2.5.1 直线与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径. 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相交. 结合得，到直线距离为的平行直线共有两条，其中一条与圆相切，另一条与圆相交，由此可得圆上满足条件的点共个. 故选：C. 2.（2025-2026·湖南邵阳高二上期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（） A. B.2 C. D.1 【答案】B 【解析】由圆的方程得, 故圆心,半径. 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径, 即, 故. 原点到直线的距离,由得, 故. 又原点在圆上,圆上点到切线的距离满足,其中, 故. 答案为B. 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（） A.点在圆上，直线与圆相切 B.点在圆内，直线与圆相离 C.点在圆外，直线与圆相切 D.点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为，故点在圆上. 圆心到直线的距离，故直线与圆相切. 故答案为：A. 4.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A.2 B. C. D.1 【答案】D 【解析】如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2， 当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小． 由题意得|PC|min＝d＝＝2， 所以()2＝22－r2，∴r＝1. 5.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（） A.2 B. C. D.4 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径，直线整理得. 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，结合垂径定理得弦长. 的面积. 故选：C. 6.（2024-2025·湖南高二下期中）已知直线与圆相交于两点，，则（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】圆心,直线方程化为, 由点到直线的距离公式得. 因为,圆的半径, 由垂径定理得, 故,即, 得, 所以. 故选:B. 7.已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则（） A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】圆，其圆心. 已知直线， 则圆心到直线的距离. 因为圆上有且仅有一个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离比圆的半径大，即. 将代入，可得，移项得. 故选C. 8.（2025-2026·江苏南通高二上月考）已知实数满足，则的最大值是（） A. B.4 C. D.7 【答案】C 【解析】法1：令，得， 代入原方程化简得. 因为方程存在实根， 故Δ， 即， 化简得， 解得， 故的最大值为. 法2：整理原方程得，令，，其中. 计算得， 由得的最大值为， 故的最大值为. 法3：由原方程整理得， 设，圆心到直线的距离， 化简得， 解得， 故的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知直线和圆，则下列说法正确的是（） A.直线恒过定点 B.存在使得直线与直线垂直 C.直线与圆相交 D.若，直线被圆截得的弦长为 【答案】BC 【解析】整理直线方程得，联立方程组， 解得， 故直线恒过定点，A错误. 直线斜率为，直线斜率为， 由两直线垂直斜率乘积为，得， 解得， 故B正确. 由，得定点在圆内部， 故直线与圆相交，C正确. 时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 故截得的弦长为，D错误. 故选：. 10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（） A.直线与圆相离 B.过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C. D.从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【解析】由得，故圆心，半径. 对于选项A:圆心到直线的距离， 由得直线与圆相离，A正确. 对于选项B:设点，由得点在圆内，故过的弦长最小值为，B不正确. 对于选项C:由圆心到直线的距离，得，C正确. 对于选项D:设切点为，则， 由得，D正确. 故选：ACD. 11.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】圆心到直线的距离. 对于选项A： 由点在圆上,得, 故, 则直线与圆相切, 故A正确. 对于选项B： 由点在圆内,得, 故, 则,直线与圆相离, 故B正确. 对于选项C： 由点在圆外,得, 故, 则,直线与圆相交, 故C错误. 对于选项D： 由点在直线上,得, 故,直线与圆相切, 故D正确. 答案为ABD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高二上期中）直线截圆的弦长为，则的最小值为                   . 【答案】9 【解析】将圆的一般方程化为标准形式：. 得圆心,半径. 已知弦长为,与直径长度相等, 故直线过圆心. 结合圆心坐标与直线方程,得. 由及. 根据基本不等式,. 当且仅当且时,等号成立,此时. 13.（2025-2026·湖南衡阳高二上期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为                   . 【答案】 【解析】将直线的方程整理为. 令， 解得. 故直线过定点. 计算， 由于，可知点在圆内部. 当时，圆心到直线的距离取得最大值. 此时弦长取得最小值，代入弦长公式得. 故答案为：. 14.（2025-2026·湖南永州高二上期末）直线与圆相交于，两点，若，则实数                   ． 【答案】2 【解析】由圆方程得圆心为，半径. 由点到直线距离公式，圆心到直线的距离为. 因为直线与圆相交于两点，由垂径定理得. 将、代入，并由已知，得. 由该式两边平方得. 故. 即. 则. 解得， 所以或. 因为， 故舍去，得. 四、解答题（共2小题） 15.过点P(1，2)作圆O：x2+y2=1的切线l，用两种方法求切线l的方程. 【答案】解当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， 易知，直线x=1与圆O：x2+y2=1相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线的方程为y-2=k(x-1). 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解. 消元，得(k2+1)x2+(4k-2k2)x+k2-4k+3=0. ① 因为方程①只有一个实数根，所以 Δ=4k2(2-k)2-4(k2+1)(k2-4k+3)=0， 解得k=，则切线l的方程为y-2=(x-1)， 即3x-4y+5=0. 综上，所求切线l的方程为x=1或3x-4y+5=0. 16.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 【答案】解(1)将圆C的方程化标准方程为x2＋(y－1)2＝5， 所以圆心为C(0，1)，半径r＝. 圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离D＝＝<1<， 因此直线l与圆C相交. (2)设圆心C到直线l的距离为D， 则D＝＝. 又D＝，则＝，解得m＝±1， 所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.（2025-2026·湖南邵阳高二上期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（） A. B.2 C. D.1 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（） A.点在圆上，直线与圆相切 B.点在圆内，直线与圆相离 C.点在圆外，直线与圆相切 D.点在圆上，直线与圆相交 4.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A.2 B. C. D.1 5.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（） A.2 B. C. D.4 6.（2024-2025·湖南高二下期中）已知直线与圆相交于两点，，则（） A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则（） A.1 B.2 C. D. 8.（2025-2026·江苏南通高二上月考）已知实数满足，则的最大值是（） A. B.4 C. D.7 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知直线和圆，则下列说法正确的是（） A.直线恒过定点 B.存在使得直线与直线垂直 C.直线与圆相交 D.若，直线被圆截得的弦长为 10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（） A.直线与圆相离 B.过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C. D.从点向圆引切线，切线长的最小值是 11.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高二上期中）直线截圆的弦长为，则的最小值为                   . 13.（2025-2026·湖南衡阳高二上期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为                   . 14.（2025-2026·湖南永州高二上期末）直线与圆相交于，两点，若，则实数                   ． 四、解答题（共2小题） 15.过点P(1，2)作圆O：x2+y2=1的切线l，用两种方法求切线l的方程. 16.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $