第1章 1.3 第2课时 全集与补集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第2课时　 全集与补集 (教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求(给定全集的)子集的补集.2.能用Venn图表达集合的补集． 教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“交”“并”“补”混合运算． 教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“交”“并”“补”综合问题． 知识点一　全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合． [注意]　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 知识点二　补集 自然语言 设U为全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 补集的运算性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A. 1．求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全集的子集． 2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)A 减数b 减集合B 差a－b 补集∁AB 很明显，对于同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个减数，由于被减数不同，差也不一样)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈A，二者必居其一且只居其一．(　　) (2)全集没有补集．(　　) (3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．(　　) (4)负整数集的补集是自然数集．(　　) (5)设全集为U，则对于任意集合A，只要A⊆U，则等式“A∪(A)＝U”都成立．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4} (2)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0，1，2，4，7，8} C．{1，2} D．{1，2，3} 答案：(1)B　(2)C 题型一　求给定集合的补集及集合的混合运算 　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，B＝{1，3，4，6，7}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} [解析]　∵B＝{2，5，8}，∴A∩(B)＝{2，5}，故选A. [答案]　A (2)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(A∪B)＝________，(A)∩B＝________． [解析]　∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵A＝{x|x<3或x≥7}，∴(A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． [答案]　{x|x≤2或x≥10}　{x|2<x<3或7≤x<10} 【感悟提升】　关于集合的运算要牢记法则，仔细分析各集合中的元素： (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． (3)对于混合运算，要类比实数的加、减运算：谁在前头先算谁，有括号的先算括号． 【跟踪训练】 1．(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集A为(　　) A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2} C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} 答案：C 解析：如图，借助数轴易得A＝{x∈R|0<x≤2}． (2)已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A＝(　　) A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9} 答案：D 解析：根据题意，易得3∈A，9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈B，则(B)∩A＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3，9}． 题型二　探究补集的一些运算律 　试探究(A∩B)与(A)∪(B)之间的关系． [解]　先通过具体例子探究它们之间的关系． 不妨令U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，4，7}，B＝{1，3，7，8}． 易知A∩B＝{1，7}，(A∩B)＝{2，3，4，5，6，8}． A＝{3，5，6，8}，B＝{2，4，5，6}，(A)∪(B)＝{2，3，4，5，6，8}，显然有(A∩B)＝(A)∪(B)． 下面给出证明：先证(A∩B)⊆(A)∪(B)， 设x∈(A∩B)，则x∉A∩B. 分三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∉A，且x∉B. 从而可以推出：①x∈B；②x∈A；③x∈A，且x∈B. 综上可知，x∈(A)∪(B)， ∴(A∩B)⊆(A)∪(B)． 再证(A)∪(B)⊆(A∩B)， 设x∈(A)∪(B)， 则x∈∁UA或x∈B， 即x∉A∩B，于是x∈(A∩B)， ∴(A)∪(B)⊆(A∩B)． 根据集合相等的定义， 从而有(A∩B)＝(A)∪(B)． 【感悟提升】　对于一些探究性问题，可以先通过具体实例发现结论(或寻找探究方向)，然后给出证明，这是一种由特殊到一般的推理方法；本例用到证明集合相等的常用方法(即A⊆B，且B⊆A⇔A＝B)． 【跟踪训练】 2．试探究(A∪B)与(A)∩(B)之间的关系． 解：由Venn图(如图)易知，(A∪B)与(A)∩(B)相等． 题型三　利用集合间的关系求参数 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求a的取值范围． [解]　∵∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论： ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2； ②若A≠∅， 则有或∴a≤1. 综上所述，a≤1或a≥2. 【感悟提升】　利用补集求参数问题的方法 (1)解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． (2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． (3)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以在进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解． 【跟踪训练】 3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}． (1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围； (2)若A∁R B，求实数a的取值范围． 解：(1)∵B＝{x|1<x<3}， ∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴(如图)分析，可得a≥3. (2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A∁R B，结合数轴(如图)分析，可得a≤1. 1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则(A∩B)＝(　　) A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5} 答案：B 解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，所以A∩B＝{2，3}，∁U(A∩B)＝{1，4，5}，故选B. 2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 答案：D 解析：由补集的概念和已知条件可得，∁RB＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}，故选D. 3．(多选)设A，B，U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中正确的是(　　) A．(A)∪B＝U B．(A)∪(B)＝U C．A∩(B)＝∅ D．(A)∩(B)＝B 答案：ACD 解析：根据A⊆B⊆U画出Venn图，如图所示，易知A，C，D正确．∵(A)∪(B)＝(A∩B)，而由A⊆B知(A∩B)＝A≠U，故B错误． 4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，集合A＝{1，a}，A＝{3}，则实数a＝________． 答案：2 解析：根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2. 5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值． 解：A＝{－1，2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A. 当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，B＝. 所以－＝－1或－＝2，即m＝1或m＝－. 综上，实数m的值为0，1，－. 课后课时精练 一、选择题 1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 答案：A 解析：因为A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，所以A∪B＝{1，3，4，5}，因为U＝{1，2，3，4，5，6}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A. 2．图中的阴影部分表示的集合是(　　) A．A∩(B) B．B∩(A) C.(A∩B) D.(A∪B) 答案：B 解析：由Venn图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩(∁UA)．故选B. 3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合(A∪B)中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：∵A＝{1，2}，∴B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4}，∴(A∪B)＝{3，5}．故选B. 4．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(B)＝(　　) A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ 答案：A 解析：∵(A∪B)＝{4}，∴阴影部分只有元素4，又B＝{1，2}，从而3∈A，且3∉B，B＝{3，4}．∴A∩(B)＝{3}． 5．(多选)设集合U＝{1，2，3，4，5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，5}，则下列结论正确的是(　　) A．3∉A B．3∈A C．3∉B D．3∈B 答案：BC 解析：若3∈A，则根据3∉A∩B得3∉B，此时有3∉(∁UA)∩B，3∉(∁UA)∩(∁UB)，符合题意；若3∉A，当3∈B时，有3∈(∁UA)∩B，不符合题意；当3∉B时，有3∈(∁UA)∩(∁UB)，不符合题意．综上，3∈A且3∉B.故选BC. 二、填空题 6．设全集U＝{2，4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若A＝{－1}，则实数a的值为________． 答案：2 解析：由已知可得解得a＝2. 7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 答案：12 解析：设两项运动都喜爱的人数为x，画出Venn图(其中A表示喜爱篮球运动的人，B表示喜爱乒乓球运动的人)得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)． 8．已知M＝{x|x<－2，或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________． 答案：[－2，＋∞) 解析：∵M＝{x|－2≤x<3}，借助数轴可得a≥－2. 三、解答题 9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(A)∪B，A∩(B)，(A∪B)． 解：如图所示， ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， U＝{x|x≤4}， ∴A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， B＝{x|x<－3，或2<x≤4}． A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(B)＝{x|2<x<3}． (A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 10．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A⊆∁UB，求实数a的取值范围． 解：若B＝∅，则a＋1>2a－1，则a<2， 此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB； 若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2， 此时∁UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}， 由于A⊆∁UB， ∴或 解得a>4或a∈∅， ∴a>4. 综上，实数a的取值范围为{a|a<2，或a>4}． 11．若三个关于x的方程x2－2x－3－4a＝0，x2－2(a＋2)x＋a2＝0，x2＋x－3a＝0中至多有两个方程有实根，求实数a的取值范围． 解：假设已知三个方程都有实根，此时a的取值范围为集合D. 则 ⇒⇒a≥－. ∴D＝. ∴三个方程中至多有两个方程有实根的实数a的取值范围是D的补集，即. 12．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值． 解：A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅， 得B⊆A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1； ②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4， 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}， 则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3， 且m＝(－1)×(－2)＝2， 由这两式得m＝2. 经检验知m＝1或m＝2符合条件． 综上可得，m＝1或m＝2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $