1.1.3 第2课时全集与补集-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

2a=2, 当B=0,2}时， △=4a>0,得a=1. -3 la2-a=0, 由补集的定义可知CA={xx<-3,或x=5} 综上所述，得a的取值范围是{ala=1或a≤0. ②.AUB=B,∴.ACB 对点训练1：(1)B由题意知集合A={x ENIx2≥5}，则C,A= ·A=0,2},而B中方程至多有两个根， x∈NI2≤x<5}=2},故选B. .∴.A=B,由①知a=1. (2)2:AU(CA)=U,且An(CA)=☑， 对点训练3：(1)由题意得M=2, .A={xl1≤x<2},a=2. 当m=2时，N={xlx2-3x+2=0}={1,2}, 例2：如图 .M∩N={2},MUN=1,2}. C (2).M∩N=M,.MCN,.M=2},∴.2eN, A ∴.2是关于x的方程x2-3x+m=0的解， -3-2-101234x 即4-6+m=0,解得m=2. 由图可得CA=xlx≤-2，或3≤x≤4}.如图， 易错警示 例4：{ala<1或a>3}.AUB=A,.B二A. U ①当B≠2时，有0>3，或2a-1<-2 ⊙ 解得a>3 la≤2a-1la≤2a-1, -3-2-101234x ②当B=⑦时，由a>2a-1,得a<1. --- 由图可得CB={xlx<-3,或2<x≤4}.如图， 综上可知，实数a的取值范围是{aIa<1或a>3},故填 {ala<1或a>3}. 课堂检测固双基 -3-2-101234x 1.B集合A={1,2},B={2,3},则AUB={1,2,3} 由图可得A∩B=xI-2<x≤2}， 2.CAnB={xlx<1}∩{xl-2<x<2}={xl-2<x<1},故 .(CA)UB=xlx≤2或3≤x≤4}， 选C. A∩(CB)={xI2<x<3}. 3.C图中阴影表示AUB,又因为A=2,4,6},B={1,3,6},所 对点训练2：(1){1,2,3}CB={2,AU(CB)={1,2,3 以AUB={1,2,3,4,6},故选C. (2)BU=R,B=xlx>1},CB={xlx≤1.又A= 4.B利用数轴画图解题， Ixlx >0,..An(CB)=0<x1. B A 例3：因为全集U=R,集合A={xlx≤1或x≥3}， 所以CA=xl1<x<3}, a 因为集合B={xlk<x<2k+1},(CA)nB=☑， 要使AUB=R,则实数a≤1，故选B. 所以分以下两种情况讨论： 5.(1)由m=1,得A=xl-1<x<2}, (1)若B=),则k≥2k+1,解得k≤-1； .AUB={xl-1<x<5} (2).A∩B=A,.A二B.显然A≠). （2若8≠.则+安21架得3或-1 k≥3 2k+1≤1， 故有巴5 k≤0. 解得3≤m≤4. 由(1)(2)可知，实数k的取值范围是k≤0或k≥3. .实数m的取值范围为[3,4]. 9 对点训练3：{0a≥8或a=0}假设集合4中含有2个元素， 第2课时全集与补集 即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根，则 必备知识探新知 知识点1(1)子集 a=9-8a>0.解得a<号且a≠0，则此时实数a的取值范 ∫a≠0， 知识点2子集A二U不属于ACA={xxeU,且x生A} 围是{aa<名且a≠0}在全集U=k中， 知识点3U☑A 关键能力攻重难 集合{a<号且a≠0的补集是{o≥或a=0 例1：(1)2,3,5,7}A=1,3,5,7},CA={2,4,6}, .0={1,2,3,4,5,6,7}. 所u满足题i的实数a的陬伯足(aa≥令或a=-0 又CB={1,4,6}B=2,3,5,7} 易错警示 (2){xlx<-3,或x=5}将全集U和集合A分别表示在数！例4：若BUA=A,则B二A..A={xIx-2x-8=0}={-2,4}, 轴上，如图所示 .集合B有以下三种情况： -280 ①当B=0时，4=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,.a<-4或 所以m=±12，所以p台q, a>4; 所以q不是p的必要条件. ②当B是单元素集时，4=a2-4(a2-12)=0,.a=-4或 (3)因为无理数是无限不循环小数， a=4. 所以p三→g,所以g是p的必要条件 若a=-4,则B=2}4A;若a=4,则B={-2}CA; (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p→g,所 ③当B=-2,4}时，-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根， 以q是p的必要条件 {a=-2t4, 例2：(1)C4>3.14,则x>4能推出x>3.14,故选C 1a2-12=-2×4, (2)①由于QR,所以p→q, .a=-2 所以p是q的充分条件. 综上可得，BUA=A时，a的取值集合为aIa<-4或a=-2! ②由x>1可以推出x2>1.因此p→q, 或a≥4}. 所以p是g的充分条件 .BUA≠A的实数a的取值集合为al-4≤a<4且a≠-2. ③由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定 课堂检测固双基 有a=3, 1.DAUB=1,2}U2,3}=1,2,3}, 因此p≠9，所以p不是q的充分条件 ..C(AUB)=4. ④由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC.因此P一 2.A由题意得阴影部分集合为C(MUN) 9,所以p是g的充分条件. .MUN=xx≥1或x<-2}, ⑤因为a,beR,所以a2≥0，b2≥0， .C(MUN)={x-2≤x<1.故选A 由a2+62=0,可推出a=b=0,即p→9， 3.{7,9}由题意，得U=11,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CA= 所以p是g的充分条件. 4,6,7,9,10},所以(CA)nB=7,9. 对点练习2：(1)若x2=y2,则x=y或x=-y, 4.CA={1,3,6,7},CB={2,4,6}, 因此p≠g,所以p不是q的充分条件. .An(CB)=2,4,5}n2,4,6}=2,4}, (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， (CA)n(CB)=1,3,6,7}n2,4,6}={6. 所以P→q,所以p是q的充分条件 5.B∩C={xlx是正方形}，C,B={xlx是邻边不相等的平行四边 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 形或梯形}，C、A=xlx是梯形. 所以a的个位数字为偶数； §2常用逻辑用语 所以P→g,所以p是g的充分条件 (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0→x=1且y=2→(x-1)·(y 2.1必要条件与充分条件 -2)=0, 所以P=q,所以p是q的充分条件. 必备知识探新知 例3：(1)A由x2+y2=0,得x=0且y=0,即“x2+y2=0”→ 知识点1p→gp→q9→pp台9必要条件 充分条 “xy=0”;由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”≠“x2+y2= 件充分且必要条件充要条件 0” 关键能力攻重难 所以“y=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件 例1：(1)B (2)A若“四边形ABCD为菱形”，显然对角线垂直： (2)①若1xl=1yl,则x=y或x=-y, 但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直 因此p台g,所以q不是p的必要条件： 的等腰梯形 ②直角三角形不一定是等腰三角形. 所以“四边形ABCD为菱形”是“AC L BD”的充分不必要条件」 因此Pq,所以q不是p的必要条件； ! (3)C.·A∩B=A台ACB. ③当x=1时，x-1=x-1=0, ∴.“A∩B=A”是“A二B”的充要条件 所以p→q,所以q是p的必要条件； 对点训练3：B若命题P:x∈(A∩B)成立，命题q:x∈A或x∈B ④当x=-2时，-2≤x≤5成立，但是-1≤x≤5不成立， 一定成立；若命题q:x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B 所以pq,所以q不是p的必要条件； 中的元素，所以P是q的充分不必要条件. ⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以p≠g, 例4：B设q,P表示的范围分别为集合A,B, 所以q不是p的必要条件； 则A=(2,3),B=(a-4,a+4) ⑥等边三角形一定是等腰三角形， 所以p→q,所以q是p的必要条件 因为g是D的充分条件，则有ACB,即-4≤2， a+4≥3， 对点训练1：(1)1的平方根是±1， 所以-1≤a≤6.故选B. 所以p台q,所以q不是p的必要条件 对点训练4：由p得(x-3a)(x-a)<0,当a<0时3a<x<a,由 (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2， g得-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2， —281014 课堂检测 固双基 1.设集合A={x∈N*|-1≤x≤2}，B=2,3}, <5. 则AUB= () (1)若m=1,求AUB; A.{-1,0,1,2,3 B.{1,2,3 (2)若A∩B=A,求实数m的取值范围. C.{-1,2 D.{-1,3 2.已知集合A={x|x<1},B={x1-2<x<2}, 则A∩B= () A.{x|x<1} B.{xl1<x<2} C.{xl-2<x<1} D.{xl-2<x<2 3.设集合A={2,4,6},B={1,3,6},则如图中阴 影部分表示的集合是 A.{2,4,6 B.{1,3,6 C.{1,2,3,4,6} D.{6 4.已知集合A=(-0,1],B=[a,+∞)，AUB =R,则实数a的取值范围为 A.（-∞，1) B.(-∞，1] 夯基提能作业 C.（1,+∞) D.[1,+∞) 请同学们认真完成练案[4] 5.已知集合A={xm-2<x<m+1},B={x11<x 第2课时 全集与补集 必备知识探新知 知识点1全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的 ,这个给定的集合叫作 全集 (2)表示方法：常用符号U表示. 知识点2补集 设U是全集，A是U的一个（即 ),则由U中所有 文字语言 的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集 符号语言 A 图形语言 知识点3补集的性质 对任何集合A,有AU(C,A)=,An(CA)=,Cu(CuA)= 015 关键能力 攻重难 ●题型一补集的运算 例1.1)已知全集为U,集合A=1,35,7,CA=2,461,C,B=1,4. 归纳提升：求集合的 补集的方法 6,则集合B= (1)定义法：当集合 (2)已知全集U={x1x≤5，集合A={x-3≤x<5},则CA= 中的元素较少时，可 利用定义直接求解。 [分析](1)先结合条件，由补集的性质求出全集U,再由补集的定 (2)Ven图法：借 义求出集合B,也可借助Venn图求解. 助Venn图可直观地 (2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解。 求出全集及补集 [归纳提升] (3)数轴法：当集合 中的元素连续且无限 )对点训练1 时，可借助数轴求 (1)设全集U={x∈NIx≥2}，集合A={x∈NIx2≥5}，则CA= ( 解，此时需注意端点 A.⑦ B.{2 C.{5 D.{2,5} 问题 (2)已知全集U={xI1≤x≤5}，A={x1≤x<a},若CA={xI2≤x≤5}，则 a ●题型二交集，并集、补集的综合运算 归纳提升：求集合交、 例2，已知全集0=x≤4，集合A=x1-2<x<3,B=1-3≤≤ 并、补运算的方法 常借助于戴轴 2,求A∩B,(CA)UB,A∩(CB) 把已知集合及 全集分别表示 [分析]对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、 无限集在裁轴上，然 后再根据交 B,先求出CA及CB,再求解. 并，补集的定 有 义求解。这样 集 处理比较形象 直见，解答过 程中注意边界 并 问题 补 先把集合中的 的 元素一一列举 运算 出来，袭后结 有限集 合交升、补 集的定义来求 解，另外针对 此类问题」 在 解答过程中也 常常借助于 Vem图来求解 这样处理起来 相对未说此较 直观、形亲 且解答时不易 出给 [归纳提升] )对点训练2 (1)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则AU(CB)= (2)设U=R,A={xlx>0,B={xlx>1},则A∩(CB)= A.{x10≤x<1} B.{xI0<x≤1} C.xlx<0 D.{x|x>1} 016 归纳提升： ●题型三根据集合运算结果求参数的值或范围 由集合运算结果求参 数的方法 例 3.已知全集U=R,集合A={xlx≤1或x≥3}，集合B={xIk<x<2k+ (1)利用Venn图分析. 1,且(CA)∩B=⑦，求实数k的取值范围， 当集合中元素个数有 [分析]求CA,然后根据(CA)∩B=⑦分类讨论 限时，可根据集合运 算结果，利用Venn图 直观展示各集合之间 的关系，进而列出方 程（或不等式）求参数 的值（或范围） (2)利用数轴分析. 当集合中元素个数无 限时，可根据集合运 算结果画数轴直观展 示各集合之间的关 系，通过分析裁轴上 [归纳提升] 有关点的位置关系列 对点训练3 方程（或不等式）求参 若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围 数的值（或范围） 为 ●易错警示分类讨论时，考虑不全致错 例4已知1=x12-2x-8=0,B=x12+ax+d2-12=0.若BUA≠ A,求实数a的取值集合 [错解]若AUB=A,则BCA.A={-2,4}, 集合B有两种情况： ①当B=⑦时，4=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,∴.a>4或a<-4: ②当B={-2,4}时，-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根， 6224 ∴.a=-2. 综上可得，BUA=A时，a的取值范围为{aa>4或a<-4或a=-2}. 所以实数a的取值集合为{al-4≤a≤4，且a≠-2}. [辨析]要求BUA≠A,可先求BUA=A时，a的取值集合，再求出该 集合在实数集R中的补集，注意此时分三种情况讨论. [正解] [点评]在分情况讨论时一定要考虑完整，避免遗漏.同时此题为我 们提供了一种思维方式一补集思想，当顺向思维受阻时，可以从反 向考虑更容易解决问题，这也是转化思想的一种体现 017 课堂检测 固双基 1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,B=4.已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B= {2,3},则C(AUB)= () 11,3,5,71An(CB),(CA)(C.B). A.{1,3,4} B.3,4 C.{3 D.{4 2.设全集U是实数集R,M={xIx<-2或x> 2},N={x1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表 示的集合为 ）5.设S={xlx是平行四边形或梯形}，A={xx是平 行四边形}，B={xlx是菱形，C={xlx是矩形}， 求B∩C,CB,CsA. A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{xlx≤2或x>3}D.{x|-2≤x≤2 3.设全集U={n∈NI1≤n≤10}，A={1,2,3,5,8}, 夯基提能作业 B={1,3,5,7,9,则(CA)∩B= 请同学们认真完成练案[5] §己常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 课标要求 核心素养 1.在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以 1.结合具体实例，理解充分条件、必 义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件 与必要条件表达学过的相应内容，培养学生数学抽象的 要条件的意义. 核心素养 2.理解充分不必要条件、必要不充 分条件和充要条件的意义， 2.本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因 此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌 3.掌握充分不必要条件、必要不充 握解决此类问题的方法。 分条件和充要条件的判定方法. 3.对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分 清充分性和必要性，培养学生逻辑推理的核心素养. 必备知识 探新知 知识点1必要条件、充分条件和充要条件 知识点2判定定理、性质定理与充分条 命题 件、必要条件的关系 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是真命题 真假 “若q,则p”是真命题 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相 推出 应数学结论成立的一个充分条件， 关系 且 记作 (2)数学中的每一条性质定理都给出了相 条件q是p的 p是q的 应数学结论成立的一个必要条件 关系p是q的 简称p是g的