2.5.1 直线与圆的位置关系（第3课时：直线和圆相交的综合应用） 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系（第3课时：直线和圆相交的综合应用）同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； 【例2】已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【例3】已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 4．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 8．对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 9．已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 三、填空题 10．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 11．已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 12．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 四、解答题 13．已知点，是圆一条直径的两个端点． (1)求圆的方程； (2)过原点且与垂直的直线交圆于两点，求四边形的面积． 14．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第3课时：直线和圆相交的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. （2）圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. 【例2】已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径列不等式求解的取值范围. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算求出，再计算弦长. 【详解】（1）由题意，直线过点且斜率为，故直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径，由于直线与圆交于两个不同点，因此圆心到直线的距离为： ， 令，两边平方得：， 展开整理得，即，解得. （2）设，，将代入圆的方程：， 整理得，由韦达定理得：， 由向量数量积的坐标运算得： ， 又因为，所以 ，化简得， 两边同乘得，解得，验证，符合题意， 将代入直线方程得，代入圆心坐标，等式成立，说明圆心在直线上， 因此为圆的直径，故. 【例3】已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 【基础夯实】 一、单选题 1．圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 2．已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 3．已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 4．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 6．已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切点以及切线方程可知，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径. 【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即， 所以圆心到直线的距离为，又弦长为4， 故圆的半径． 二、多选题 7．已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】将圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，可判断AB的真假；利用点到直线的距离公式，可判断C的真假；利用“几何法”求弦长，可判断D的真假. 【详解】对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD 8．对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 【答案】ABD 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系可判断A和B，根据圆的几何性质可判断C，利用圆的弦长公式可求得圆心到直线的距离，进而求得直线方程，即可判断D. 【详解】由题意，因为，所以点在圆内， 则过点不存在圆的切线，故A不正确，B不正确； 圆的圆心，半径， 对于C，根据圆的几何性质可知，当过点被圆截得的弦长最大时，直线经过圆心， 即直线经过点和，此时直线方程为，故C正确； 对于D，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆交于点和，此时弦长为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 设圆心到弦所在直线的距离为，由，解得，则，解得，直线方程为，故D不正确； 故选：ABD. 9．已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 10．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 11．已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据直线与直线的垂直及直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】两平行直线，均与直线垂直， 且交点分别为，， 所以圆心为的中点，所以， 点到直线的距离， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 12．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 四、解答题 13．已知点，是圆一条直径的两个端点． (1)求圆的方程； (2)过原点且与垂直的直线交圆于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出圆心和半径即可求解； （2）求出直线的方程为 ，利用弦长公式得到，由求解即可. 【详解】（1）因为点，是圆一条直径的两个端点 所以圆心，半径， 所以圆的方程为 （2）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为 ， 所以直线的方程为 ， 所以圆心到直线的距离 ，所以， 所以. 14．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)圆的标准方程. (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由圆所过的点结合待定系数法计算求解即可； （2）由圆心到直线距离和弦长公式列等量关系求出直线斜率即可得解. 【详解】（1）设圆M的方程为， 则由题有， 所以圆的方程为， 则圆的标准方程. （2）由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径， 当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3， 此时弦长，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线，即， 又，所以圆心到直线距离或. 所以直线的方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $