精品解析：湖北省武汉中学2026-2027学年上学期九年级数学素养检测试题

2026年秋九年级数学素养检测 （时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　） A. 3x2+1＝6x B. 3x2﹣1＝6x C. 3x2+6x＝1 D. 3x2﹣6x＝1 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程x2+10x+9=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+5）2=16 B. （x+10）2=91 C. （x﹣5）2=34 D. （x+10）2=109 4. 一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＞3 B. m＝3 C. m＜3 D. m≤3 5. 方程﹣8x+17=0的根的情况是（ ）. A. 两实数根的和为﹣8 B. 两实数根的积为17 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6（　　） A. 最小值为﹣6 B. 最大值为﹣6 C. 最小值为3 D. 最大值为3 7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（　　） A. 2根小分支 B. 3根小分支 C. 4根小分支 D. 5根小分支 8. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 9. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 四位同学研究二次函数的图象与性质时，甲发现函数的最大值是4；乙发现当时，；丙发现是方程的一个根；丁发现函数图象关于直线对称，已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二．填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一根是______． 12. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 13. 设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 14. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是__________． 15. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为____________________________ 16. 如果三条线段、、满足，且使得，，则_____ 三．解答题（本题共8个小题，共72分，每道题应根据题目要求写出规范、严谨的推理计算过程．） 17. 用公式法解方程： 18. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 19. 二次函数的图象经过，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________． 20. 如图，要设计一副宽20 cm、长30 cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2∶3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？ 21. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值． 22. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ （3）在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 23. 已知如图，点D是外一点，，． （1）如图（1），若，，求证：； （2）如图（2），若，，，，求证：； （3）如图（3），若，，，，则__________． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋九年级数学素养检测 （时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　） A. 3x2+1＝6x B. 3x2﹣1＝6x C. 3x2+6x＝1 D. 3x2﹣6x＝1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将一元二次方程化成一般形式后，确定出所求方程即可． 【详解】解：选项A中，3x2﹣6x+1＝0，其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1，故选项A符合题意； 选项B中，3x2﹣6x-1＝0，其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是-1，故选项B不符合题意； 选项C中，3x2+6x-1＝0，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是-1，故选项C不符合题意； 选项D中，3x2﹣6x-1＝0，其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是-1，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 3. 用配方法解方程x2+10x+9=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+5）2=16 B. （x+10）2=91 C. （x﹣5）2=34 D. （x+10）2=109 【答案】A 【解析】 【详解】x2+10x+9=0， （x+5）2=-9+25， （x+5）2=16． 故选：A． 4. 一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＞3 B. m＝3 C. m＜3 D. m≤3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式＞0进行计算解答即可. 【详解】∵一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴＝（2）2－4m＞0，解得m＜3.故选C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与的关系，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键. 5. 方程﹣8x+17=0的根的情况是（ ）. A. 两实数根的和为﹣8 B. 两实数根的积为17 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【详解】根据根的判别式，即可得出△=﹣4×1×17=﹣4＜0， 由此可得出方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】考点：根的判别式． 6. 二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6（　　） A. 最小值为﹣6 B. 最大值为﹣6 C. 最小值为3 D. 最大值为3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给二次函数的顶点式和图象开口方向即可解答. 【详解】根据二次函数解析式y＝2（x－3）2－6可知它的开口方向向上，故应该有最小值，它的顶点是（3,﹣6），故最小值是﹣6.故选A. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，正确理解二次函数的顶点式是解题关键. 7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（　　） A. 2根小分支 B. 3根小分支 C. 4根小分支 D. 5根小分支 【答案】B 【解析】 【分析】先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可. 【详解】设每个支干长出x个分支， 根据题意得 1+x+x•x=13， 整理得x2+x-12=0， 解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去）， 即每个支干长出3个分支. 故应选B. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 8. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 9. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线， ∴在的范围内，当时，y取最小值， 即：， 解得：， 故选：D． 10. 四位同学研究二次函数的图象与性质时，甲发现函数的最大值是4；乙发现当时，；丙发现是方程的一个根；丁发现函数图象关于直线对称，已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析四个人的信息得到对应的关系式，假设其中两个结论正确时，其他两个结论是否能成立，进行判断即可； 【详解】解：甲：，即①； 乙：，即②； 丙：，即③； 丁：，即④； 若丙丁发现的结论正确，由③与④解得，则a、b满足①，不满足②， 故乙的发现错误． 二．填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一根是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程求得，然后利用根与系数的关系求得另一根． 【详解】解：把代入，得， 则原方程为，即， 设方程的另一个根为，则， ， 故答案为：． 【点睛】考查了根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与系数的关系为，是解答本题的关键． 12. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小． 13. 设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 【答案】 【解析】 【分析】设雕像的上部高为，则下部高为，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的上部高为，则下部高为， 由题意得：， 即． 14. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】∵m， n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为____________________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据题意得到，对称轴，再根据增减性即可得到答案． 【详解】∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴，解得：， ∴该抛物线开口向下. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和三点，到对称轴由远到近依次是点C、A、B， ∴. 16. 如果三条线段、、满足，且使得，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】把代入分式等式，消去字母，整理得到关于、的方程；两边同除以，设比值换元，构造一元二次方程，用求根公式求出与的数量关系，再表示出，最后化简连比． 【详解】解：由题意得方程组 将代入，得 通分后交叉相乘： ，等式两边同时除以，设， 判别式， 由一元二次方程求根公式， 线段长度大于0，舍去负根，得，即． 将代入， ， ． 三．解答题（本题共8个小题，共72分，每道题应根据题目要求写出规范、严谨的推理计算过程．） 17. 用公式法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再求出，然后根据求根公式解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴，． 18. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 19. 二次函数的图象经过，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）设二次函数一般式，将三个点坐标代入，解方程组求出系数a，b，c即可解答． （2）套用对称轴公式算出对称轴，把对称轴的代入函数，求出对应，得到顶点． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， ∵图象经过，，， ∴， 解得， 二次函数解析式是． 【小问2详解】 解：对于， 对称轴：， 把代入解析式： 所以对称轴是，顶点坐标． 20. 如图，要设计一副宽20 cm、长30 cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2∶3．如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少cm？ 【答案】横彩条的宽为2 cm，竖彩条的宽为3 cm． 【解析】 【详解】试题分析：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm，要彩条所占面积是图案面积的19%，可得方程，解出即可． 试题解析：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm．依题意，得 （20﹣2x）（30﹣3x）=81%×20×30． 解之，得=1，=19， 当x=19时，2x=38＞20，不符题意，舍去． 所以x=1，所以2x=2，3x=3. 答：横彩条的宽为2 cm，竖彩条的宽为3 cm． 考点：一元二次方程的应用． 21. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值． 【答案】（1）m≤5．（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-4m≥0，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1•x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=-x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． （2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=6①，x1•x2=m+4②． ∵3x1=|x2|+2， 当x2≥0时，有3x1=x2+2③， 联立①③解得：x1=2，x2=4， ∴8=m+4，m=4； 当x2＜0时，有3x1=-x2+2④， 联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的m的值为4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系．（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20-4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值． 22. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ （3）在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 【答案】（1） （2）该设备的销售单价应是50万元 （3）最大年利润为12250万元 【解析】 【分析】（1）根据变量的值，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润等于单台利润乘销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程并取其小于等于70的解即可得出结论． （3）设该公司的年利润为万元，易得关于x的二次函数，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设年销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴年销售量与销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 解：此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该设备的销售单价应是50万元； 【小问3详解】 解：设该公司的年利润为万元， 则， 配方，得， 当时，W取得最大值； 答：该公司的最大年利润为12250万元． 23. 已知如图，点D是外一点，，． （1）如图（1），若，，求证：； （2）如图（2），若，，，，求证：； （3）如图（3），若，，，，则__________． 【答案】（1） 证明：， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2） 证明：延长交于，连接，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）延长交于，连接，通过证明，即可求证； （3）过在的上方作，，连接，，利用前面的结论以及勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过在的上方作，，连接，，如下图： 则， 设，交于点，，交于点， 由（1）可得，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【解析】 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $