1.3.2 课时3 基本不等式的实际应用导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3.2 课时3 基本不等式的实际应用 【学习目标】 1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(逻辑推理) 2.能够建立数学模型解决实际问题.(数学建模) 【自主预习】 　　春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100 m2的花圃.有以下两种方案：圆形花圃，造价为12元/m；矩形花圃，造价为10元/m. 1.你觉得哪个方案更省钱呢?(≈1.772，结果保留整数) 2.假如现在只有36 m的篱笆可用，怎样设计才能使得矩形花圃的面积最大? 1.某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为200 m2的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要(　　). A.20 m B.40 m C.60 m D.80 m 2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　). A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 3.若在如图所示的锐角三角形空地中，建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.  4.甲工厂承担了某种产品的生产，当以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量，要求1≤x≤10)，每小时消耗A材料(kx2+9)千克，已知当每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.如果消耗A材料的总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度?此时消耗A材料多少千克? 【合作探究】 探究1　利用基本不等式解决几何的实际问题 问题：将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架.甲、乙、丙、丁四种铁丝的长度分别为6.5 m，6.9 m，7 m，7.2 m，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝是哪种?为什么? 　　利用基本不等式解决实际问题的步骤 解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，最后运用基本不等式解决问题. 例1　如图，某大学要修建一个面积为216 m2的长方形景观水池，并且在景观水池的四周要修建出宽为2 m和3 m的小路，则总占地面积的最小值为(　　). A.321 m2 B.384 m2 C.392 m2 D.420 m2 【方法总结】利用基本不等式解决实际问题时，一般先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件. 某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 探究2　生活中的最优化问题 　　某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元. 问题1：如何求一年的总运费与总存储费用之和的最小值? 问题2：利用基本不等式解决实际问题要注意什么? 　　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在自变量的取值范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案. 例2　某种生产设备购买时的费用为10万元，每年的设备管理费共计0.9万元，这种生产设备使用x年的维修费为z=0.1x2+0.1x(单位：万元).这种生产设备最多使用多少年报废最合算(使用多少年的年平均费用最少)? 【方法总结】对于应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要结合题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数的图象求解. 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560+48x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 【随堂检测】 1.某公司购买了一批机器并投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s=-t2+22t-64，若要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为(　　). A.10 B.11 C.7 D.8 2.一批货物随17列火车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列火车的间距不得小于千米，若这批货物全部运到B市，则最快需要________小时.  3.某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为24 m2的长方形草坪，如图所示，草坪中间设计一个矩形区域ABCD种植花卉，矩形ABCD上、下各留1 m，左、右各留1.5 m的空间种植草.设草坪的长度为x(单位：m)，宽度为y(单位：m)，矩形ABCD的面积为S(单位：m2). (1)试用x，y表示S； (2)求S的最大值，并求出此时x，y的值. 参考答案 1.3.2 课时3 基本不等式的实际应用 自主预习·悟新知 预学忆思 1.圆形花圃：设圆形花圃的半径为r m，周长为C m，面积为S圆 m2，则S圆=πr2=100，解得r=，∴C=2πr=20，故花费为20×12≈425(元). 矩形花圃：设相邻两边为x m，y m，则S矩形=xy=100，∴C=2(x+y)≥4=40，故当x=y=10时花费最少，最少为400元. 故矩形花圃最省钱. 2.设矩形相邻两边为x m，y m， 由C=2(x+y)=36，得x+y=18. ∵x+y≥2， ∴18≥2，∴S=xy≤81， 当且仅当x=y=9时，面积有最大值，最大值为81 m2. 自学检测 1.B　【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x m，相邻的一边的边长为y m，则xy=200(x>0，y>0). 设围栏总长为l m， 则l=x+2y≥2=40，当且仅当x=2y时，取等号， 此时x=20，y=10，则围栏总长最小需要40 m. 2.A　【解析】设y1=，y2=k2x(x为仓库到车站的距离，x>0)，由题意得2=，8=10k2，得k1=20，k2=0.8，所以y1=，y2=0.8x. 费用之和y=y1+y2=+0.8x≥2=8， 当且仅当=0.8x，即x=5时，等号成立. 3.20　【解析】设矩形花园的宽为y m(0<y<40)，由相似三角形性质可得=，则y=40-x，所以矩形花园的面积S=x(40-x)≤2=400，当且仅当x=40-x，即x=20时取等号，故当x=20 m时，内接矩形花园的面积最大. 4.【解析】由题意，得k+9=10，即k=1，生产1 000千克该产品需要的时间是小时， 所以生产1 000千克该产品需消耗的A材料的重量为y=(x2+9)=1 000x+≥1 000×2=6 000，当且仅当x=，即x=3时，等号成立，且1<3<10. 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6 000千克. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题：选用最合理的铁丝是乙.设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l m，则ab=2，∴ab=4，故l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(当且仅当a=b时，取等号)， 所以乙够用且浪费最少. 新知运用 例1　B　【解析】设水池的宽为x m，则长为 m， 则总占地面积y=(x+4)=240+6x+≥240+2=240+144=384， 当且仅当6x=，即x=12时取等号， 故总占地面积的最小值为384 m2. 巩固训练　【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab=800， 所以S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4=648， 当且仅当a=2b，即a=40，b=20时，等号成立，则Smax=648. 故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2. 探究2　情境设置 问题1：由题意知，一年的总运费为·9=万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为万元， 又4x+≥2=360，当且仅当4x=，即x=45时，等号成立， ∴当x=45时，一年的总费用与总存储费用之和最小，最小值为360万元. 问题2：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. 新知运用 例2　【解析】设使用x年的年平均费用为y万元.由题意得y=，即y=1++(x∈N*). 由基本不等式知y≥1+2=3，当且仅当=，即x=10时取等号. 因此，使用10年报废最合算，其年平均费用为3万元. 巩固训练　【解析】由题意知，每平方米的平均购地费用为=， ∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48. 当x+取最小值时，y取得最小值. ∵x≥10，∴x+≥2=30， 当且仅当x=，即x=15时，等号成立， ∴当x=15时，y取得最小值，最小值为2 000元， 即该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年)的关系为s=-t2+22t-64， 所以年平均利润y==-t-+22=-t++22≤-2+22=6， 当且仅当t=8时，等号成立， 所以当每台机器运转8年时，获得的年平均利润最大. 故选D. 2.8　【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时， 则t==+≥2=8， 当且仅当=，即v=100时，等号成立， 所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时. 3.【解析】(1)由题意可得，矩形ABCD的长为(x-3)m，宽为(y-2)m，故S=(x-3)(y-2)，x>3，y>2. (2)∵xy=24，∴S=(x-3)(y-2)=xy-2x-3y+6≤xy-2+6=6(当且仅当2x=3y，且xy=24，即x=6，y=4时取等号).故S的最大值为6 m2，此时x=6，y=4. 学科网（北京）股份有限公司 $