1.2.2 第2课时全称量词命题与存在量词今题的否定-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

024 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 必备知识 探新知 知识点1全称量词命题的否定 知识点2存在量词命题的否定 全称量词命题p 命题p的否定 结论 存在量词命题p 命题p的否定 结论 Hx∈M,x具有 全称量词命题的否 了x∈M,x具 存在量词命题的否 性质p(x) 定是存在量词命题 有性质p(x) 定是全称量词命题 关键能力攻重难 ●题型一 全称量词命题的否定 归纳提升： 1.全称量词命题的否 例 1.写出下列全称量词命题的否定： 定的两个关注点 (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (1)写出全称量词命 (2)Ha∈R,方程x2+ax+2=0有实数根； 题的否定的关键是我 (3)Ha,b∈R,方程ax=b都有唯一解； 出全称量词命题的全 (4)可以被5整除的整数，末位是0. 称量词和结论，把全 [分析]把全称量词改为存在量词，然后否定结论， 称量词改为存在量 词，结论变为否定的 形式就得到命题的 否定 (2)有些全称命题省 略了量词，在这种情况 下，千万不要将否定写 [归纳提升] 成“是”或“不是” 】对点训练1 2.常见词语的否定 写出下列全称量词命题的否定： 词语 词语的否定 (1)Hxe{-2,-1,0,1,2},1x-21≥2； 等于 不等于 (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； 不大于（即小 大于 (4)任意两个等边三角形都相似 于或等于) 不小于（即大 小于 于或等于) 是 不是 都是 不都是 025 ●题型二存在量词命题的否定 归纳提升： 例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其直假. 1.存在量词命题否定 的方法及关注点 (1)p:存在x∈R,2x+1≥0； （1)方法：与全称量 （2)g:存在eR,2-x+子<0： 词命题的否定的写法类 似，要写出存在量词命 (3)r:有些分数不是有理数. 题的否定，先确定它的 [分析]把存在量词改为全称量词，然后否定结论， 存在量词，再确定结 论，然后把存在量词改 写为全称量词，对结论 作出否定就得到存在量 词命题的否定 (2)关注点：注意对不 同的存在量词的否定的 写法，例如，“存在”的 否定是“任意的”，“有 一个”的否定是“所有 的”或“任意一个”等 2.对省略量词的命题 的否定 对于一个含有量词的 [归纳提升] 命题，容易知道它是 》对点训练2 全称量词命题或存在 量词命题，可以直接 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： 写出其否定，而对省 (1)某些梯形的对角线互相平分； 略量词的命题在写命 (2)3x∈{x|x是无理数，x2是无理数； 题的否定时，应首先 (3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等； 根据命题中所权述的 (4)存在k∈R,函数y=x+b随x值的增大而减小. 对象的特征，挖掘其 隐含的量词，确定是 全称量词命题还是存 在量词命题，先写成 全称量词命题或存在 量词命题的形式，再 对其进行否定， 026 ●易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词 例3写出下列金题的香定： (1)可以被5整除的数，末位是5； (2)能被3整除的数，也能被4整除. [错解](1)可以被5整除的数，末位不是5；(2)能被3整除的数，不能被4整除. [辨析]对于(1)，原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正 确，(2)的错误与(1)相仿.实际上，(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其 否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词 [正解] [点评]由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的 全称量词，写成“Vx∈M,P(x)”的形式，再把它的否定写成“3x∈M,p(x)”的形式.要学 会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的 真假性（一真一假）进行验证 课堂检测固双基 1.命题“对于任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否5.设集合A={1,2,4,6,8,10,12},试写出下列 定是 () 命题的否定，并判断其真假： A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 (1)Hn∈A,n<12; B.存在x∈R,x3-x2+1≥0 (2)3x∈{xx是奇数}，x∈A. C.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 D.存在x∈R,x3-x2+1>0 2.命题“3x∈R,x3-2x+1=0”的否定是( A.3x∈R,x3-2x+1≠0 B.不存在x∈R,x3-2x+1≠0 C.Hx∈R,x3-2x+1=0 D.Hx∈R,x3-2x+1≠0 3.命题“Hx∈Z,x∈R”的否定是 A.VxEZ,xeR B.]xeZ,x∈R C.Vx哇Z,x主R D.3x∈Z,xR 夯基提能作业 4.命题“Hx∈A,Ix|+1≥1”的否定是 请同学们认真完成练案[8]设p:4=(3a,a),9:B=(-0,-4)U[-2,+∞)， (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 又p是g的充分不必要条件，可有A至B, (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 所以a≤-4或3u≥-2，即a≤-4或a≥号， (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度 就不是有理数. 又a<0,所以a≤-4或-号≤a<0 (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解. 对点训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 即实数a的取值范围为(-一，-4]U-子，0 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该 易错警示 命题是真命题 例5：A对于①由p台g知，p一定不是g的充要条件.对于②，！ (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数！ 由Ix+Iyl=Ix+y知x,y要么同为正数，要么同为负数，要 所以该命题是真命题 么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件.对于③，方程 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20 X2-x-m=0有实数解，判别式4=1+4m≥0，即m≥-4， 1 成立，所以该命题是真命题， (4)全称量词命题.0的0次方无意义，以该命题是假命题 所以q台p,∴.p是q的充分不必要条件.对于④，因为p≠g,例3：(1)(-1，+0)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m, 所以p不是g的充要条件，故只有②是，故选A. 因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，所以1+m>0,即m 课堂检测固双基 >-1,所以实数m的取值范围是(-1，+∞). 1.D由a>c且b>c可推得a+b>2c,但当a+b>2c时，不一 (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根，当a= 定能推得a>c且b>c,故选D. 0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意；当a≠0时， 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故： △=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. a≤-1. 综上知，实数a的取值范围是[-1，+0). 3.两组对边分别平行一组对边平行且相等 对点训练3：C依题意，方程x2-23x+m=0有实数解，则4 4.m>2因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件， =(-2√3)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. 所以(m,+o)是(2，+o)的真子集，所以m>2. 易错警示 5.在(1)中P,所以p是q的充要条件 例4：②③①④ 在(2)中，⊙0内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因课堂检测固双基 此，p台g,所以p不是g的充要条件 1.B 在(3)中，取A=1,2},B=3},显然，A∩B=⑦，但A与B均不 2.B 为空集，因此P台g,所以p不是q的充要条件 i3.B 3 >0恒成立，所 2.2全称量词与存在量词 对于在意的xeR++1=(+)+ 以存在xeR,使x2+x+1=0是假命题， 第1课时全称量词命题与存在量词命题 4.②③①④ 5.存在量词命题了x,yeR,x+y>1 必备知识探新知 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点11.所有 知识点21.某些 必备知识探新知 关键能力攻重难 知识点13x∈M,x不具有性质p(x)》 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 知识点2Hx∈M,x不具有性质p(x) 然为全称量词命题 关键能力攻重难 (2)命题为存在量词命题 例1：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 (2)3aeR,方程x2+ax+2=0没有实数根. 为全称量词命题 (3)3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. (4)命题是全称命题“过平面内任意两点有且只有一条直线” (4)存在被5整除的整数，末位不是0. 的简写，故为全称量词命题 对点训练1：(1)该命题的否定：3x∈}-2，-1,0,1,2}，Ix-21<2 对点训练1：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题 (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题. (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数. (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题。 (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似 (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题， 例2：(1)任意x∈R,2x+1<0,为假命题 例2：(1)真命题，因为x2≥0，所以x2+1≥1，x2+1> 2恒成立. (2任意xeR2-x+≥0， 282 因为-x+子-(：-)广≥0，所以是真命题 故选C:对于D选项，当c=0时，不正确 对点训练2：C当a<0,b>0时，a2<b2不一定成立，故A错 (3)一切分数都是有理数，是真命题 误.因为ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ad符号不确定，故B 对点训练2：(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分. 能误市点-洁c0断哈六数c正确D中会与 11 (2)真命题.Hx∈xIx是无理数}，x2是有理数 (3)真命题.在同圆中，同弧所对的圆周角不相等。 1 (4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而 名的大小不能确定. 减小 例3：证明：因为a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所 易错警示 以 例3：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以 以0 被5整除的数，末位不是5. 所以1-1>0，所以 a-b a-c 以6+。0又6-e>0, (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3 所以，。>0所以。++。>0 1 整除的数，不能被4整除， 课堂检测固双基 ;对点训练3：证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0. 1.D全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C;由命题 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. 的否定只否定结论，不否定条件，可排除A、B. 1 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A:由命题 所以(a-c)2>(b-d)2>0.所以0< (a-c)2<(b-d)2 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 e 词“V”,可排除B. 又因为e<0,所以e (a-c)>6-d 3.D全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“x∈Z,易错警示 x∈R”的否定是3x∈Z,xR. 4.3x∈A,lxl+1<1命题“HxeA,Ixl+1≥1”是全称量词命 例4：时<号<415<6<36,6古<6又12<a<0, 1 题，它的否定是“3x∈A,Ix1+1<1”. 六8号8专<号<4放填 <6<4， 5.(1)“VneA,n<12”的否定是“3neA,n≥12” 此命题是真命题， 课堂检测固双基 (2)“3x∈xIx是奇数}，x∈A”的否定是“Hx∈ :1.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， {xx是奇数}，x庄A”. .a-b≥0即a≥b,故选C. 此命题是假命题 2.B因为c<d<0,所以-c>-d>0, §3不等式 所以>>0 3.1不等式的性质 又a>6>0,所以日>。所以号<名 3.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 必备知识探新知 的性质4知，D一定成立. 知识点1正数a-b>0a-b=0负数a-b<0 4.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知， 知识点2a>cac<bca+c>b+dac<bda">b” ! (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 9a>6 关键能力攻重难 可逆性，放②错误：对于③，只有当a>0且a>6时，名<1才 例1：因为。(1+a)=亡。-1+-山： -1-a ①： 成立，故③错误：对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3 1-a1-a )当0=0时亡。0，所以亡 0=(a-6(d2++6)=(a-6[(a+)+]>0,放 4a1+a a>b3,④正确. （2当a<1,且a0时名。>0，所以。>1+a 5.<.a>b>0,∴.a>b">0, （8)当a>1时，。<0，所以亡。<1+a 即。<产 对点训练1：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1) 3.2基本不等式 +(x-1)=(3x2+1)(x-1). 因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0. 第1课时基本不等式 所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1. 例2：C若a<b<0,对于A选项，当a=-2,b=-1时，不成立；必备知识探新知 对于B边项，等价于a>6,放不成立：对于C选项，六<。<0， 知识点1心+6≥2ba=6瓜≤生大于或等于 -283