1.1.1 第2课时集合的表示-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

004 第2课时 集合的表示 必备知识 探新知 知识点1列举法 知识点4区间 (1)方法：把集合中的元素 出来 定义 符号 数轴表示 写在花括号“{”内. (2)一般形式：{a,b,c,…}. {xla≤x≤b (3)关注点：元素的排列 可以不同 知识点2描述法 xla <x<b 定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法 形式 {xla≤x<b} 名 在花括号内先写出集合中元素的 方法 平 ,再画一条竖线“”，在竖线后写出 xla<x≤b 集合中元素所具有的 xlx≥a 知识点3有限集、无限集和空集 (1)空集：不含 元素的集合叫作空 xlx>a 集，记作☑. (2)有限集：含有 元素的集合叫作 {xlx≤b} 有限集； (3)无限集：含有 元素的集合叫作 (xlx<b} 无限集； 关键能力 攻重难 ●题型一列举法表示集合 归纳提升： 例1.用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合； 1.用列举法表示集 合，要注意是裁集还 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合； 是点集 (3)-次函数)=-1与y=-子x+的图象的交点组成的朱合。 2.列举法适合表示有 限集，当集合中元素 [分析](1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立 个裁较少时，用列举 [Y=x-1 法表示集合比较方 2,4→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示. y=- 便，且使人一目了然 3x+3 因此，集合是有限集 还是无限集，是选择 恰当的表示方法的关 键 >[归纳提升] 005 》对点训练1 归纳提升： 用列举法表示下列集合： 1.描迷法表示集合的两 (1)不大于10的非负偶数组成的集合； 个步骤 (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合； 分清楚集合中的 写代表 (3)直线y=2x-3与y轴的交点所组成的集合 元素是点还是裁 元素 或是其他的元素 2 明确元素 将集合中元素所 的特征 具有的公共特征 写在竖线的后面 2.用描迷法表示集合应 注意的四点 (1)写清楚该集合代表 ●题型二描述法、区间法表示集合 元素的符号.例如，集合 x∈R|x<1}不能写成 例 2.(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的 {x<1}. 个数为 ( (2)所有描迷的内容都 A.1 B.2 C.3 D.4 要写在花括号内.例如： (2)使√x+3有意义的所有实数x取值的集合为 ·(用区 {x∈ZIx=2k},k∈ 间表示) Z,这种表达方式就不符 (3)用描述法表示下列集合： 合要求，需将k∈Z也写 哈46… 进花括号内，即x∈Z| x=2h,k∈Z}. ②被5除余1的正整数组成的集合； (3)不能出现未被说明 ③坐标平面内坐标轴上的点集， 的字母 (4)在通常情况下，集 合中竖线左侧元素的所 属范围为实数集时可以 省略不写.例如，方程 x2-2x+1=0的实数解组 [归纳提升] 成的集合可表示为{x∈RI 对点训练2 x2-2x+1=0},也可写成 (1)已知集合M=xlx=7n+6,n∈N},则2022 M,2024 {xx2-2x+1=0}. M.(填“∈”或“主”) 3.区间表示集合的适用 (2)用描述法表示下列集合： 情况和注意点 ①小于10的非负整数构成的集合； (1)适用情况：表示一定 ②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； 苑围内的所有实裁所构成 ③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； 的集合，也就是裁轴上某 ④集合{1,3,5,7，…} 一“段”所有点所对应的 实裁 (2)注意点：①区间的 两个端点必须保证左小 右大： ②“0”是一个符号，不 是裁，以-0或+∞为区 间一端时，这一端必须是 小括号 006 ●题型三集合表示方法的综合应用 角度1用适当的方法表示集合 例 3.用适当的方法表示下列集合： (1)函数y=x2-2x的图象与x轴的公共点的集合； (2)不等式2x-3<5的解组成的集合； 归纳提升： 1.解答集合表示方法 (3)3和4的正的公倍数构成的集合； 综合题的策略 (4)大于4的奇数构成的集合 (1)若已知集合是用 描述法给出的，读懂 集合的代表元素及其 属性是解题的关键 (2)若已知集合是用 列举法给出的，整体 把握元素的共同特征 是解题的关健 2.方程、不等式等知 识与集合交江问题的 角度2方程、不等式等知识与集合交汇 处理 (1)准确理解集合中 4.已知集合A={xx2-8x+16=0}只有一个元素，试求实数k的值，并 的元素，明确元素的 用列举法表示集合A. 特征性质。 (2)解题时还应注意 方程、不等式等知识 以及转化、分类与整 合思想的综合应用 。[归纳提升] 对点训练3 (1)(角度1)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-6=0的解为元素的集合为 (2)(角度2)设y=x2-ax+b,A={xly-x=0},B={xly-ax=0},若A= {-3,1},试用列举法表示集合B 007 ●易错警示 忽视集合中元素的互异性 例5.方程r-(a+1)x+a=0的解集为 [错解]x2-(a+1)x+a=0,即(x-a)(x-1)=0,所以方程的实数根为x=1或x=a,则 方程的解集为{1，a}. [辨析]错解中没有注意到字母α的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}.事实上， 当a=1时，不满足集合中元素的互异性. [点评]在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中 元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a=1的情况，因此 要重点注意.一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保 集合中元素的互异性。 课堂检测 固双基 1.下列集合中，不同于另外三个集合的是() (2)B={yly=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0}; A.{xlx=2024} B.{y1(y-2024)2=0 (3)C=(x,y)ly=-x2+6,xEN,yEN. C.{x=2024} D.12024 2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 ( A.{x|-3<x<11,x∈Q} B.(-3,11) C.xl-3<x<11,x=2k,kEN D.xl-3<x<11,x=2k,kEZ 3.已知集合A={-1,0,1},集合B={yly=1x1, x∈A},则B= 4.用列举法表示下列集合 (IM-kezascz 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1. 2 集合的基本关系 课标要求 核心素养 1.在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学 1.理解集合之间包含和相等的含义，并 内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子 会用符号和Venn图表示. 集、真子集、集合相等、空集等概念，培养学生数学抽 2.会识别给定集合的真子集，会判断给 象的核心素养 定集合间的关系，并会用符号和Venn 2.要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符 图表示 号语言、图形语言，理解并掌握以上方法的转化及应 3.在具体情境中理解空集的含义. 用，培养学生逻辑推理，直观想象的核心素养。学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章预备知识 课堂检测固双基 1.D由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C, §1集合 故选D. 2.D由集合中元素的互异性知a,b,c互不相等，故选D 1.1集合的概念与表示 4.0,1因为y∈N且y=-x+1,所以y=0或y=1 ! 第1课时集合的概念 即A中有两个元素0,1，又t∈A,所以t=0或1 必备知识探新知 5.根据题意得=2或a= 4, 知识点11.A,B,C,…2.a,b,c,…3.确定互异 {6=或{6=2,月 b=2 知识点2∈a住A不属于 关键能力攻重难 当0=0时，集合的三个元素分别为2,0,0，不满足集合中元 1b=0 例1：②③①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均 不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合 「a=0. [a=4 素的互异性，所以舍去：经检验 或 符合题意 ②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合， b=1 b=1 填②③. 2 对点训练1：(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市 [a= 「a=0, 是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成 综上可得 b=1 一个集合.(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是 b2 “高个子”无法客观地判断，不能构成集合(3)任给一个实数：， 可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与 第2课时 集合的表示 “x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的 必备知识探新知 非负数”能构成集合.(4)由x2-9=0,得x1=-3,x2=3. 知识点1(1)一一列举(3)顺序 ·方程x2-9=0在实数范围内的解为-3,3，能构成集合. 知识点2{x及x的范围Ix满足的条件} 一般符号范 例2：因为在3a+2b(aeZ,beZ)中， 围 共同特征 令a=2,b=-2,即可得到6-22， 知识点3(1)任何(2)有限个(3)无限个 所以6-2√2是集合A中的元素。 知识点4[a,b](a,b)[a,b)(a,b][a,+o) 对点训练2：(1)C 弓是实数5是无理数，-31=3是自然 (a,+∞）(-∞，b](-0,b) 关键能力攻重难 数，1-√51=5是无理数.因此，①②③正确，④错误 例1：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2， (2)2,1,0由题意可得：3-x可以为1,2,3,6，且x为自然 3,4,6,12}. 数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2，所求集合为{2,4}. 例3：由-3eA,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,所以a=-1 或 x=5 (3)方程组 「x-y=1, 2x+3y=4的解是 所求集合 2 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素 5 ! 的5异性放0=1合去：当a=-时，a-2=子2+ 为（居} 50=-3,符合朱合中元素的互异性，所以a=-子 对点训练1：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 或等于0的意思.所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6， 对点训练3：D因为2aeA,a2-aeA,所以2a≠a2-a. 8,10}. 所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3. (2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集 易错警示 合为0,1}. 例4：①④⑥ (3)将x=0代入y=2x-3,得y=-3,即交点是(0，-3)，故 277 两直线的交点组成的集合是{(0，-3)}. 若a=1,则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1， 例2：(1)D由题意得，-1≤x≤1，-1≤y≤1，xeZ,yeZ,A= a}.故填1}(a=1)或{1，a}(a≠1). {(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4. 课堂检测固双基 (2)[-3,+∞)为使√x+3有意义，实数x需满足x+3≥1.C选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法 0,即x≥-3， 表示，且都表示集合中只有一个元素2024，都是数集.而选项 故所求集合可表示为[-3，+∞). C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程， :2.D (3)①集合 [111 {246,…}用描述法表示 因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k,k∈Z,又因为大 于-3且小于11，所以-3<x<11,即大于-3且小于11的偶 为{x=aneN} 数所组成的集合是{xl-3<x<11,x=2k,k∈Z}.故选D. 3.{0,1}A={-1,0,1},当x=-1,或1时，y=1,当x=0时，y= ②根据被除数=商×除数+余数，故此集合可表示为{xx= 0,.B={0,1}. 5n +1,nEN ③注查到坐轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故4.(1)要使x是整数，则3-1必是6的约数，当x=-3 可表示为{(x,y)Ixy=0,x∈R,yeR}. 0,1,2,4,5,6,9时，13-x1是6的约数 对点训练2：(1)∈因为2022=7×288+6,2024=7× .A=-3,0,1,2,4,5,6,9}. 289+1,所以2022∈M,2024M. (2)由y=-x2+9,xeZ,yeZ,y>0,可知0<y≤9. (2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示 当x=0,±1，±2时，y=9,8,5符合题意 为xeZ10≤x<10}. .B={5,8,9}. ②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可 (3)点(x,y)满足条件y=-x2+6,xeN,yeN, 表示为{xIIxl>3}. ③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述 则有0 或或=2 y=6ly=5y=2. 法可表示为{(x,y)1xy<0. .C={(0,6),(1,5),(2,2). ④1,3,5,7，…}用描述法可表示为xlx=2k-1,keN,}. 1.2集合的基本关系 例3：(1)列举法：(0,0)，(2,0)}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为x2x-3<5},即必备知识探新知 xlx<4}.也可用区间表示为(-∞，4) 知识点2任何一个A≤BB2A (3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数 知识点4ACBA≠B 构成的集合是{xlx=12n,n∈N}. 关键能力攻重难 (4)用描述法表示为D={x1x=2k+1,k≥2，k∈N}或D= 例1：(1)方法一：集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有 {xlx=2k+3,k∈N*} 些元素（比如0，-0.5）不在集合B中，故B车A 例4：①当k=0时，方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得 方法二：利用数轴表示集合A,B,如图所示，由图可知B手A, x=2,A={2}; ②当k≠0时，要使集合A={x12-8x+16=0}中只有一个 元素，则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根，所以4= -10 5 64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.综上所述，k=0时， (2):集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴.B军A. 集合A=2};k=1时，集合A=4}. (3)A={xlx2-x=0}={0,1}.在集合B中，当n为奇数时， 对点训练3：(1){-2,2,3}解方程x2-5x+6=0,得x=2 x=1+(-少=0，当n为偶数时，x=1+(,-1)=1 2 2 或x=3, .B=0,1},.A=B 解方程x2-x-6=0,得x=-2或x=3,所以以方程x2-5x+ 6=0和方程x2-x-6=0的解为元素的集合为{-2,2,3}. (4)方法一：由xy>0得x>0,y>0或x<0,y<0;由x>0,y> 0或x<0,y<0得xy>0,从而A=B. (2)集合A中的方程为x2-a+b-x=0,整理得x2-(a+1)x+ 方法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内 b=0. 的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第 因为A={-3,1},所以方程x2-(a+1)x+b=0的两根为-3,1. 一、三象限内的点对应的坐标，从而A=B. 由根与系数的关系，得-3+1=0+1、 解得-3， 对点训练1：D表示空集，没有元素，0}有一个元素，则)≠ -3×1=b, b=-3. {0},故①错误；：空集是任何集合的子集，故②正确；☑和 所以集合B中的方程为x2+6x-3=0,解得x=-3±2√3 {0}都表示集合，故③错误：0表示元素，{0表示集合，故④错 所以B=-3-23,-3+23} 误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误： 易错警示 1,2}中的元素都是1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合 例5：1}(a=1)或{1，a}(a≠1)x-(a+1)x+a=0,即(x- 的元素具有无序性，故a,b}二{b,a},故⑧正确.综上，正确 a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a. 的个数是4个 -278