数学思想-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

数学思想 展现预备知识中的数学思想 ● ©四川王伦 当B={0时， 一、函数与方程思想 则4=4(a+1)2-4(a2-1）=0, la2-1=0. 例1已知集合A={a,a+b,a+2b,B= 解得a=-1; {a,ac,ac2.若A=B,求c的值. (3)若B={-4,0, 解：(1)+b=ac,2消去b得a+ac2- La +2b ac2 04璃a=1 2ac=0. 由(1)(2)(3)知a=1或a≤-1. 当a=0时，集合B中的三个元素均为零，与 例5已知a>0,命题p:y=a在R上单 元素的互异性相矛盾，故a≠0. 所以c2-2c+1=0,解得c=1. 调递减，命题g:YxeR,x2-5x+150>0,若命 但c=1时，B中的三个元素又相同，故应舍去 题p,g一真一假，求实数a的取值范围. (2)a+b=ac,消去b得2c2-ac-a=0. 解：根据题意，当命题p:“y=a在R上单调 la +2b ac, 递减”为真命题时，0<a<1; 因为a≠0，所以2c2-c-1=0, 即(c-1)(2e+1)=0.又c≠1，故c=-2 1 而当命题g:yxR-5x+受>0为 综上所述，e的值为一号 真命题时d=25-4×12<0,解得a>名 因为命题p,9一真一假. 例2若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-4 ①当命题p为真，9为假时， <0恒成立，求a的取值范围！ 0<a<1, 解：(1)当a-1=0,即a=1时，-4<0 恒成立. ≤名解得0<a≤名： 则 (2)当a-1≠0时，由(a-1)x2+2(a-1)x ②当命题p为假，9为真时， -4<0恒成立得a-1<0, 14(a-1)2+16(a-1)<0. 则/≥1,1 a>三，解得a≥1. 所以-3<a<1. 6 由(1)(2)知-3<a≤1. 所以a的取值范围是(-3,1] 综上，实数a的取值范为(0，]U[1,+, 例3设f(x)=lnx,0<a<b,若p= 例6解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+ a3>0(a∈R). v面)9=0生)r=2)+b)],则a之 解：将不等式x2-（a+a2)x+a3>0变形 下列关系式中正确的是 （）为(x-a)(x-a2)>0. (A)q=r<p (B)g=r>p当a<0时，有a<a2,解集为xlx<a或 (C)p =r<q (D)p=r>gx>a2};当0<a<1时，有a>a2,解集为xl 解：因为6>4>0，故4十b>a. 2 x<a2或x>a;当a>1时，有a<a2,解集为 {x1x<a或x>2};当a=0时，解集为{xlx 又fx)=lnx(x>0)为增函数， ≠0；当a=1时，解集为xx≠1}. 所以）>.即g>n 例7设a+b=2,b>0,则当a= Xr=2R(a)+A(o)]=2(Ina+Inb) 时。+号取得最小位 1 =ln√ab=p.故选(C). 解：因为a+b=2, 二、分类讨论思想 所+=g 例4设集合A={xx2+4x=0,B={x 由于b>0,1a1>0, x2+2(a+1)x+a2-1=0.若AnB=B,求a的 值. 时。+g=2ag-山 解：由已知得A={-4,0}. 因此当a>0时， 因为A∩B=B,所以BCA (1)若B=☑， 2a+的最小值是+1=： 1 则4=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1; 当。<0时2a+分银小俏是-子 (2)若B为单元素集， 当B={-4}时， 1=故。+的小值为 则4=4(a+1)2-4(d2-1)=0, l16-8(a+1)+2-1=0, 此时41ai= b’即a=-2. 方程组无解； a<0. 数理报 三、转化与化归思想 例8 已知集合U={(x,y)Ix∈R,y∈ R,集合A={(x,y)Ix+y=1},集合B= {(x,)'x=1}求(C,)nA 解：集合U表示平面上所有点的集合；集合 A表示直线x+y=1上的点的集合；集合B表示 直线x+y=1上除去点(1,0)的点的集合；而C ,B表示点(1,0)以及平面上除了直线x+y=1上 的点以外所有点组成的集合， 所以(CB)∩A中只有元素(1,0)， 即(CB)nA={(1,0). 例9 若命题“3x∈R,x2+(a-1)x+1< 0”是假命题，则实数a的取值范围是 解：依题意，命题“]x∈R,x2+(a-1)x+ 1<0”是假命题， 则命题“Hx∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真 命题.即x2+(a-1)x+1≥0对于一切实数x恒 成立，所以4=(a-1)2-4≤0，解得-1≤a ≤3，故实数a的取值范围是[-1,3]. 四、数形结合思想 例10 设x∈R,[x]表示不超过x的最大整 数.若存在实数t,使得[t]=1,[2]=2,…, [”]=n同时成立，则正整数n的最大值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解：由[]=1，得1≤t<2; 由[2]=2，得2≤t<3; 由[]=3，得3≤t<4; 由[]=4，得2≤t<5; 由[]=5，得5≤t<6 因为(3)15=35=243，(6)5=63= 216,所以3字>6 同理可以得到1<5<2<6<3时<5片 <4<5<2. 以上每一个范围在数轴上的示意图如下图 所示，由图可知，当n=1,2,3,4时，[]=1， [2]=2,…,[]=n能同时成立；当n=5时， [3]=3与[]=5不能同时成立，故n的最大 值是4. n=1 n=2 n=3 1=4 n=5 4V3 2 x 1 653354 五、整体思想 例11 求函数y=+3x2+3 x2+1 的最小值， 解：令t=x2+1,则t≥1，且x2=t-1. 所 以 x4+3x2+3 2 x2+1 (t-1)2+3(t-1)+3=2+1 1+ 1因为≥1，所以+≥2=2 当且 仅当：=，即6=1时，等号成立. 所以当x=0时，函数取得最小值3. 数理极 数学思想、 点击函数的概念与性质中的数学思想 ● 。广东刘多 f(x)与y=c的图象有两个不 一、函数与方程思想 同的交点，画出函数f(x)= ∫x2-2(-1≤x≤2)， 的 例1若(a+1)<(3-2a),试求a的取 x-1(x<-1或x>2) 值范围。 图象，如图1， 因为函数y=f(x)与y= 解：因为幂函数y=x2在定义域[0，+0) c的图象有两个不同的交点， 上为增函数， 所以c∈(-2，-1]U(1,2].故选(B) 又(a+1)<(3-2a), 例4若x∈R,(x)是函数y=2-x2,y= 所以0≤a+1<3-2a. x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为 解得-】≤a<子 ( 所以“的取值范围是【-1，号) (A)2 (B)1 (C)0 (D)无最大值 例2若函数(x),g(x)分别是R上的奇 解：在同一坐标系中画出y 函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=e,则有 =2-x2,y=x的图象，如图2， ( 根据题意，坐标系中实线部分 (A)f2)<f3)<g(0) 即为函数f(x)的图象。 (B)g(0)<f(3)<f(2) 当x=1时，fx)mx=1 (C)f(2)<f(0)<f(3) 故选(B). (D)g(0)<f(2)<f(3) 例了设函数y=与y=(分)的图象 解：因为式子f(x)-g(x)=e, ① 的交点为(x,),则所在的区间是 则有f(-x)-g(-x)=e. (A)(0,1) (B)(1,2) 又函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶 (C)(2,3) (D)(3,4) 函数， ② 解：如图3，在同一坐标 所以有-f(x)-g(x)=e 由①，②两式得 系内，分别作出函数y=x和 )=2e8)-专 ，(分)的图象，可发现 2 易证得函数八)：，为增函数 二者只有一个交点，即为(x, yo). 从而0=f(0)<f(2)<f(3) 又g(x)=-。十e<0,所以选(D). 当=1时1<（。 2 当x=2时，23>（ 二、数形结合思想 故x所在的区间是(1,2).故选(B), 例0卫知旺数八)。-宁+x同是否 例3对于实数a与b,定义新运算“⑧”：a存在实数m,n(m<n),使得f(x)当定义域为 ⑧b=a, Ib, a-b≤1，设函数x)=(-2) [m,n]时，值域为[3m,3n].如果存在，求出m,n a-b>1, 的值；如果不存在，请说明理由。 ⑧(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与 x轴恰好有两个公共点，则实数c的取值范围是 解：认)=之+ 1 =- 2≤2 (A)(-1,1]U(2,+0) (B)(-2,-1]U(1,2] 由函数f(x)的图象 y (如图4)可知，f(x)在 /x)=-】x2+x (C)(-∞，-2)U(1,2] 1 2 (D)[-2,-1] (-∞，1]上单调递增， 解：由题意知 1 且f(x)ms=立， 图4 f(x)= 「x2-2,(x2-2)-(x-1)≤1， x-1,(x2-2)-(x-1)>1, 所3m≤子 即f(x)= x2-2,-1≤x≤2， lx-1,x<-1或x>2, 即a≤石， 函数y=f(x)-c的图象与x轴恰好有两个 所以[m,n]二(-o,1], 公共点台函数y=f(x)-c有两个零点，台方程 所以f(x)在[m,n]上单调递增. f(x)-c=0有两个不同的实数根，台函数y= 假设存在满足条件的m,n, 3 则，/m)=3m, f(n)=3n, 2m+m=3m, 2 即 =3n, 解得m=0或-4， n=0或-4， 因为m<n≤石，所以m=-4,n=0, 即存在m=-4,n=0满足条件. 三、分类讨论思想 例7 已知函数f(x）=x2+2ax+1在区间 [-1,2]上的最大值为4，求a的值， 解：因为f(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+ 1-a2, 可知抛物线开口向上， 对称轴为x=-a. (1)当-a<-1,即a>1时， f(x)在区间[-1,2]上单调递增， 所以f(x)mx=f(2)=4a+5=4, 得a,与u>1矛盾； (2)当-1≤-a≤2， 即-2≤a≤1时， 最大值在闭区间的端点处取得， 所以2)=4a+5=4,解得a=-子， f(-1)=2-2a=4,解得a=-1. 此时a=-子和a=-1都符合要求： (3)当-a>2,即a<-2时， f(x)在区间[-1,2]上单调递减， 所以f(x)mx=f(-1)=2-2a=4, 得a=-1,与a<-2矛盾. 综上，a=-4或a=-1 例8 设aeR,若x>0时均有[(a-1)x -1](x2-ax-1)≥0，则a= 解：(1)当a=1时，不等式可化为：x>0时 均有x2-x-1≤0， 由二次函数的图象知，显然不成立，所以α≠1. (2)当a<1时，因为x>0, 所以(a-1)x-1<0, 不等式可化为：x>0时均有x2-ax-1≤0， 因为二次函数y=x2-ax-1的图象开口向上， 所以不等式x2-ax-1≤0在x∈(0，+0) 上不能均成立，所以a<1不成立 (3)当a>1时，令f(x)=(a-1)x-1, g(x)=x2-ax-1,两函数的图象均过定点(0， -1), 因为a>1,所以f(x)在xe(0,+o)上 单调递增，且与x轴交点为0小， 即当xe(o,g)时)<0，当x a+时)>0， (下转第31版) 数学思想 学习指数函数与对数函数中的数学思想 ⊙山东王世进 一、函数与方程思想 例4函数)=(0<a<)的图象大 致形状是 例□设a=务b=lg号试用a,6表示 y个 Ig 3,1g 5. 3 3 解：因为a=g方=lg京=1g3-21g5, (A) (B) (C) D 6=%号=l%写3=2-2g5-363, 102 解：函数定义域为{x1x∈R,x≠0}， 所以g3-2g5=4, 2-2lg5-31g3=b, 解得g3=子(a-b+2), 易知y=a与y=-a的图象关于x轴 对称，又0<a<1, g5=g(2-3a-0. 所以x>0时函数是减函数.故选(D) 例5若不等式2-logx<0,当x∈(0， 例2已知函数f(x)=2-mx+n的两个 零点分别是2和-1. ）时恒成立，求实数口的取值范围 (1)求m,n; (2)试判断方程log2(mx)=nx+3在区间 解：要使不等式2-1gx<0在x∈(0,2) [1,2]上是否有实数解？请说明理由. 解：(1)由于函数f(x)=x2-mx+n的两个 上恒成立，即函数y=1gx的图象在(0，)内 零点分别是2和-1， 恒在函数y=2图象的上方，而y=2图象过点 因此2和-1是方程x2-mx+n=0的两 (32) 个实数解， 根据根与系数之间的关系得 由图1可知，1g。2≥ 2+（-1=m解得m=1, 2×(-1)=n, ln=-2. 2,显然这里0<a<1, (2)由(1)得1g2x=-2x+3, 所以函数y=logx 令g(x)=l0g2x+2x-3, 递减 因为g(1)=log21+2-3=-1<0, 又og。7≥2= g(2)=l0g22+4-3=2>0, 所以有g(1)·g(2)<0,即方程在区间[1， log,af, 2]上有实数解 二、数形结合思想 故所求实数▣的取值范国为[（兮），)小 例3函数y=x+a与y=logx的图象可 例6已知定义域为R的函数f(x)的解析 能是 式为x)= 11x-11x≠1则关于x的方 Lo. x=1. 程f(x)-2=0有 个解 rlg(x-1),x>1, 解：f(x)= 0, x=1, lg(1-x),x<1, 作出函数f(x)的图象，如图2所示. 由图知，f(x)的图象关于直线x=1对称 C】 D 解：观察四个选项中的图象.如(A)中a> 1,此时对数函数应该为增函数，故排除(A):(B) 中0<a<1,此时对数函数应该是减函数，其图 求方程f(x)-2”=0的解的个数即为求函 象呈下降趋势，故排除(B);对于(D),a<0,对数f代(x)与y=2图象交点的个数.在图中作出y 数函数无意义. =2的图象，如图3所示.可知f(x)与y=2的 因此正确答案是(C). 图象有1个交点，故方程代x)-2=0有1个解. 数理极 三、分类讨论思想 例7 若函数f(x)=a(a>0,a≠1)在[-1， 2]上的最大值为4，最小值为m,且函数g(x)= (1-4m)·√在[0，+o)上是增函数，则a= 解：若a>1,有a2=4,a1=m,此时a=2, m= ，此时g()=-反为减函数，不合题意： 若0<a<1,有a=4,a2=m,故a=分 m 6,检验知符合题意故应填好 例8 设函数 f八x) [log2x, x>0, 若fa)>f(-a),求实数 log影(-x),x<0, a的取值范围. 解：当a>0时，f(a)=log2a,f(-a)= logia, 所以log2a>log号a. 因为log5a=-log2a,所以由log2a>loga, 得2log2a>0.解得a>1. 当a<0时(a)=log号(-a),f(-a)= log(-a),所以log号(-a)>log2(-a). 因为log号(-a)=-log2(-a), 所以由log号(-a)>log(-a), 得2log2(-a)<0,解得a>-1. 所以-1<a<0. 综上，实数a的取值范围为(-1,0)U(1, +∞). 例9 已知f八x)=log(x+3)在区间[-2， -1]上总有-1<f(x)<1,求实数a的取值范围. 解：因为x∈[-2，-1]，所以1≤x+3≤2. 当a>1时，logn1≤log(x+3)≤log2, 即0≤f(x)≤log2. 因为-1<fx)<1,所以>1， log,2 <1. 解得a>2. 当0<a<1时，log2≤log.(x+3)≤ log1, 即log2≤f(x)≤0. 因为-1<x)<1,所似0<a<1, 1og2>-1. 解得0<0<分 综上，实数a的取值范围是(0，)U(2, +∞). 例10 函数f(x)=log。(a-1)(a>0, a≠1). 求证：(1)函数(x)的图象在y轴的一侧； (2)函数f(x)是定义域上的增函数， 解：(1)由a-1>0,得a>1. 当a>1时，x>0,f(x)的定义域为(0，+∞)， 此时函数f(x)的图象在y轴的右侧； (下转第11版) 数理极 (上接第4版) 当0<a<1时，x<0,f(x)的定义域为 (-0,0), 此时函数f(x)的图象在y轴的左侧. 所以函数f(x)的图象在y轴的一侧. (2)由(1)当a>1时，f(x)的定义域为(0， +o),当0<a<1时f(x)的定义域为(-∞，0). 设y=logu,u=a-1, 当a>1时，u=a-1在(0，+0)上递增， y=logu在其定义域上也是递增， 所以函数f(x)是定义域上的增函数； 当0<a<1时，w=a-1在(-0,0)上 递减，y=log。u在其定义域上也是递减， 所以函数(x)是定义域上的增函数， 故函数(x)是定义域上的增函数. 例11设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x- 1)+1g(3-x)=lg(a-x)的实根的个数 解：原方程等价于 x-1>0, 3-x>0, a-x>0, (x-1)(3-x)=a-x. 整理得-x2+5x-3=a(1<x<3). 在同一坐标系中分 134yy=-x2+5x-3.x∈(1,3) 别作出函数y=a,及y =-x2+5x-3,x∈(1， y= 3)的图象，如图4所示 当x=1时，y=1; 53 当x=3时，y=3;当x= 2 图4 多，函数的最大值为导 (1)a>号或a≤1时，函数图象无交点。 故原方程无实数解； (2)当a-或1<a≤3时，函数图象有- 个交点， 故原方程有一个实数解； (3)当3<0<是时，函数图象有两个交点， 故原方程有两个实数解 四、转化与化归思想 例12 已知l0g5427=a,54=3,用a,b表示 logs481 log54108 的值 解：由54=3得1og43=b, 所以 ogs481 logs427 logs43 ogs4108 1+log542 logs:27 logsa3=a+b 2-10g5427 2-a 例13 方程x2-2x+1nxl-1=0的实根 个数为 ( (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解：将已知方程转化为-x2+2x+1=|lnxl, 记函数f(x)=-x2+2x+1,g(x)=1lnx, 即将求已知方程的根的个数转化为求函数 y=f(x)与y=g(x)两个函数图象的交点的个数 …数学思想 在同一坐标系中分别画 出两个函数的图象（如图 2 5),可以看出它们的图象有 y=lIn xl 两个交点，即原方程有两个方 12 3 实根 y=-t2+2x+1 图5 答案选(C). 例14 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 一非零根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根 。:求证：方程号+x+c=0必有一根介于x 和x2之间. 证明：令f(x)=受+bx+c,则f(x)在 [x1,x2]上的图象为连续不断的曲线 因为ax2+bx1+c=0,-ax+bx2+c=0, 所以bx1+c=-ax,bx2+c=ax5: 所以f(x)·f(x2) =(受++c(2龙+，+c） =(2-a)分+a -<0 即f(x)·f(x2)<0. 所以方程号2+bx+c=0必有一个根介于 x1和x2之间. 例15 已知定义在R上的函数(x)满足 f八1og2r)=x+4(a为常数). (1)求f(x)的解析式； (2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单 调性 解：(1)设log2x=t,则x=2, 所以)=2+分， 因此)=2+2x∈R). (2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),即 2+是=2+是即+a 2+是 所以(2-2)(a-1)=0对x∈R恒成立 所以a=1. 故)=2+(xeR). 设x1<x2, 则）-)=2”+ -2 =(2-2).2-1 2名+ 因为x1<x2,所以2<2,2>0. ①若x1,x2∈（-0,0]，则x1+x2<0,所 以2+<1.所以f(x)-f(x2)>0,即f(x)> f(x2. 故函数f(x)在(-0,0]上是减函数 ②当x1,x2∈(0，+∞)，则x1+x2>0,所 以2+>1.所以f(x)-f(x2)<0,即f(x,)< f(x2. 故函数f(x)在(0，+∞)上是增函数 11 五、整体思想 例16 已知函数f(x)=a+log(x+1)在[0， 1]上的最大值和最小值之和为a,则a= (C)2 (D)4 解：因为y=a与y=logn(x+1)在[0,1]上 单调性相同， 所以函数f八x)=a+log(x+1)在[0,1] 上是单调函数 则由f(0)+f(1)=1+log.1+a+log2= a,解得a=分故选(A). 六、二分法思想 例17 若方程lg1x1=-|x1+5在区间(k, k+1)(k∈Z)有解，则所有满足条件k的值的 和为 解：构造函数y=lg|x|+|x-5,方程有解 即为函数在区间(k,k+1)(k∈Z)上有零点， 可知该函数为偶函数且在(-∞，0)为单调 减函数，在(0，+∞)上为单调增函数. 因为f(5)·f(4)<0,f(-5)·f(-4)<0, 所以函数在区间(-5，-4)，(4,5)内各有一个 零点，即k=-5,k2=4, 所以满足条件飞的值的和为-1. 例18 如图6，有一块边长为 30 30cm的正方形铁皮，将其四个 角各截去一个边长为xcm的小 正方形，然后折成一个无盖的盒 子，如果要做成一个容积是 图6 1200cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的 边长x是多少（精确到0.1cm)? 解：盒子的容积y和以x为自变量的函数解 析式为y=(30-2x)2x,0<x<15. 由容积是1200cm3,则(30-2x)2x= 1200, 下面用二分法来求方程在(0,15)内的近似解 令f(x)=(30-2x)2x-1200,由f1)· f(2)<0与f(9)·f(10)<0,得函数f(x)分别 在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点， 即方程(30-2x)2x=1200分别在区间(1， 2)和(9,10)内各有一个解. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算 得f(1.5)=-106.5<0. 因为f(1.5)·f(2)<0,所以x。∈(1.5,2) 同理可得x0∈(1.5,1.75)，∈(1.625， 1.75),x∈(1.6875,1.75). 由于11.75-1.68751=0.0625<0.1，此 时区间(1.6875,1.75)的两个端点精确至0.1 的近似值都是1.7，所以方程在区间(1,2)内精确 度0.1的近似解为1.7. 同理可得方程在区间(9,10)内精确度0.1的解 为9.4 所以，如果要做成一个容积是1200cm2无 盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是1.7cm 或9.4cm. 12 统计 题型一：随机抽样问题 【考点透视】关于抽样方法的考查，在考查 形式方面还比较单纯，主要是概念型问题或简单 的计算问题，此类问题主要是考查某一类抽样方 法中的抽样原理，需要同学们在理解抽样方法概 念的同时，把握每个个体被抽取的机会均相等这 一原则 例1 一个单位有职工800人，其中具有高 级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初 级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收 入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽 取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取 的人数分别是 ( (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6 分析：根据分层随机抽样的特点，利用各层 的抽样比相同解决问题， 解析：因为抽样比为- 40 故各层中依次抽取的人数分别是'，0 20 =8, 320 20 =16 00 20 20 =10, 0 =6, 故选(D). 题型二：样本数字特征的计算问题 【考点透视】统计的数字特征在高考中主要 考查平均数、方差、标准差的计算问题，这需要我 们熟记公式，加强运算能力. 例2样本中共有五个个体，其值分别为a, 0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为 (B) 6-5 (C)2 (D)2 分析：根据样本平均数公式首先求出数值 a,然后利用方差公式求解 解析：由题意知5(a+0+1+2+3)=1, 解得a=-1, 所以样本方差为2=[(-1-1)2+(0- 1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2, 故选(D) 题型三：统计图表信息题 【考点透视】统计图表是表达和分析数据的 重要工具，由于这类图表信息题能突出对考生的 阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考 查，因此深受命题者的青睐.准确识图并掌握图 形所传递的信息是解决问题的关键， 频率分布直方图 例3某市2024年4月1日~4月30日对 空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可 吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92, 91,75,81,88,67,101,103, 95,91,77,86,81,83,82, 题型展示。 数理极 展示统计与概率中的带点、题型。 山西高永花 82,64,79,86,85,75,71,49,45 测量其直径（单位：cm),得到下面数据： (1)完成频率分布表： 编号AA4A4,A6AAsA,A0 (2)作出频率分布直方图； 直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47 (3)根据国家标准，污染指数在0~50之间 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为 时，空气质量为优；在51~100之间时，为良；在 一等品 101~150之间时，为轻微污染：在151~200之 (1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求 间时，为轻度污染 这个零件为一等品的概率； 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空 (2)从一等品零件中，随机抽取2个 气质量给出一个简短评价。 ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果： 解析：(1)频率分布表如下： ②求这2个零件直径相等的概率 解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共 分组 频数 频率 有6个， [41,51) 2 品 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等 [51,61) 品”为事件A,则P心4)=品=多 [61,71) 4 芳 (2)①一等品零件的编号为A1,42,A3,A4, A5,A6, [71,81) 6 品 从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有 [81,91) 10 可能的结果有： 30 (A1A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5）,(A1,45), [91,101) 5 (A243),(42,A4),(A2,45),(A2,A6),(A3,A4), [101,111) 2 （A3,A5),(A3,46),(A4,45）,(A4,A6),(A5, 0 A6),共有15种 (2)频率分布直方图如下图所示： ②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件 直径相等”（记为事件B)的所有可能结果有： 10个 频率/组距 (A1,A4),(A1,46),(A446),(A2,A3),(42,A), (A3,A),共有6种， 所以P(B)=店=子 0415161718191101111空气污染指数 点评：本题考查了利用古典概型求解概率问 题.求古典概型要求把样本，点个数正确列举出 (3)答对下述两条中的一条即可： 来，而表示所有样本点可采用的方法较多，例如 ①该市一个月中空气污染指数有2天处于 列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方 优的水平，占当月天数的5，有26天处于良的水法，都要求按一定的顺序进行，以做到不重不漏. 题型二：互斥事件的概率问题 平，占当月天数的号处于优或良的天数共有 【考点透视】不可能同时发生的两个事件称 为互斥事件，两个互斥事件至少有一个发生的概 28天，占当月天数的共说明该市空气质量基本 15 率满足概率的加法公式，其特殊情况是两个事件 良好 的对立，即必有一个发生的两个互斥事件是对立 事件，这样的两个事件的概率之和等于1，也是 ②轻微污染有2天，占当月天数的5污染数学中“正难则反”原则解决相应概率问题的重 指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，要依据. 加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天 例2一个袋中装有四个形状大小完全相 数的品超过0%，说阴该市空气质正有待进一步 同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的 改善 编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 概率 m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为n,求n<m+2的概率. 题型一：古典概型问题 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可 【考点透视】古典概型是一种样本，点个数有 能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2 限的等可能事件的概率模型，是高中概率的主要 和3,2和4,3和4，共6个， 知识，在高考中占有重要位置.考查一般以填空 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事 件有：1和2,1和3，共2个， 题的形式有针对性地进行简单考查，有时也在解 答题中出现简单的考查 因此所求事件的概率P=2:1 6=31 例1有编号为A1,A2,…,A0的10个零件 (下转第31版) 数理极 (上接第3版) y=x-ax-1 1=(a1)x-】 图5 又因为二次函数g(x)=x2-ax-1的对称 轴为x=号>0，则只需g(x)=2-4-1与 x轴的右交点与点(，0)重合，如图5所示， 则命题成立， 即(10在6(x)图象上， 所以有()广-。-1=0， 整理得2a2-3a=0, 3 解得a=子，4=0（含去）： 例9 已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3), g(x)=2-2,若同时满足条件：①对任意的x ∈R,f(x)<0或g(x)<0;②存在x∈(-∞， -4)f(x)g(x)<0.则实数m的取值范围是 解：若g(x)=2-2<0,则x<1. (上接第12版) (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有： (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个， 又满足条件n≥m+2的事件有：(1,3)，(1， 4),(2,4),共3个，所以满足条件n≥m+2的事 件的概率为P,= 3 故满足条件n<m+2的事件的概率为 1-P=1-3=13 16 =16 题型三：知识交叉问题 【考点透视】概率与其他相关知识之间有着 密切的联系，特别是概率与统计是密切相关的， 概率与统计知识的结合考查也将成为命题的重 点方向之一，通过实际应用问题，考查统计与概 率的相关交汇问题，通常难度不大，要认真掌握 例3某学校成立三个社团，共60人参加， 甲社团有39人，乙社团有33人，丙社团有32人， 同时参加甲、乙社团的有10人，同时参加甲、丙 社团的有11人，同时参加乙、丙社团的有7人，三 个社团都参加的有8人.随机选取一个成员，求： (1)他至少参加两个社团的概率为多少？ (2)他参加不超过两个社团的概率为多少？ 分析：分别把甲、乙、丙三个社团看作三个集 合，再画出Venn图，利用Venn图可求得参加各社 团的人数情况，从而容易判断出随机选取一人，他 参加社团的情况 ·数学思想 又因为对任意的x∈R,g(x)<0或f(x)<0, 所以[1，+∞)是f八x)<0的解集的子集， 又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知， m不可能大于或等于0，因此m<0. 当m<0时，f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3) >0. 当2m=-m-3,即m=-1时，f(x)<0的 解集为{x1x≠-2}，满足条件 当2m>-m-3,即-1<m<0时，f(x)< 0的解集为{xIx>2m或x<-m-3}. 依题意2m<1,即m<),所以-1<m<0, 当2m<-m-3,即m<-1时，f(x)<0的 解集为{x|x<2m或x>-m-3. 依题意-m-3<1,即m>-4. 所以-4<m<-1. 因此满足①的m的取值-4<m<0. 在②中，因为当x∈(-0，-4)时，g(x) =2-2<0, 所以问题转化为存在x∈（-∞，-4)，f(x) >0. 即f(x)>0的解集与(-∞，-4)的交集非空 又m<0,则(x-2m)(x+m+3)<0. 由①的解法知，当-1<m<0时，-m-3 <-4, 所以m>1,此时无解. 当m=-1时，f(x)=-(x+2)2≤0，此时 无解 解析：甲、乙、丙三个社团 甲(10) 的人数用Venn图表示如图l 10 (11 所示，根据图1可以看出各社 乙(8) 7)7丙(6) 团的人数 用事件A表示“他至少参 图1 加两个社团”，用事件B表示“他参加不超过两 个社团” (1)“他至少参加两个社团”的概率为 P(A)= 7+8+10+113 60 5 (2)“他参加不超过两个社团”的概率为 P(B)= 6+8+10+7+10+1113 60 15 例4为了解学生身高情况，某校以10% 的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查， 测得身高情况的统计图如下（如图2所示）： (1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在170~185cm之间 的概率； (3)从样本中身高在180~190cm之间的男 生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之 间的概率 15 频数 男生 1413 10 5 160165170175180185190身高/cm 频数 女生 15 12 10 150155160165170175180身高/cm 图2 31 当m<-1时，2m<-4,所以m<-2. 综合①②可知满足条件的m的取值范围为 (-4,-2). 四、整体思想 例10 (1)已知f(1+2x)=1-x ,则 (2)= (A)1 (B)3 (C)15 (D)30 (2)求函数)=-2+2+(x≥2) 的最小值 解：(1)令1+2x=子，解得x=-子， 1-() =15.故选(C). (2)令x-1=,则x2+是=2+2 于是问题转化为求二次函数：f(t)=2-2 +2=（t-1)2+1的最小值 因为x≥2，函数t=x-是增函数， 所以t=x-≥3 所以当1=时)m= 4 分析：由统计图中所给有关数据，去“估计” 分析、解决前两问比较容易；第(3)问要先将问题 的情景简单化，再结合树状图具体分析与求解。 解析：(1)样本中男生人数为40， 由分层随机抽样比例为10%，可估计全校 男生人数为400. (2)由频率分布直方图知，样本中身高在 170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1 =35(人)，样本容量为70， 所以样本中学生身高在170~185cm之间 的频率∫= 70 =0.5, 故由频率∫估计该校学生身高在170~ 185cm之间的概率P,=0.5. (3)样本中身高在180~185cm之间的男 生有4人，设其编号为①，②，③，④， 样本中身高在185~190cm之间的男生有2 人，设其编号为⑤，⑥， 从上述6人中任取2人的树状图为（如图3 所示)： 2 ④ ④ ④ 2 ③ ⑤ ⑤ 6 图3 故从样本中身高在180~190cm之间的男 生中任选2人的所有可能结果数为15， 至少有1人身高在185~190cm之间的可 能结果数为9，因此，所求概率P,=9=3 15 =5