精品解析：福建厦门市同安实验中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2026—2027学年第一学期高二年级第一次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 22 B. C. D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 3. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；考虑同向共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】对于A，空间中任意两个向量是共面的，三个向量中有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是锐角或者，故B错误； 对于C，假设是共面的向量，则存在实数使，即， 故向量是共面向量，与题设矛盾，因此向量不共面，故C正确； 对于D，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面，故D正确. 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【详解】由斜率的定义知，. 故选：D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案. 【详解】解：将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是． 故选：B． 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值． 【详解】，，，点在直线上运动， 可设， ，， ， 当时，取得最小值， . 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用空间向量的坐标运算处理即可. 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误； 又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点（1，1） B. 若直线与轴的夹角为30°，则或 C. 直线的斜率可以等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误；. 【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，故A选项正确； ∵直线与轴的夹角为30°， ∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为， ∴或，∴或，故B选项正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为，不可能等于0，故C选项错误； 当时，直线，在轴上的截距不存在， 当时，令，得，令，得， 令，得，故D选项正确． 故选：ABD． 11. 已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则 C. 若，则二面角的正弦值为 D. 若，则三棱锥的体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量法判断线面位置关系，求角，距离即可. 【详解】 如图建立空间直角系， 则, 则， 则， 选项A：若，，， 设平面的法向量为，则由，， 可知，令，得，故， 由，故A错误； 选项B：， ，，故B正确； 选项C：若，，设， ， 由得，得， 故，又， 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 故，故C正确； 选项D：若，则，， 由得，得， 当时，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 平面的法向量为， 点到平面的距离， ， 故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 14. “阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】如图所示:将多面体放置于正方体中,连接,设的中点为,连接, 因为分别为中点, 所以,且, 则四边形为平行四边形, 所以, 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角, 又平面, 所以直线与平面所成角即为, 设正方体的棱长为, 则, 所以, 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】（1）：，：； （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. 【小问1详解】 由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； 【小问2详解】 记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 17. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可； （2）由（1）得出平面的法向量和，然后利用向量直接求解点到面的距离即可. 【小问1详解】 由题知，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设直线与平面所成角为， 平面的法向量为，， 则得，取，则， 得平面的一个法向量为，向量， 则. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，直线过点，夹在两已知直线和之间的线段恰被点平分. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）设点，且，求：的面积. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点是的中点，设得到点的坐标，再利用点在直线上，解得的值，进而确定点的坐标，求得直线的方程. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，及，确定直线的直线方程，进而利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式分别求得的底边长和高进而求得的面积得到结果. 【详解】（Ⅰ）点在直线上，可设，又是的中点， 点在直线上， 解得：，即，直线的斜率为, 则直线的方程为，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，则 点到直线的距离， ， 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2026—2027学年第一学期高二年级第一次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 22 B. C. D. 29 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点（1，1） B. 若直线与轴的夹角为30°，则或 C. 直线的斜率可以等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 11. 已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则 C. 若，则二面角的正弦值为 D. 若，则三棱锥的体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 14. “阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 17. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，直线过点，夹在两已知直线和之间的线段恰被点平分. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）设点，且，求：的面积. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $