精品解析：湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026十堰二中9年级第一次月考数学试卷 一、单选题（3×10＝30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ） A. 形状相同 B. 顶点相同 C. 最小值相同 D. 最大值相同 3. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 10. 如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 12. 抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 13. 如图，现要在一个长为40，宽为26的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864，设小道的宽度是米，则可列方程______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 15. 抛物线开口向上，且过点，下列结论其中正确的序号是______． ①若抛物线过点，则；②若，则不等式的解为；③若为抛物线上两点，则时，；④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1） （2）． 17. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）当时，则函数值的取值范围是______． 18. 已知、是关于的方程的两个根，求下列各式的值． （1） （2） 19. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为．若该电动车停放区的占地面积为，求的值． 20. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 21. 阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． （1）主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； （2）舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； （3）若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： （1）确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． （2）探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ （3）确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 23. 某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件．每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）若商场做慈善活动，每售出一件产品捐出2元给慈善基金会，那么每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24. 如图，抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作于点．设点的横坐标为，线段的长为，求的最大值； （3）在第（2）问的条件下，满足的点分别记作点，如果将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为．如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026十堰二中9年级第一次月考数学试卷 一、单选题（3×10＝30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ） A. 形状相同 B. 顶点相同 C. 最小值相同 D. 最大值相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 3. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位， 得到的抛物线为：． 故选：D． 4. 根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴方程的一个解的取值范围为． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 8. 如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设运动时间为，表示出的长，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值，利用勾股定理求出的长，进而求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ∴， 整理得， 解得或； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 9. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得出，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 10. 如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法解方程求出方程的正根为，利用勾股定理求出的长，结合作图方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的正根为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴，，， ∴方程的一个正根是线段的长． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则，解得， 故答案为：3． 12. 抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 13. 如图，现要在一个长为40，宽为26的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864，设小道的宽度是米，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，种植花草的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列方程即可． 【详解】解：设小道的宽度是米， 由题意得，． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】一元二次方程要求二次项系数 ，两个不相等的实数根等价于 ，联立求交集，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 是关于 的一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ，化简得 ， ∴ ． ∴ 的取值范围是 且 ． 15. 抛物线开口向上，且过点，下列结论其中正确的序号是______． ①若抛物线过点，则；②若，则不等式的解为；③若为抛物线上两点，则时，；④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据对称性和对称轴公式求解判断即可；求出对称轴，进而求出与x轴的另一个交点的坐标即可判断；把点代入解析式得到，根据，得到，则可推出对称轴在直线的左侧，再根据增减性即可判断；根据顶点坐标公式可得顶点的纵坐标为，据此可判断． 【详解】解：①∵抛物线过点和点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②若，则对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可知抛物线过点， ∵抛物线开口向上， ∴不等式的解为，故②正确； ③∵抛物线过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴ ∴， ∴ ∴对称轴在直线的左侧， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵为抛物线上两点，且， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点和点， ∴对称轴为直线，， ∴顶点的纵坐标为 ， ∵， ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项后提公因式 ，用因式分解法求解 （2）用公式法，先计算判别式 【小问1详解】 解：移项，得 ， 提公因式，得 ， ∴ 或 ， ∴ ，． 【小问2详解】 解：，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ，． 17. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）当时，则函数值的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）可求出二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则可得到对应的增减性，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 又∵顶点坐标为， ∴当时，函数值的取值范围是． 18. 已知、是关于的方程的两个根，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据根与系数的关系得到，然后将变形为，即可代入求值； （2）先根据根与系数的关系得到，然后将变形为，即可代入求值． 【小问1详解】 解：∵、是关于的方程的两个根， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵、是关于的方程的两个根， ∴ ∴ 19. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为．若该电动车停放区的占地面积为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． 【详解】解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个  宽的门． 所以平行于墙的边长为 ∴， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得， 整理得 解得 因为  必须满足 ，所以  不符合题意，舍去． 所以， 所以当该电动车停放区的占地面积为时， 的值为 ． 20. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求a的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵方程有一个根大于2， ∴， 解得：． 21. 阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． （1）主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； （2）舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； （3）若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 【答案】（1）米 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由黄金分割的定义得到，据此求解即可； （2）同理可得米，求出的长，再根据线段的和差关系可得答案； （3）同（2）求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵米， ∴米； 【小问2详解】 解：同理可得米， ∴米， ∴米； 【小问3详解】 解：设舞台的长为L，点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： （1）确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． （2）探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ （3）确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【答案】（1） （2）小明会被水喷到 （3）喷水管要升高 【解析】 【分析】（1）根据水柱最高点的坐标设抛物线顶点式，代入点坐标，即可求出第一象限部分水柱的函数表达式； （2）令，代入已求得的抛物线解析式，计算此处的水柱高度，再与小明的身高比较，进而判断小明是否会被水喷到； （3）设喷水管升高，由题意可知改建后抛物线的形状不变，因此新的抛物线解析式可写为，由于改建后落水点距离原点水平距离为米，故将代入新解析式，解得即可． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得， 解得， 水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，令，则， ， 小明会被水喷到； 【小问3详解】 解：设喷水管升高． 则抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， 解得． 喷水管要升高． 23. 某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件．每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）若商场做慈善活动，每售出一件产品捐出2元给慈善基金会，那么每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）每件商品的售价定为46元或元时，每个月的利润恰为2200元 （3）当销售定价为51元或52元时，每个月可获得最大利润2100元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据题意，列出新的函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，， ∵每件售价不能高于60元， ∴， ∴， 又∵为正整数， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得， 当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每件商品的售价定为46元或元时，每个月的利润恰为2200元； 【小问3详解】 解：由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵且为正整数， ∴当或时，值最大为， 此时售价为元或元； 答：当销售定价为51元或52元时，每个月可获得最大利润2100元. 24. 如图，抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作于点．设点的横坐标为，线段的长为，求的最大值； （3）在第（2）问的条件下，满足的点分别记作点，如果将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为．如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线一般式，使用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线与轴的交点的坐标，再用待定系数法确定直线的解析式，然后表示出点的坐标，作差得到的长度，利用直线与坐标系围成的三角形为等腰直角三角形推出也为等腰直角三角形，利用勾股定理得到关于的二次函数表达式，最后化为二次函数的顶点式求出的最大值； （3）先令，解出对应的值，得到两点的坐标，进而求出直线的解析式，根据平移规则，写出顶点横坐标为的平移后的抛物线解析式，先讨论抛物线对称轴右侧一半与线段只有一个交点的情况，再联立平移后的抛物线和线段的解析式，讨论抛物线对称轴左侧一半与线段只有一个交点的情况，最终得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入解析式得 ， 解得， ． 【小问2详解】 解：令，则，即点， 设直线的解析式为，代入点得， ， 解得， 直线的解析式为． 已知点横坐标为，则点， 由轴交于点，得点． ． ， ， 轴，轴， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即，其中， 的最大值为． 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ，， 设直线的解析式为，代入点得， ， 解得． 直线的解析式为． 将原抛物线化为顶点式为， 平移后的抛物线的顶点横坐标为，且顶点始终在直线上， 平移后的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点式为． 抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点， 当抛物线过点时，，即，解得或； 当抛物线过点时，，即，解得或， 当时，抛物线在移动过程中，与线段仅有一个交点． ， 设直线的解析式为，代入坐标得 ， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 由于抛物线在移动过程中，与线段仅有一个交点， ， 解得， 此时，将代回，得， 即当时，满足线段中的要求， 时，抛物线与线段也只有一个交点． 综上所述，抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $