恒成立，求m的取值范围. 【方法总结】含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解. 已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R，求a的取值范围. 【随堂检测】 1.不等式≥0的解集为(　　). A.{x|-1<x≤1} B.{x|-1≤x<1} C.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x<1} 2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B=，则A∩B等于(　　). A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1} 3.若ax2+2x+2>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________.  4.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________.  参考答案 1.4.2 课时2 一元二次不等式及其解法(二) 自主预习·悟新知 预学忆思 1.x>2或x<0. 2.能，不等式的解集分别为{x|x>2或x<0}，{x|0<x<2}. 3.能，<0⇔x(x-2)<0⇔0<x<2，≥0⇔⇔x≤0或x>2. 自学检测 1.B　【解析】因为A==(-2，4)，所以RA={x|x≤-2或x≥4}. 所以(RA)∩B={4，5}，故选 B. 2.D　【解析】由≤0可得，≤0， ∴解得-1≤x≤2且x≠1，故原不等式的解集为[-1，1)∪(1，2]. 故选 D. 3.{a|0≤a≤12}　【解析】当a=0时，不等式为3≥0，满足题意； 当a≠0时，需满足解得0<a≤12. 综上可得，实数a的取值范围为{a|0≤a≤12}. 4.【解析】(1)当m=-3时，函数y=x2-3x+4的图象开口向上，对称轴为直线x=，区间[-1，2]的中心为x==<，故当x=-1时，函数取得最大值，最大值为(-1)2-3×(-1)+4=8. (2)当x∈[1，2]时，y≥0恒成立，所以得所以实数m的取值范围是m≥-4，故m的最小值是-4. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：不等式x2+bx+c≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}. 问题2：等价，好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式. 新知运用 例1　【解析】(1)<0⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4<x<， ∴原不等式的解集为. (2)∵≤1，∴-1≤0， ∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0，解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. 巩固训练　【解析】(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组解这个不等式组，可得x≤-1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)不等式<3可改写为-3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0， 解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 探究2　情境设置 问题1：二次函数y=ax2+bx+c的图象有两种情况，如图所示. 问题2：a<0且Δ=b2-4ac≤0. 新知生成 上　子集　ymax　ymin 新知运用 例2　【解析】已知mx2-mx-1<0恒成立， 若m=0，显然-1<0，满足题意； 若m≠0，则即-4<m<0. 综上，m的取值范围为-4<m≤0. 巩固训练　【解析】(法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R， ∴函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方， ∴Δ=4-4(a2-3)<0， 解得a>2或a<-2. (法二)由x2+2x+a2-3>0，得a2>-x2-2x+3， 即a2>-(x+1)2+4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值，即a2>4，故a>2或a<-2. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】原不等式⇔∴-1≤x<1. 2.B　【解析】由题意得A={x|-1≤x≤1}，B={x|0<x≤2}，∴A∩B={x|0<x≤1}. 3.，+∞　【解析】若a=0，显然2x+2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y=ax2+2x+2的图象与x轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得a>. 4.　【解析】①当a2-1=0时，a=1或a=-1. 若a=1，则原不等式为-1<0，恒成立，满足题意； 若a=-1，则原不等式为2x-1<0，即x<，不符合题意，舍去. ②当a2-1≠0，即a≠±1时， 原不等式的解集为R的充要条件是解得-<a<1. 综上，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $