1.3.2 第1课时基本不等式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

●029 对点训练3 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证ae>6 ●易错警示 错用同向不等式性质 例 .已知12<a<60,15<b<36,分的取值范围是 12a60 [错解]12<a<60,15<b<36,5<6<36 4 5 [辨析]把不等式的同向不等式（正项）相乘的性质用到了除法，从而导致错误 [点评]若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可 加性与可乘性（正数），但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的 取值范围. 课堂检测 固双基 1.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则 ( ③a>b→0<1；④a>b→a3>b A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有 其中真命题的个数是 A>B名C>号 A.0 B.1 C.2 D.3 5.若a>b>0,则1 1 3.已知a>b,c>d,且c,d均不为0，那么下列不 (n∈N).(填 等式一定成立的是 “>”或“<”) A.ad>bc B.ac >bd 夯基提能作业 C.a-cxb-d D.a+c>b+d 请同学们认真完成练案[9] 4.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b2;②a2>b2→a>b>0; 3.2 基本不等式 课标要求 核心素养 1.了解基本不等式的代数和几何 1.本节学习时，学生先复习完全平方公式(a-b)2=2-2ab 背景 +b2,由(a-b)2≥0可得a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab. 2.理解并掌握基本不等式及其变形. 然后以√a,√b分别代替a,b推得基本不等式，从代数观点认 3.会用基本不等式解决简单的最大 识基本不等式，培养学生逻辑推理的核心素养 (小)值问题 2.掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实 4.会用基本不等式进行代数式大小的 例强化公式的应用技巧，培养学生数学运算，逻辑推理 比较及证明不等式 的核心素养 030 第1课时基本不等式 必备知识 探新知 知识点1基本不等式 知识点2基本不等式与最值 重要不等式 (a,b∈R) 已知，y都为正数，则 当且仅当 (1)若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y 等号成立的条件 时，等号成立 时，积y取得最大值 基本不等式 (a>0,b>0) (2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y 文字表述两个非负实数的算术平均值 时，和x+y取得最小值 它们的几何平均值 关键能力 攻重难 归纳提升：利用基本不等 ●题型一 利用基本不等式判断命题真假 式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应 例1.下列不等式一定成立的是 () 用基本不等式的条件： 第二步：应用基本不 x+4>(x>0) 1 A. B.x+1≥2(x≠0) 等式； 第三步：检验等号是否 成立. C.x2+1≥2lx|(x∈R) ,>1(xeR) 归纳提升：利用基本不等 D.*1 式求最值的方法及注 [归纳提升] 意点 )对点训练1 (1)知和求积的最值：求 解此类问题的关健：明确 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是 “和为定值，积有最大 A.a2+b2>2ab B.a+b≥2√ab 值”.但应注意以下两 点：①具备条件—正 c1+1>2 数：②验证等号成立 a+b√Jab D.+2 a (2)知积求和的最值：明 确“积为定值，和有最小 ●题型二利用基本不等式求最值 值”，直接应用基本不等 式求解，但要注意利用基 例2()已知x<3,求)=43+的最大值： 本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最 (2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求+3的最小值 值：在求解含有两个变 x y 量的代裁式的最值问题 [分析](1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构 时，通常采用“变量替 条件，从而运用基本不等式求最值. 换”或“常数1“的替 换，构造不等式求解. (2)利用“1”的代换，结合不等式求解。 (4)利用基本不等式求最 值时应注意：①非零的各 数（或式)均为正；②和 或积为定值：③等号能否 成立，即“一正、二定、 三相等”，这三个条件缺 一不可. ●[归纳提升] 031 】对点训练2 (1)若0<x<1,则√x(3-2x)的取值范围是 (2)已知a>0,b>0,日+右=4，则a+6的最小值为 归纳提升：利用基本 ●题型三 利用基本不等式证明不等式 不等式证明不等式的 思路 3.已知a>b,ab=1,求证：a2+b2≥2√2(a-b). 利用基本不等式证明不 [分析]这是个条件不等式，因此要用好a>b,ab=1这两个条件.注 等式时，要先观察题中 意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax+。≥2√ab进行 要证明的不等式的结构 特征，若不能直接使用 思考 基本不等式证明，则考 虑对代裁式进行拆项、 变形、配凑等，使之转 化为能使用基本不等式 [归纳提升] 的形式：若题目中还有 已知条件，则先观察已 】对点训练3 知条件和所证不等式之 已知x,y,z都是正数，求证：(x+y)(y+z)(2+x)≥8xy2. 间的联系，当已知条件 中含有“1”时，要注 意“1”的代换，另 外，解题时要时刻注意 等号能否取到 ●易错警示易错问题—忽略等号成立的条件或等号成立的一 致性 例4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,则+的最小值为 A.1+√2 B.3+22 C.32 D.4√2 [错解]x>0,y>0, .1=x+2y≥2W2xy,.8xy≤1. .∴.xy≤ ~1+1≥28=42 故1+1的最小值为42， x Y [辨析]上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x+2y≥2√2xy, ,但这两次取等号的条件需满足x=2y与x=y,自相矛 盾，所以等号取不到 [点评]连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时 条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最 值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 032 课堂检测 固双基 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是 5.卫知abeR,求证，6s A.m=1 B.m=+1 C.m=-1 D.m=0 2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( A.a-b<0 B.0<号<1 C.√ab<a+b 2 D.ab>a+b 3.对于任意正数a,b,A是a,b的算术平均数，G 是a,b的几何平均数，则A与G的大小关系 是 4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10] 为 第2课时 基本不等式的应用 关键能力 攻重难 ●题型一利用基本不等式求参数范围 归纳提升： 1.恒成立问题常采用 例1设a>6>,且。6+6。产。相成立求m的取值范周 分离参数的方法求 解，若a≤y恒成立， 则a≤ymn:若u≥y 恒成立，则a≥ymr 将问题转化为求y的 最值问题，可能会用 到基本不等式 2.运用基本不等式求 参数的取值范围问题 在高考中经常出现， 在解决此类问題时， 要注意发掘各个变量 之间的关系，探寻思 路，解决问题. [归纳提升] )对点训练1 若对任意x>0,+3x+1 a恒成立，则a的取值范围是因为-x+子-(：-)广≥0，所以是真命题 故选C:对于D选项，当c=0时，不正确 对点训练2：C当a<0,b>0时，a2<b2不一定成立，故A错 (3)一切分数都是有理数，是真命题 误.因为ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ad符号不确定，故B 对点训练2：(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分. 能误市点-洁c0断哈六数c正确D中会与 11 (2)真命题.Hx∈xIx是无理数}，x2是有理数 (3)真命题.在同圆中，同弧所对的圆周角不相等。 1 (4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而 名的大小不能确定. 减小 例3：证明：因为a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所 易错警示 以 例3：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以 以0 被5整除的数，末位不是5. 所以1-1>0，所以 a-b a-c 以6+。0又6-e>0, (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3 所以，。>0所以。++。>0 1 整除的数，不能被4整除， 课堂检测固双基 ;对点训练3：证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0. 1.D全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C;由命题 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. 的否定只否定结论，不否定条件，可排除A、B. 1 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A:由命题 所以(a-c)2>(b-d)2>0.所以0< (a-c)2<(b-d)2 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 e 词“V”,可排除B. 又因为e<0,所以e (a-c)>6-d 3.D全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“x∈Z,易错警示 x∈R”的否定是3x∈Z,xR. 4.3x∈A,lxl+1<1命题“HxeA,Ixl+1≥1”是全称量词命 例4：时<号<415<6<36,6古<6又12<a<0, 1 题，它的否定是“3x∈A,Ix1+1<1”. 六8号8专<号<4放填 <6<4， 5.(1)“VneA,n<12”的否定是“3neA,n≥12” 此命题是真命题， 课堂检测固双基 (2)“3x∈xIx是奇数}，x∈A”的否定是“Hx∈ :1.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， {xx是奇数}，x庄A”. .a-b≥0即a≥b,故选C. 此命题是假命题 2.B因为c<d<0,所以-c>-d>0, §3不等式 所以>>0 3.1不等式的性质 又a>6>0,所以日>。所以号<名 3.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 必备知识探新知 的性质4知，D一定成立. 知识点1正数a-b>0a-b=0负数a-b<0 4.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知， 知识点2a>cac<bca+c>b+dac<bda">b” ! (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 9a>6 关键能力攻重难 可逆性，放②错误：对于③，只有当a>0且a>6时，名<1才 例1：因为。(1+a)=亡。-1+-山： -1-a ①： 成立，故③错误：对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3 1-a1-a )当0=0时亡。0，所以亡 0=(a-6(d2++6)=(a-6[(a+)+]>0,放 4a1+a a>b3,④正确. （2当a<1,且a0时名。>0，所以。>1+a 5.<.a>b>0,∴.a>b">0, （8)当a>1时，。<0，所以亡。<1+a 即。<产 对点训练1：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1) 3.2基本不等式 +(x-1)=(3x2+1)(x-1). 因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0. 第1课时基本不等式 所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1. 例2：C若a<b<0,对于A选项，当a=-2,b=-1时，不成立；必备知识探新知 对于B边项，等价于a>6,放不成立：对于C选项，六<。<0， 知识点1心+6≥2ba=6瓜≤生大于或等于 -283 知识点2(1)子(2)2万 x+y≥2xy>0,y+z≥2>0，x+z≥2Vxz>0, .(x+y)(y+z)(z+x）≥8yz 关键能力攻重难 当且仅当x=y=z取得等号 例1：C选项A中，+好≥（当且仅当x=乃时，2+子=小，易错警示 例4：Bx+2y=1,x>0,y>0, 放选项A不正确：选项B中，+士≥2(>0)，+≤ +=x+2)(仕+）=3+2=3*2（当且 1 -2(x<0),故选项B不正确；选项C中，x2-21x+1= (1xl-1)2≥0(xeR),故选项C正确；选项D中，x2+1≥1， 仅当=2y,即x=2y时，等号成立). 则0<1，故选项D不正确 =万-1y=1-号 对点训练1：D对于A,若a=b时，a2+b2=2ab,则A中的不等 式不恒成立.当a<0,b<0时，选项B,C不成立，故选D. 放当=-1=1-时+有最小值3+2万 2 2 例2：(1)因为x<3,所以x-3<0, 课堂检测固双基 所以到3+=3+(x-3)+3 :1.A若不等式m2+1≥2m,由基本不等式等号成立的条件知 m2=1,即m=1(m=-1舍去) -+(3-+3≤-2√写3-+3=-1,2.C由若本不等式知v而≤ 2 当且仅当3。=3-，即=1时取等号。 a>6>0瓜<，故选C 所以f(x)的最大值为-1. 3.A≥G （2)因为，y是正实数，所以(x+y)(子+子）=4+420x+)≥2网=200-20（当且仅当x=y=10时取等 (任+）=4+26 号) 5.证明： (-±2a+h 4 当且仅当义=3江，即x=2(5-1),y=2(3-5)时取等号. y _0-2ab+b_a-b)≥0， 4 4 又+y=4,所以上+2≥1+要故上+的最小值为1 y (生≥a6,即≤( + 第2课时基本不等式的应用 对点训练2：0,3 由0<x<1知3-2x>0, : 关键能力攻重难 放3-2-方8-2可≤22+-2-34当 例1：由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0. 2 2 原不等式等价于6+名总≥m 且仅当2x=3-2,即x=子时，上式等号成立 要使原不等式恒成立，只需：言+名的最小值不小于m 所以0<(3-2x≤32 即可 4 ..a-c:a-c=(a-b)+(6-c).(a-6)+(6-c) (2)1由+=4，得+=1.所以口+6 1 a-b b-c a-b b-c (+茹)+=宁++元宁+ b a V446=1.当 -2+8后+2≥2+2V-4,当且仅当- 且仅当给-品即ú=6，又+名=4，解得a=6号时取等 8总 即2b=a+c时，等号成立， 号 ∴.m≤4，即m的取值范围为mm≤4}. 例3：证明：a>b,∴a-b>0.又ab=1, 女±2-2边-a-2咖-u-6+26 2 对点训练1：a≥}因为x>0,所以x+士≥2，当且仅当 a-b a-b a-b 2a-6名。-2叫装=2.即。+f2aa x=1时取等号，所以有2+3x+1 ,当且仅当a-6-己5即a-6=取等号 1 F+3x+的最大值为写故a≥行 对点训练3：证明：：x,y,z是正数， 例2：(1)设每间虎笼长xm,宽ym,则由条件知：4x+6y=36,即 -284