第1章 §3 不等式 3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现基本不等式从概念理解到综合证明的递进，适配新授课知识内化需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等号成立条件、直接求最值|选择题1-2、填空10-11，聚焦概念辨析与简单应用| |中档层|条件变形（x<0）、大小比较|选择题3-6、填空12，强化符号处理与关系推理| |提升层|综合证明、恒成立问题|解答题14-16，融合多条件推理与模型构建，发展逻辑思维|

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1.A　[解析] 若不等式m2+1≥2m成立,则m2-2m+1=(m-1)2≥0成立,等号成立的条件是m-1=0,即m=1.故选A. 2.B　[解析] 因为x>0,所以x+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x=1时,等号成立.故y=x+-2(x>0)有最小值0.故选B. 3.C　[解析] 因为2bc=a2+c2>2ac,所以2bc>2ac,所以b>a,所以可排除A,D.因为a2-c2=(a+c)(a-c)=2c(b-c),且a,b,c均为正数,所以a-c与b-c的符号相同,所以可排除B.令a=2,c=1,可得b=,可知C可能成立.故选C. 4.B　[解析] ∵x<0,∴-2x>0,∴-2x-=(-2x)+≥2=2,当且仅当x=-时,等号成立,∴y=1-2x-≥3,故选B. 5.B　[解析] 因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<,<b<1,故排除D.因为a2+b2>=,所以排除A.因为a2+b2>2ab,所以排除C.故选B. 6.B　[解析] 因为x2=<=a+b,y2=a+b,所以x2<y2,又x>0,y>0,所以x<y.故选B. 7.B　[解析] 由题意知q=≥=+=p,当且仅当=时取等号.故选B. 8.AD　[解析] 对于A,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,所以A中不等式恒成立;对于B,当b=-1,a=1时,+b<2a,所以B中不等式不恒成立;对于C,当a,b都小于0时,<,所以C中不等式不恒成立;对于D,-ab===≥0,所以≥ab,所以D中不等式恒成立.故选AD. 9.AC　[解析] A中,+==a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=±1时等号成立,正确;B中,当x=y=-1时,满足xy=1,但x+y=-2,不正确;C中,m2-4m+6=(m-2)2+2≥2,当且仅当m=2时等号成立,正确;D中,+≥2=2,显然t2+4≥4>1,所以等号不可能成立,不正确.故选AC. 10.正　[解析] ∵a>2,∴a-2>0,∴a+-3=-1≥2-1=1>0(当且仅当a=3时取等号),∴该代数式的值的符号为正. 11.2　[解析] 因为2a·4b=16,即2a·22b=24,即2a+2b=24,所以a+2b=4.又a,b为正实数,所以ab=×a×(2b)≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,故ab的最大值为2. 12.≥　[解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,则=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立. 13.解:根据基本不等式可知,当a,b,c∈R+时,+≥,当且仅当a=b时取等号;+≥,当且仅当c=b时取等号;+≥,当且仅当a=c时取等号. 所以2≥2,即++≥++,当且仅当a=b=c时取等号. 14.证明:∵a,b,c∈R+且a+b+c=1, ∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,当且仅当a=b=c=时等号同时成立. ∵=··,∴≤··=,当且仅当a=b=c=时等号成立,故得证. 15.10　[解析] 要使xy≥m-2恒成立,即使m≤xy+2恒成立,只要m≤(xy+2)min即可.∵x>0,y>0,xy=x+2y,∴xy=x+2y≥2,当且仅当x=4,y=2时取等号,则xy≥8,∴xy+2的最小值为10,∴m≤10,即实数m的最大值为10. 16.证明:(1)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2), 因为abc=1,所以a,b,c都不为0,则a2+b2+c2>0, 所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2)<0. (2)因为a≤b<c,a+b+c=0,abc=1,所以c>0,b<0,a<0,因为a+b+c=0,所以c=-a-b,由abc=1可得c=,所以c3=c2·c=(-a-b)2·==≥=4,所以c≥,当且仅当a=b时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.m=1 B.m=±1 C.m=-1 D.m=0 2.已知y=x+-2(x>0),则y有 (　 ) A.最大值0 B.最小值0 C.最小值-2 D.最小值2 3.已知a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 4.[2024·江西抚州南城一中高一月考] 设x<0,则y=1-2x-的最小值是 (　 ) A.1 B.3 C.-1 D.0 5.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.a2+b2 C.2ab D.a 6.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 (　 ) A.x>y B.x<y C.x=y D.不确定 7.若m,n,a,b,c,d均为正数,p=+,q=·,则p,q的大小关系为 (　 ) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 8.(多选题)设a,b∈R,则下列不等式中恒成立的是 (　 ) A.a2+b2≥2ab B.+b≥2a C.≥ D.≥ab 9.(多选题)[2024·吉林吉化一中高一月考] 下列结论正确的有 (　 ) A.若ab=1,则+的最小值为2 B.若xy=1,则x+y的最小值为2 C.m2-4m+6的最小值为2 D.+的最小值为2 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.当a>2时,代数式a+-3的值的符号为　　　　.(填“正”或“负”)  11.[2024·重庆高一期中] 若a,b为正实数,且2a·4b=16,则ab的最大值为　　　　.  12.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知a,b,c∈R+,比较++与++的大小. 14.(10分)[2024·江西赣抚吉高一联考] 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:≤. 15.(5分)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是　　　　.  16.(15分)设a,b,c∈R,且a≤b<c,abc=1,a+b+c=0. (1)证明:ab+bc+ac<0; (2)证明:c≥. 学科网（北京）股份有限公司 $