1.1.2 集合的基本关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

两直线的交点组成的集合是{(0，-3)}. 若a=1,则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1， 例2：(1)D由题意得，-1≤x≤1，-1≤y≤1，xeZ,yeZ,A= a}.故填1}(a=1)或{1，a}(a≠1). {(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4. 课堂检测固双基 (2)[-3,+∞)为使√x+3有意义，实数x需满足x+3≥1.C选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法 0,即x≥-3， 表示，且都表示集合中只有一个元素2024，都是数集.而选项 故所求集合可表示为[-3，+∞). C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程， :2.D (3)①集合 [111 {246,…}用描述法表示 因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k,k∈Z,又因为大 于-3且小于11，所以-3<x<11,即大于-3且小于11的偶 为{x=aneN} 数所组成的集合是{xl-3<x<11,x=2k,k∈Z}.故选D. 3.{0,1}A={-1,0,1},当x=-1,或1时，y=1,当x=0时，y= ②根据被除数=商×除数+余数，故此集合可表示为{xx= 0,.B={0,1}. 5n +1,nEN ③注查到坐轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故4.(1)要使x是整数，则3-1必是6的约数，当x=-3 可表示为{(x,y)Ixy=0,x∈R,yeR}. 0,1,2,4,5,6,9时，13-x1是6的约数 对点训练2：(1)∈因为2022=7×288+6,2024=7× .A=-3,0,1,2,4,5,6,9}. 289+1,所以2022∈M,2024M. (2)由y=-x2+9,xeZ,yeZ,y>0,可知0<y≤9. (2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示 当x=0,±1，±2时，y=9,8,5符合题意 为xeZ10≤x<10}. .B={5,8,9}. ②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可 (3)点(x,y)满足条件y=-x2+6,xeN,yeN, 表示为{xIIxl>3}. ③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述 则有0 或或=2 y=6ly=5y=2. 法可表示为{(x,y)1xy<0. .C={(0,6),(1,5),(2,2). ④1,3,5,7，…}用描述法可表示为xlx=2k-1,keN,}. 1.2集合的基本关系 例3：(1)列举法：(0,0)，(2,0)}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为x2x-3<5},即必备知识探新知 xlx<4}.也可用区间表示为(-∞，4) 知识点2任何一个A≤BB2A (3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数 知识点4ACBA≠B 构成的集合是{xlx=12n,n∈N}. 关键能力攻重难 (4)用描述法表示为D={x1x=2k+1,k≥2，k∈N}或D= 例1：(1)方法一：集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有 {xlx=2k+3,k∈N*} 些元素（比如0，-0.5）不在集合B中，故B车A 例4：①当k=0时，方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得 方法二：利用数轴表示集合A,B,如图所示，由图可知B手A, x=2,A={2}; ②当k≠0时，要使集合A={x12-8x+16=0}中只有一个 元素，则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根，所以4= -10 5 64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.综上所述，k=0时， (2):集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴.B军A. 集合A=2};k=1时，集合A=4}. (3)A={xlx2-x=0}={0,1}.在集合B中，当n为奇数时， 对点训练3：(1){-2,2,3}解方程x2-5x+6=0,得x=2 x=1+(-少=0，当n为偶数时，x=1+(,-1)=1 2 2 或x=3, .B=0,1},.A=B 解方程x2-x-6=0,得x=-2或x=3,所以以方程x2-5x+ 6=0和方程x2-x-6=0的解为元素的集合为{-2,2,3}. (4)方法一：由xy>0得x>0,y>0或x<0,y<0;由x>0,y> 0或x<0,y<0得xy>0,从而A=B. (2)集合A中的方程为x2-a+b-x=0,整理得x2-(a+1)x+ 方法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内 b=0. 的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第 因为A={-3,1},所以方程x2-(a+1)x+b=0的两根为-3,1. 一、三象限内的点对应的坐标，从而A=B. 由根与系数的关系，得-3+1=0+1、 解得-3， 对点训练1：D表示空集，没有元素，0}有一个元素，则)≠ -3×1=b, b=-3. {0},故①错误；：空集是任何集合的子集，故②正确；☑和 所以集合B中的方程为x2+6x-3=0,解得x=-3±2√3 {0}都表示集合，故③错误：0表示元素，{0表示集合，故④错 所以B=-3-23,-3+23} 误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误： 易错警示 1,2}中的元素都是1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合 例5：1}(a=1)或{1，a}(a≠1)x-(a+1)x+a=0,即(x- 的元素具有无序性，故a,b}二{b,a},故⑧正确.综上，正确 a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a. 的个数是4个 -278 例2：由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=A∩BA∩B={xlxEA,且xeB2.B∩ABA☑ 0,则方程的根为x=-4或x=-1或x=4. 知识点21.所有属于集合A或属于集合B AUB AUB 故集合A={-4,-1,4},由0个元素构成的子集为：☑ ={xIx∈A,或x∈B}2.BUA A BA A 由1个元素构成的子集为：{-4}，{-1}，4}. 关键能力攻重难 由2个元素构成的子集为：{-4，-1}，{-4,4，{-1,4. 例1：(1)BN=xlx2=x=0,1},.MnW={0,1},故选B. 由3个元素构成的子集为：-4，-1,4}. (2)D将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B={x1- 因此集合A的子集为：☑，-4，{-1}，4}，-4，-1}， 2≤x<-1},故选D. {-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}. 真子集为：☑，1-4}，{-1}，4}，{-4，-1}，-4,43,1-1,4. 对点训练2：B由题意知，集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d. 例3：(1)因为B二A, 3 当B=时，m+1≤2m-1,解得m≥2 (3){(1,2)}AnB=(x,y)14x+y=6}n{(x,y)13x+2y r-3≤2m-1, (2)当B≠☑时，有{m+1≤4， 1r4x+y=6={(1,2) =7={,3x+2=7月 2m-1<m+1, 对点训练1：(1)A:A={1,2,3,4},B={yly=2x-1,xeA}, 解得-1≤m<2.综上得m≥-1. .B={1,3,5,7}, 对点训练3：(1)1因为BCA,所以m2=2m-1, .AnB=1,3},故选A, 即(m-1)2=0,所以m=1.当m=1时，A={-1,3,1},B=3,1}, (2)D:AnB=1}, 满足BCA,故m=1. .1∈B (2)当B=☑时，只需2a>a+3,即a>3; .1是方程x2-4x+m=0的根， 当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴， .1-4+m=0,∴.m=3. .B=xlx2-4x+3=0}=x1(x-1)(x-3)=0}=1,3. -142aa+3文 例2：(1)AUB=1,2,3}U2,3,4,5}=1,2,3,4,5. 可得0+3≥2a 或a+3≥2u解得a<-4或2<a≤3. (2)画出数轴如图所示： la+3<-1l2a>4, 综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2. 256主 易错警示 例4：D因为BCA,所以当B≠☑，即a≠0时，B= .AUB={xI-3<x≤5}Uxl2<x≤6}={xl-3<x≤6}. 对点训练2：(1){0,1,2,3,4,5}AUB={0,2,4}U{0,1,2,3, {=-}因此有-亡eA所以a=: 5}={0,1,2,3,4,5. 当B=☑，即a=0时满足条件. (2){xIx>-2} 画出数轴如图所示，故AUB=xx> 综上可得实数a的所有可能取值的集合是{-1,0,1.故 -2}. 选D. 课堂检测固双基 A -2-10 1.CM={菱形}，N=正方形}，∴集合N的元素一定是集 合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素， 例3：(1){tt≤2} 由MUW=M得NCM,当N=O时，2t+1≤ ..NCM. 2-t,即t≤3，此时MUW=M成立. 2.B方程x2+1=0无实数解，.集合{xeR|x2+1=0}为空 ,2-t<2t+1, 集，故选B. 当N≠☑时，由数轴可得2t+1≤5， 3.D由数轴可知，P早Q.选D. 2-t≥-2， D 解得1 <t≤2 0 MN☐ 4.CA={x10≤x<3且x∈Z}=0,1,2},∴.集合A的真子集 -22-12+1 个数为7，故选C. 综上可知，实数t的取值范围是{tt≤2}. 5.②由N={-1,0},知NM. (2)由x2-2x=0,得x=0或x=2..A={0,2. 1.3集合的基本运算 ①.A∩B=B,.BCA,B=),{0},2},{0,2}. 当B=0时，△=4a2-4(a2-a)=4a<0,.a<0: 第1课时交集与并集 当B=0时4=4=0， 「a-a=0, .a=0: 必备知识探新知 知识点11.既属于集合A又属于集合B的所有元素 当B=2}时， 4-4a+d2-a=0无解： 14=4a=0, 279007 ●易错警示 忽视集合中元素的互异性 例5.方程r-(a+1)x+a=0的解集为 [错解]x2-(a+1)x+a=0,即(x-a)(x-1)=0,所以方程的实数根为x=1或x=a,则 方程的解集为{1，a}. [辨析]错解中没有注意到字母α的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}.事实上， 当a=1时，不满足集合中元素的互异性. [点评]在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中 元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a=1的情况，因此 要重点注意.一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保 集合中元素的互异性。 课堂检测 固双基 1.下列集合中，不同于另外三个集合的是() (2)B={yly=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0}; A.{xlx=2024} B.{y1(y-2024)2=0 (3)C=(x,y)ly=-x2+6,xEN,yEN. C.{x=2024} D.12024 2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 ( A.{x|-3<x<11,x∈Q} B.(-3,11) C.xl-3<x<11,x=2k,kEN D.xl-3<x<11,x=2k,kEZ 3.已知集合A={-1,0,1},集合B={yly=1x1, x∈A},则B= 4.用列举法表示下列集合 (IM-kezascz 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1. 2 集合的基本关系 课标要求 核心素养 1.在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学 1.理解集合之间包含和相等的含义，并 内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子 会用符号和Venn图表示. 集、真子集、集合相等、空集等概念，培养学生数学抽 2.会识别给定集合的真子集，会判断给 象的核心素养 定集合间的关系，并会用符号和Venn 2.要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符 图表示 号语言、图形语言，理解并掌握以上方法的转化及应 3.在具体情境中理解空集的含义. 用，培养学生逻辑推理，直观想象的核心素养。 008 必备知识 探新知 知识点1Venn图 知识点3集合相等 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B 封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图. 自然 的子集，且集合B也是集合A的子集，那么 知识点2子集 语言 称集合A与集合B相等 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 符号语言 ACB且BCAA=B 定义 元素都是集合B中的元素，即若 a∈A,则a∈B,那么称集合A为集合B的子集 图形语言 B(A) 记法与 记作 (或 ), 知识点4 真子集 读法 读作“A包含于B”(或“B包含A”) 对于两个集合A与B,如果 ,且 定义 图示 A(B) 那么称集合A是集合B的真子集 记法 记作A军B(或B学A) (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A. (2)空集是任何集合的子集，即对于任意一个 图示 结论 集合A,都有☑二A. (3)对于集合A,B,C,若ACB,且BCC, (1)AB,BC,则AC. 结论 则ACC (2)ACB且A≠B,则AB 关键能力 攻重难 归纳提升：判断集合间关 ●题型一集合间关系的判断 系的常用方法 (1)列举观察法 例1指出下列各组集合之间的关系： 当集合中元素较少时，可 (1)A={xl-1<x<5},B={xl0<x<5}; 列出集合中的全部元素， (2)A=xlx=2n,nEZ,B=xlx=4n,nEZ; 通过定义得出集合之间的 关系 (2)集合元素特征法 aM=2-g-0B=es1+2e29 首先确定集合的代表元素 是什么，弄清集合元素的 (4)A={(x,y)lxy>0},B={(x,y)1x>0,y>0或x<0,y<0} 特征，再利用集合元素的 [分析](1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以 特征判断关系. 利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合 殷地，设A=xlp(x)儿，B= {xq(x)},①若由p(x) A中方程得到集合A,再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集 可推出q(x),则ACB; 合B,进行判断：(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何 ②若由q（x)可推出 p(x),则BCA;③若 意义判断 p(x),q(x)可互相推 出，则A=B:④若由 p(x)推不出q(x),由 q(x)也推不出p(x),则 集合A,B无包含关系 (3)数形结合法 利用Venn图、裁轴等直 观地判断集合间的关系 一般地，判断不等式的 解集之间的关系，适合 画出数轴. ◆[归纳提升] ●009 )对点训练1 下列各式中，正确的个数是 () ①☑={0}；②☑C{0};③☑∈10}：④0={0}：⑤0∈{0}；⑥1}∈{1,2， 3};⑦1,2}C{1,2,3};⑧a,bC{b,a. A.1 B.2 C.3 D.4 ●题型二确定集合的子集、真子集 例2设A=x(16)(x+5x+4)=0,写出集合A的子集，并指出其 归纳提升： (1)若集合A中有 中哪些是它的真子集 n(n∈N,)个元素 用列举法 根据子集中所含元 从子集中除去集合 [分析] 则集合A有2”个子 表示集合A素的个数写出子集 A本身即得真子集 集，有(2”-1)个真 子集，有(2”-1)个 非空子集，有（2”- 2)个非空真子集. (2)写出一个集合的 所有子集时，首先要 注意两个特殊的子 集：☑和自身.其次， 依次按含有1个元素 的子集，含有2个元 素的子集，含有3个 元素的子集，… 一写出，保证不重 [归纳提升]不漏. )对点训练2 满足{a,b}二A{a,b,c,d的集合A的个数是 A.2 B.3 C.5 D.7 ●题型三由集合间的关系求参数范围问题 例3.已知集合A-3≤x≤4，B=x12m-1<<m+1,且BCA求 归纳提升： 实数m的取值范围， （1)分析集合间的关 [分析]借助数轴分析，注意B是否为空集， 系时，首先要分析、 筒化每个集合 (2)借助裁轴，利用 数轴分析法，将各个 集合在数轴上表示出 来，以形定裁，还要 注意验证端点值，做 到准确无误，含 ”=”用实心点表 示，不含“=”用空 心点表示 [归纳提升]此类问题要注意对空 集的讨论. 010 对点训练3 (1)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B二A,则实数m= (2)已知集合A={xlx<-1,或x>4},B={xI2a≤x≤a+3},若B二A,求实数a的取值范围. ●易错警示忽视“空集”的存在 例 .已知集合A={-1,1},B={x1ax+1=0},若B二A,则实数a的所有可能取值的集合为 (） A.{-1 B.{1 C.{-1,1} D.{-1,0,1} [错解]因为BCA,而B= k=-},因北有-eA,所以a=±1，故适C [辨析]空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为⑦.在解隐含有空集参与的集合 问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解.本例求解过程中有两处错误，一是方程αx=-1的解 不能写成x=-口，二是忽视了BCA时，B可以为空第事实上。-0时，方程无解 [点评]已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关 注子集是否为空集。 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互 异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分 类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端，点值能否取到 课堂检测 固双基 1.已知集合M={菱形}，N={正方形}，则有 4.集合A={x0≤x<3且x∈Z}的真子集个数 是 A.MCN B.M∈N A.5 B.6 C.7 D.8 C.NCM D.M=N 5.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x1 2.下列四个集合中是空集的是 x2+x=0关系的Venn图是 A.{⑦} B.{x∈R|x2+1=0 C.{xI1<x<2 D.{xlx2+2x+1=0 M M N 3.集合P={xlx≥-1，Q={yly≥0}，则P与Q ① ② ③ ④ 的关系是 ( A.PCQ B.P=0 夯基提能作业 C.PSQ D.P￥Q 请同学们认真完成练案[3]