1.2.1 必要条件与充分条件-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

017 课堂检测 固双基 1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,B=4.已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B= {2,3},则C(AUB)= () 11,3,5,71An(CB),(CA)(C.B). A.{1,3,4} B.3,4 C.{3 D.{4 2.设全集U是实数集R,M={xIx<-2或x> 2},N={x1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表 示的集合为 ）5.设S={xlx是平行四边形或梯形}，A={xx是平 行四边形}，B={xlx是菱形，C={xlx是矩形}， 求B∩C,CB,CsA. A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{xlx≤2或x>3}D.{x|-2≤x≤2 3.设全集U={n∈NI1≤n≤10}，A={1,2,3,5,8}, 夯基提能作业 B={1,3,5,7,9,则(CA)∩B= 请同学们认真完成练案[5] §己常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 课标要求 核心素养 1.在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以 1.结合具体实例，理解充分条件、必 义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件 与必要条件表达学过的相应内容，培养学生数学抽象的 要条件的意义. 核心素养 2.理解充分不必要条件、必要不充 分条件和充要条件的意义， 2.本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因 此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌 3.掌握充分不必要条件、必要不充 握解决此类问题的方法。 分条件和充要条件的判定方法. 3.对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分 清充分性和必要性，培养学生逻辑推理的核心素养. 必备知识 探新知 知识点1必要条件、充分条件和充要条件 知识点2判定定理、性质定理与充分条 命题 件、必要条件的关系 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是真命题 真假 “若q,则p”是真命题 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相 推出 应数学结论成立的一个充分条件， 关系 且 记作 (2)数学中的每一条性质定理都给出了相 条件q是p的 p是q的 应数学结论成立的一个必要条件 关系p是q的 简称p是g的 018 关键能力 攻重难 归纳提升： ●题型一 必要条件 女要条件的两种判断 方法 例 1.(1)使1x1=x成立的一个必要条件是 (1)定义法 A.x<0 B.x≥0或x≤-1 C.x>0 D.x≤-1 第 确定谁是条 (2)下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ 步 件，谁是结论 ①若Ix|=ly,则x=y; ②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； 第 尝试由条件 ③p:x=1,9:x-1=√x-1; 步 推结论 ④p:-2≤x≤5,9：-1≤x≤5； ⑤p:a是自然数，q:a是正整数； 若条件能推 出结论，则结 ⑥p:三角形是等边三角形，q:三角形是等腰三角形， 第 论为条件的 女要条件，否 则结论就不 是条件的必 要条件 [归纳提升] (2)命题判断方法 对点训练1 如果命题：“若p,则 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ q”是真命题，则q是p 的必要条件 (1)若a是1的平方根，则a=1. 如果命题：“若p,则 (2)若4x2-mx+9是完全平方式，则m=12 9”是假命题，则g不 (3)若a是无理数，则a是无限小数 是P的必要条件 (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等. 归纳提升：充分条件 的两种判断方法 (1)定义法 第 确定谁是条 步 件，谁是结论 ●题型二 充分条件 例 .(1)设x∈R,则使x>3.14成立的一个充分条件是 尝试由条件 A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4 步 推结论 (2)下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q,则aeR; 若条件能推出 ②若x>1,则x2>1; 结论，则条件 ③若(a-2)(a-3)=0,则a=3; 第 为结论的充分 ④若△ABC中，若A>B,则BC>AC; 步 条件，否则条 ⑤已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0. 件就不是结论 的充分条件 (2)命题判断方法 如果命题：“若P,则 q”是真命题，则p是 q的充分条件： 如果命题：“若p,则 q”是假命题，则p不 是q的充分条件 [归纳提升] 019 )对点训练2 归纳提升：充分条件、必要 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中p是9的充分条件？ 条件的两种判断方法 (1)定义法：①确定谁 (1)若x2=y2,则x=y; 是条件，谁是结论. (2)若内错角相等，则两直线平行； ②尝试从条件推结论，若 (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； 条件能推出结论，则条件 为充分条件，否则就不是 (4)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0. 充分条件. ③尝试从结论推条件，若 结论能推出条件，则条件 为必要条件，否则就不是 必要条件 (2)命题判断法：①如 果命题：“若P,则q”为 真命题，那么p是q的充 分条件，同时q是Pp的必 要条件 ②如果命题：“若p,则 q”为假命题，那么p不 是q的充分条件，同时9 也不是P的必要条件 题型三充分条件、必要条件及充要条件的判断 例3.(I)对于任意的xR,“=0是×+Y=0的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 归纳提升： 根据充分条件与必要条 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 件求参数取值苑围的步 (2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱 骤如下 形”是“AC⊥BD”的 (1)记集合M={x p(x),N=Ixlq(x). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 (2)根据以下表格确定 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 集合M与N的包含 (3)设A,B是两个集合，则“A∩B=A”是“A二B”的 关系 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 条件类别 集合M与 N的关系 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 >[归纳提升] p是q的充 分不必要 M车N )对点训练3 条件 设A、B为两个互不相同的集合，命题p:x∈(A∩B);命题q:x∈A或x∈B, p是q的必 则p是g的 条件 要不充分 M子N A.充分必要 B.充分不必要 条件 C.必要不充分 D.既不充分又不必要 p是g的充 M=N 要条件 ●题型四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 p是q的充 MCN 例 4.已知p:-4<x-a<4,9:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件， 分条件 则实数a的取值范围为 p是9的必 要条件 M2N A.（-1,6) B.[-1,6 (3)根据集合M与N C.(-0,-1)U(6,+∞) D.(-0,-1]U[6,+∞) 的包含关系建立关于参 [分析]可将p和g中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充 数的不等式（组）. 分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数α的 (4)解不等式（组）求 出参数的取值范围 不等式组，从而求得实数α的取值范围。 [归纳提升] 020 )对点训练4 设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,aeR;9:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0. 若a<0且p是g的充分不必要条件，求实数a的取值范围. ●易错警示误将充分条件当作充要条件 例 .给出下列各组条件： ①p:ab=0,9:a2+b2=0; ②p:xy≥0,9：lxl+Iyl=Ix+yl; ③p:m>0,g:方程x2-x-m=0有实根； ④p:x>2或x<-1,9:x<-1. 其中p是q的充要条件的有 () A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 [错解]①因为ab=0→a=0或b=0,所以p为g,故p不是q的充要条件.②因为xy≥0，所 以x,y是同号或者为0，故p→q,所以p是q的充要条件.③△=1+4m,当m>0时△>1，方 程x2-x-m=0有实根，所以p→q,所以p是g的充要条件.④p:x>2或x<-1,∴.pq, .p不是q的充要条件. 综上，P是q的充要条件的有2组，故选B. [辨析]误将充分条件当作充要条件，当p→q时，我们只能判断p是g的充分条件，只有P→ q与q→p同时成立，才能称p是q的充要条件. [点评]对于两个条件A,B,若A→B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A), B是A的必要条件；若B→A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A曰B,则A, B互为充要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性. 课堂检测固双基 1.“a+b>2c”的一个充分不必要条件是（)5.下列各题中，哪些p是g的充要条件？ A.a>c或b>c B.a>c或b<c (1)P:三角形为等腰三角形，g:三角形存在两 C.a>c且b<c D.a>c且b>c 角相等； 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要 (2):⊙0内两条弦相等，g:⊙0内两条弦所 条件，则a的取值范围是 ( 对的圆周角相等； A.a≥3 B.a≤-1 (3)p:A∩B为空集，9：A与B之一为空集. C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两 个充要条件： 充要条件① 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件) 夯基提能作业 4.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m 请同学们认真完成练案[6] 的取值范围是①当B=0时，4=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,.a<-4或 所以m=±12，所以p台q, a>4; 所以q不是p的必要条件. ②当B是单元素集时，4=a2-4(a2-12)=0,.a=-4或 (3)因为无理数是无限不循环小数， a=4. 所以p三→g,所以g是p的必要条件 若a=-4,则B=2}4A;若a=4,则B={-2}CA; (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p→g,所 ③当B=-2,4}时，-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根， 以q是p的必要条件 {a=-2t4, 例2：(1)C4>3.14,则x>4能推出x>3.14,故选C 1a2-12=-2×4, (2)①由于QR,所以p→q, .a=-2 所以p是q的充分条件. 综上可得，BUA=A时，a的取值集合为aIa<-4或a=-2! ②由x>1可以推出x2>1.因此p→q, 或a≥4}. 所以p是g的充分条件 .BUA≠A的实数a的取值集合为al-4≤a<4且a≠-2. ③由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定 课堂检测固双基 有a=3, 1.DAUB=1,2}U2,3}=1,2,3}, 因此p≠9，所以p不是q的充分条件 ..C(AUB)=4. ④由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC.因此P一 2.A由题意得阴影部分集合为C(MUN) 9,所以p是g的充分条件. .MUN=xx≥1或x<-2}, ⑤因为a,beR,所以a2≥0，b2≥0， .C(MUN)={x-2≤x<1.故选A 由a2+62=0,可推出a=b=0,即p→9， 3.{7,9}由题意，得U=11,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CA= 所以p是g的充分条件. 4,6,7,9,10},所以(CA)nB=7,9. 对点练习2：(1)若x2=y2,则x=y或x=-y, 4.CA={1,3,6,7},CB={2,4,6}, 因此p≠g,所以p不是q的充分条件. .An(CB)=2,4,5}n2,4,6}=2,4}, (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， (CA)n(CB)=1,3,6,7}n2,4,6}={6. 所以P→q,所以p是q的充分条件 5.B∩C={xlx是正方形}，C,B={xlx是邻边不相等的平行四边 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 形或梯形}，C、A=xlx是梯形. 所以a的个位数字为偶数； §2常用逻辑用语 所以P→g,所以p是g的充分条件 (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0→x=1且y=2→(x-1)·(y 2.1必要条件与充分条件 -2)=0, 所以P=q,所以p是q的充分条件. 必备知识探新知 例3：(1)A由x2+y2=0,得x=0且y=0,即“x2+y2=0”→ 知识点1p→gp→q9→pp台9必要条件 充分条 “xy=0”;由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”≠“x2+y2= 件充分且必要条件充要条件 0” 关键能力攻重难 所以“y=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件 例1：(1)B (2)A若“四边形ABCD为菱形”，显然对角线垂直： (2)①若1xl=1yl,则x=y或x=-y, 但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直 因此p台g,所以q不是p的必要条件： 的等腰梯形 ②直角三角形不一定是等腰三角形. 所以“四边形ABCD为菱形”是“AC L BD”的充分不必要条件」 因此Pq,所以q不是p的必要条件； ! (3)C.·A∩B=A台ACB. ③当x=1时，x-1=x-1=0, ∴.“A∩B=A”是“A二B”的充要条件 所以p→q,所以q是p的必要条件； 对点训练3：B若命题P:x∈(A∩B)成立，命题q:x∈A或x∈B ④当x=-2时，-2≤x≤5成立，但是-1≤x≤5不成立， 一定成立；若命题q:x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B 所以pq,所以q不是p的必要条件； 中的元素，所以P是q的充分不必要条件. ⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以p≠g, 例4：B设q,P表示的范围分别为集合A,B, 所以q不是p的必要条件； 则A=(2,3),B=(a-4,a+4) ⑥等边三角形一定是等腰三角形， 所以p→q,所以q是p的必要条件 因为g是D的充分条件，则有ACB,即-4≤2， a+4≥3， 对点训练1：(1)1的平方根是±1， 所以-1≤a≤6.故选B. 所以p台q,所以q不是p的必要条件 对点训练4：由p得(x-3a)(x-a)<0,当a<0时3a<x<a,由 (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2， g得-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2， —281 设p:4=(3a,a),9:B=(-0,-4)U[-2,+∞)， (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 又p是g的充分不必要条件，可有A至B, (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 所以a≤-4或3u≥-2，即a≤-4或a≥号， (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度 就不是有理数. 又a<0,所以a≤-4或-号≤a<0 (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解. 对点训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 即实数a的取值范围为(-一，-4]U-子，0 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该 易错警示 命题是真命题 例5：A对于①由p台g知，p一定不是g的充要条件.对于②，！ (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数！ 由Ix+Iyl=Ix+y知x,y要么同为正数，要么同为负数，要 所以该命题是真命题 么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件.对于③，方程 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20 X2-x-m=0有实数解，判别式4=1+4m≥0，即m≥-4， 1 成立，所以该命题是真命题， (4)全称量词命题.0的0次方无意义，以该命题是假命题 所以q台p,∴.p是q的充分不必要条件.对于④，因为p≠g,例3：(1)(-1，+0)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m, 所以p不是g的充要条件，故只有②是，故选A. 因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，所以1+m>0,即m 课堂检测固双基 >-1,所以实数m的取值范围是(-1，+∞). 1.D由a>c且b>c可推得a+b>2c,但当a+b>2c时，不一 (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根，当a= 定能推得a>c且b>c,故选D. 0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意；当a≠0时， 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故： △=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. a≤-1. 综上知，实数a的取值范围是[-1，+0). 3.两组对边分别平行一组对边平行且相等 对点训练3：C依题意，方程x2-23x+m=0有实数解，则4 4.m>2因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件， =(-2√3)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. 所以(m,+o)是(2，+o)的真子集，所以m>2. 易错警示 5.在(1)中P,所以p是q的充要条件 例4：②③①④ 在(2)中，⊙0内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因课堂检测固双基 此，p台g,所以p不是g的充要条件 1.B 在(3)中，取A=1,2},B=3},显然，A∩B=⑦，但A与B均不 2.B 为空集，因此P台g,所以p不是q的充要条件 i3.B 3 >0恒成立，所 2.2全称量词与存在量词 对于在意的xeR++1=(+)+ 以存在xeR,使x2+x+1=0是假命题， 第1课时全称量词命题与存在量词命题 4.②③①④ 5.存在量词命题了x,yeR,x+y>1 必备知识探新知 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点11.所有 知识点21.某些 必备知识探新知 关键能力攻重难 知识点13x∈M,x不具有性质p(x)》 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 知识点2Hx∈M,x不具有性质p(x) 然为全称量词命题 关键能力攻重难 (2)命题为存在量词命题 例1：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 (2)3aeR,方程x2+ax+2=0没有实数根. 为全称量词命题 (3)3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. (4)命题是全称命题“过平面内任意两点有且只有一条直线” (4)存在被5整除的整数，末位不是0. 的简写，故为全称量词命题 对点训练1：(1)该命题的否定：3x∈}-2，-1,0,1,2}，Ix-21<2 对点训练1：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题 (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题. (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数. (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题。 (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似 (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题， 例2：(1)任意x∈R,2x+1<0,为假命题 例2：(1)真命题，因为x2≥0，所以x2+1≥1，x2+1> 2恒成立. (2任意xeR2-x+≥0， 282