精品解析：河南南阳市第五完全学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学

2026年秋期第一次阶段性测试九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，与的积为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将各项中的式子与相乘，再利用二次根式乘法法则计算得到结果，然后判断即可． 【详解】解：A．，积为有理数，故此选项不符合题意； B．，积为有理数，故此选项不符合题意； C．，积为有理数，故此选项不符合题意； D．，积为无理数，故此选项符合题意． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 等式成立的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数为非负数、分式分母不为零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件以及分式分母不为零的条件，列出不等式组求解． 【详解】解：要使等式成立，则 ， 解，得； 解，得． 所以的取值范围是． 故选：B． 4. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 5. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出a、b的取值范围，再根据二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ，， ． 7. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得， 解方程得（舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在上有两扇宽为的小门（不用篱笆），   平行于墙的边的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 10. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分， 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，且，那么的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】先得出，则，再根据算术平方根的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 12. 已知，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可． 【详解】， ， =8或－10， ≥0， =8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合题目方程即可列，，解出即可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴． 14. 定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、解一元一次方程，理解新运算，分类讨论是解答的关键．分和两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由题意，分两种情况： 当时，，则； 解得（舍去），， 当时，，解得； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠的性质，分两种情况讨论与相似，当时，点与点重合，点是的中点，可直接求得的长；当时，由相似可以得到是等腰直角三角形，设，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：情况一：如图，当时，，此时，点与点重合， ，， 是等腰直角三角形， 又， 点是的中点， ． 情况二：如图，当时，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 由勾股定理，， ， 解得，（舍去） 综上所述，的长为或． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式，利用因式分解法解一元二次方程，或运用完全平方公式将括号展开，化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解； （2）将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：方法一：因式分解，得， 整理，得 ∴或． ∴，． 方法二：去括号，得， 因式分解，得 ∴或． ∴，． 【小问2详解】 整理，得， ， 配方，得． 开平方，得． ∴，． 18. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 【答案】 （1）证明：∵EFCD， ∴AF：FD=AE：EC， ∵DEBC， ∴AE：EC=AD：DB， ∴AF：FD＝AD：DB； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AF：FD=AE：EC，由DEBC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解； （2）根据比例的性质得到，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF． 【详解】解：（1） 略 （2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1， ∴， ∵AF：FD＝AD：DB， ∴AF：FD=2:1， ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键． 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 20. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）【问题解决】 ①若，当a、b均为整数时，则______，______； ②若，且m、n均为正整数，则______，______； （2）【拓展延伸】 化简； （3）【模型应用】 在中，，，，那么边的长为多少?（结果化为最简） 【答案】（1）①12，；②2，1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式将等式右边展开，进行求解即可； （2）将转化为完全平方公式，即可得出结果； （3）利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：①， ∴； ②， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴满足条件的只有； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴ . 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： （1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． （2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ （3）已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】（1）黄金分割数为 （2） 能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3） 【解析】 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22. 在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 23. 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过月份销售量的两倍？ 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】任务1：月份到月份的月平均增长率为；任务：从月份开始，销售量会超过月的两倍；任务：下调后每辆汽车的售价为万元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设月份到月份的月平均增长率为，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）计算出月份销售量即可； （3）设降价元．根据题意列方程，进而问题可求解； 【详解】（1）解：设月份到月份的月平均增长率为． 可得方程，解得（舍）， 所以月份到月份的月平均增长率为． （2）解：月份销售量为，从月份开始，销售量会超过月的两倍 （3）解：设降价元．可得方程，解得，因为“此次销售要尽量让利于顾客”，所以， （万元）， ∴下调后每辆汽车的售价为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期第一次阶段性测试九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，与的积为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 等式成立的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 5. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 9. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分， 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，且，那么的值为______． 12. 已知，则_________． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为____． 14. 定义新运算：，例如：，，若，则x的值为________． 15. 如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16. 计算： （1）； （2）； 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 20. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）【问题解决】 ①若，当a、b均为整数时，则______，______； ②若，且m、n均为正整数，则______，______； （2）【拓展延伸】 化简； （3）【模型应用】 在中，，，，那么边的长为多少?（结果化为最简） 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： （1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． （2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ （3）已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 22. 在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 23. 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过月份销售量的两倍？ 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $